王一奇，余紅英

(中北大學(xué)，太原 030051)

0 引 言

四旋翼是一種以遠(yuǎn)程控制或者機(jī)內(nèi)程序控制的飛行器[1]，多年來(lái)一直是航空領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。在過(guò)去15年里，無(wú)人航行器開(kāi)始用在空中、海上、太空、地面各種軍事以及民用任務(wù)中，受到人們的高度重視。近年來(lái)我國(guó)的四旋翼發(fā)展步伐也逐漸加快[2]，有很多企業(yè)完成了四旋翼飛行器的商業(yè)化，如大疆、小米等[3]。

四旋翼的小巧靈活使它擁有很好的反監(jiān)視、反偵查能力。與常規(guī)的飛行器相比，四旋翼飛行器更加經(jīng)濟(jì)，并且具有較高的能源利用率。目前，四旋翼在飛行時(shí)間上仍有不足，但隨著新型材料工藝和微電子傳感器工藝的不斷進(jìn)步，這一難關(guān)終將被攻克。四旋翼在眾多領(lǐng)域中都占據(jù)一席之地，但仍然有許多技術(shù)不成熟，目前主要研究的方向集中在以下幾個(gè)方面：四旋翼飛行器的PID控制；四旋翼飛行器相關(guān)傳感器以及新材料工藝的開(kāi)發(fā)[4]；動(dòng)力與能源。

1 系統(tǒng)控制與優(yōu)化原理

1.1 四旋翼飛行器的PID控制

四旋翼本質(zhì)上是一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，它擁有6個(gè)自由度，因此四旋翼飛行器的控制一直是一個(gè)難點(diǎn)[5]?，F(xiàn)在常見(jiàn)的控制算法有非線性控制、模糊控制以及PID控制[6]，其中非線性控制能夠較好地進(jìn)行四旋翼飛行器姿態(tài)控制，但因?yàn)榉蔷€性控制器對(duì)模型的準(zhǔn)確度要求比較高，而四旋翼飛行器的一些參數(shù)無(wú)法精確地測(cè)量得到，所以對(duì)于模型準(zhǔn)確度要求不高、擁有較強(qiáng)適應(yīng)能力的PID控制器在四旋翼控制上得到了廣泛的應(yīng)用。

1.2 粒子算法原理

在D維空間中搜索目標(biāo)，由n個(gè)粒子組成的一組粒子，每個(gè)粒子是D維矢量，它的空間位置表達(dá)式為xi=(xi1，xi2，…，xiD)，i=1，2，…,n。每個(gè)粒子在指定空間中的位置是受控對(duì)象優(yōu)化問(wèn)題的解決方案[7]。第i個(gè)粒子的飛行速度是D維空間矢量，記為vi=(vi1，vi2，…，viD)；具有最佳適應(yīng)值的第i個(gè)粒子的位置被記錄為個(gè)體的歷史最佳位置，記為pi=(pi1，pi2，…，piD)；整個(gè)粒子群的最優(yōu)位置被記錄為全局歷史最佳位置，記為pg=(pg1，pg2，…，pgD)，粒子群的進(jìn)化方程可寫(xiě)成：

vij(t+1)=vij(t)+c1r1(t)[pij(t)-xij(t)]+

c2r2(t)[pgj(t)-xij(t)]

(1)

xij(t+1)=xij(t)+vij(t+1)

(2)

式中：下標(biāo)j定義為粒子的第j維；下標(biāo)i定義為粒子i；t定義為第t代；c1，c2為加速常量，通常在(0，2)間取值；r1和r2是算法生成的0～1之間的隨機(jī)數(shù)。從式(1)和式(2)可以看出，c1為調(diào)節(jié)飛向其最佳位置的粒子的步長(zhǎng)[8]，c2為調(diào)節(jié)粒子飛入全局最佳位置的步長(zhǎng)[9]。

2 粒子群算法設(shè)計(jì)

2.1 粒子群算法流程

基本粒子群算法的流程如下：

(1) 初始化粒子組的值，并給每個(gè)粒子一個(gè)隨機(jī)的初始值[10]。

(2) 根據(jù)目標(biāo)返回性能指標(biāo)，計(jì)算每個(gè)粒子的當(dāng)前適應(yīng)度值。

(3) 對(duì)每個(gè)粒子，將其適應(yīng)值與歷史最佳適應(yīng)值進(jìn)行比較。

(4) 對(duì)于每個(gè)粒子，對(duì)比它的適應(yīng)值和整體粒子群到達(dá)的最優(yōu)位置的適應(yīng)值，如果其得到優(yōu)化，那么把它的適應(yīng)度值作為群體最優(yōu)[11]。

(5) 根據(jù)式(1)和式(2)計(jì)算粒子的速度和位置。

(6) 如果達(dá)到足夠好的解決方案或操作達(dá)到最大迭代次數(shù)，則結(jié)束，否則轉(zhuǎn)到步驟(2)。

2.2 性能指標(biāo)函數(shù)選取

在參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題中有一個(gè)性能指標(biāo)函數(shù)。不同的目標(biāo)函數(shù)可以清晰地反映系統(tǒng)的質(zhì)量，具有計(jì)算簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)然，選擇不同的目標(biāo)函數(shù)會(huì)導(dǎo)致同一系統(tǒng)的不同優(yōu)化結(jié)果[12]。

目標(biāo)函數(shù)的選擇分為兩種：一種是基于系統(tǒng)輸出響應(yīng)特性的特征目標(biāo)函數(shù)；另一種是誤差類(lèi)型的目標(biāo)函數(shù)，它將預(yù)期響應(yīng)與實(shí)際響應(yīng)之間的差異函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)。誤差類(lèi)型目標(biāo)函數(shù)本質(zhì)上是對(duì)特征目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)分析，因此誤差類(lèi)型目標(biāo)函數(shù)可以表現(xiàn)出系統(tǒng)的性能。

誤差絕對(duì)值積分型目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式：

(3)

這種優(yōu)化方法有許多優(yōu)點(diǎn)：加入絕對(duì)值的方法解決了正負(fù)問(wèn)題，e(t)在過(guò)程中的缺點(diǎn)得到了糾正；加了時(shí)間權(quán)重t之后，還可以基本消除過(guò)程后期發(fā)生的錯(cuò)誤。因此，本文選擇誤差絕對(duì)值積分型目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。

3 粒子算法優(yōu)化PID的設(shè)計(jì)

3.1 Simulink仿真模型的建立

由四旋翼數(shù)學(xué)模型可知[13]，輸出響應(yīng)都是二階導(dǎo)數(shù)，因此在被控對(duì)象后加二次積分，可以得到X軸位移，Y軸位移，Z軸高度，滾轉(zhuǎn)角φ，俯仰角θ，偏航角ψ的輸出響應(yīng)。通過(guò)四旋翼的運(yùn)動(dòng)方程可知，對(duì)四旋翼建模所需的參數(shù)包括：質(zhì)量、機(jī)臂長(zhǎng)度(軸距)以及四旋翼的三軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。同時(shí)為了更完整地建立四旋翼飛行器的模型，將陀螺效應(yīng)也考慮進(jìn)去。由于實(shí)驗(yàn)條件的限制，不能對(duì)所有的飛行器參數(shù)進(jìn)行測(cè)量，但參考并選取了不失一般性的參數(shù)，仍然可以驗(yàn)證控制器的對(duì)比分析，并得出正確的結(jié)果[14]。故采用如表1所示參數(shù)，其中重力加速度取g=9.8 m/s2。

表1 四旋翼飛行器參數(shù)

將建好的四旋翼數(shù)學(xué)模型寫(xiě)入到model faction模塊中,使用臨界比例法來(lái)確定初始的PID參數(shù)[15]，得到各通道的PID參數(shù)如表2所示。

表2 仿真參數(shù)取值表

3.2 加入優(yōu)化算法的模型改進(jìn)

在Simulink仿真環(huán)境下運(yùn)行，實(shí)現(xiàn)四旋翼PID控制的粒子群優(yōu)化的流程圖如圖1所示。

圖1 與Simulink結(jié)合的粒子群算法

依照粒子群優(yōu)化算法流程編寫(xiě)程序，由于存在4個(gè)輸入量，即使用了4個(gè)PID控制模塊，故需要分別對(duì)4個(gè)PID模塊的參數(shù)進(jìn)行粒子群算法優(yōu)化。在原有四旋翼飛行器模型基礎(chǔ)上分別衍生出4個(gè)模型，它與原有模型相同，只是每個(gè)模型分別返回高度、滾轉(zhuǎn)角、俯仰角、偏航角的性能指標(biāo)。

在Simulink環(huán)境下仿真，將粒子群算法生成的參數(shù)Kp,Ki,Kd分別賦值給4個(gè)PID模塊，使用sim命令直接運(yùn)行對(duì)應(yīng)模塊，得到性能指標(biāo)。

3.3 優(yōu)化后仿真結(jié)果

編寫(xiě)算法程序，在MATLAB軟件中運(yùn)行算法代碼，以俯仰角控制為例，運(yùn)行優(yōu)化俯仰角響應(yīng)的程序，得到仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

依次得到優(yōu)化后的各PID參數(shù)如表3所示。

設(shè)置優(yōu)化后的參數(shù)，再次運(yùn)行模型，對(duì)比2次仿真結(jié)果，比較優(yōu)化前后的圖形如圖4所示。

圖2 俯仰角響應(yīng)最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)值

圖3 俯仰角響應(yīng)PID參數(shù)

KpKiKdZ605434φ305.630θ301.530ψ30430

(a) Z軸高度

(b) 滾轉(zhuǎn)角

(c) 俯仰角

(d) 偏航角

通過(guò)分析仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，Z軸高度響應(yīng)的系統(tǒng)超調(diào)量由優(yōu)化前的31%降低到11%，穩(wěn)態(tài)誤差由5.2%升到5.6%，幾乎為零，超調(diào)時(shí)間1.54 s，幾乎無(wú)變化；滾轉(zhuǎn)角超調(diào)量由優(yōu)化前的15.1%升高到16.4%，穩(wěn)態(tài)誤差由2.6%降到1.7%，幾乎為零，超調(diào)時(shí)間由0.8 s降到0.1 s；俯仰角超調(diào)量由優(yōu)化前的14.2%升高到15.8%，穩(wěn)態(tài)誤差由2.8%降到2.3%，幾乎為零，超調(diào)時(shí)間由0.9 s降低到0.1 s；偏航角超調(diào)量由優(yōu)化前的14%升高到15%，穩(wěn)態(tài)誤差由2.9%降低到1.7%，幾乎為零，超調(diào)時(shí)間由1.0 s降低到0.2 s。結(jié)果表明，粒子群算法對(duì)PID控制系統(tǒng)有一定的優(yōu)化作用。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了采用粒子群優(yōu)化的四旋翼PID控制，通過(guò)粒子群優(yōu)化算法對(duì)PID參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后響應(yīng)時(shí)間短、超調(diào)量小，取得了較好的效果。但本文還存在一些不足，如不能直接使用粒子群對(duì)Simulink模型進(jìn)行優(yōu)化。主要原因?yàn)樵谀Ｐ椭杏蠸-Function模塊，運(yùn)行時(shí)需要調(diào)用m函數(shù)，使得系統(tǒng)的運(yùn)行時(shí)間較慢，而且在進(jìn)行粒子群優(yōu)化時(shí)需要多次迭代，使粒子群優(yōu)化需要的時(shí)間更長(zhǎng)。