張新邦,陳德祥,王東盛

(北京控制工程研究所,北京100190)

0 引言

磁學(xué)中磁矩的模型有偶極子模型和電流環(huán)模型[1]，各模型有自已經(jīng)典的計(jì)算周圍磁場(chǎng)強(qiáng)度的方法，但計(jì)算復(fù)雜，不易使用和推廣，所以推導(dǎo)一個(gè)統(tǒng)一簡(jiǎn)單有效的由磁矩計(jì)算磁場(chǎng)強(qiáng)度的解析表達(dá)式是有意義的。

通過(guò)對(duì)磁矩的2種模型進(jìn)行推導(dǎo)可得到簡(jiǎn)單的磁場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算公式，這有利于對(duì)磁矩周圍磁場(chǎng)強(qiáng)度的分析理解和計(jì)算。同時(shí)如果已知磁矩位置、測(cè)點(diǎn)位置和測(cè)點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度，根據(jù)表達(dá)式可以反推出磁矩的值。

1 由磁矩計(jì)算磁場(chǎng)強(qiáng)度公式

物體磁性能的大小可用磁矩來(lái)描述，由磁矩可計(jì)算出空間某點(diǎn)Q的磁場(chǎng)強(qiáng)度，當(dāng)物體(磁矩載體)的尺寸相對(duì)到點(diǎn)Q的距離是小量，則Q點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度可以用簡(jiǎn)單的公式來(lái)表達(dá)。

圖1 由磁矩求磁場(chǎng)強(qiáng)度示意圖Fig.1 Schematic diagram of calculatingmagnetic field intensity bymagnetic moment

設(shè)磁矩m位于坐標(biāo)系原點(diǎn)O，方向與x軸相同。點(diǎn)Q在xy平面內(nèi)，用R代表矢量m與R之間的夾角為θ。在Q點(diǎn)由m貢獻(xiàn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為H，H的徑向分量為Hr，切向分量為Ht，如圖1所示。R與m分別為R與m的模。

當(dāng)磁矩的物理尺寸相對(duì)于R是一個(gè)小量時(shí)，即如果由通電螺旋線圈或磁棒產(chǎn)生的磁矩，要求螺旋線圈或磁棒的長(zhǎng)度相對(duì)于R是小量；如果由電流環(huán)產(chǎn)生的磁矩，電流環(huán)的直徑相對(duì)于R是小量，則有：

式中：Hr和Ht是磁場(chǎng)強(qiáng)度H的徑向和切向分量，A·m-1；m為磁矩，A·m2；R為距離，m。 當(dāng)介質(zhì)為空氣時(shí)，Q點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率，μ0=4π ×10-7H/m；B 為磁感應(yīng)強(qiáng)度，T。如取B的單位為nT，則有

當(dāng)θ=0時(shí)有

上面公式說(shuō)明磁場(chǎng)強(qiáng)度反比于距離的立方，所以可簡(jiǎn)稱為反立方公式。

2 公式推導(dǎo)

2.1 由偶極子組成磁矩

偶極子中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)O，磁極強(qiáng)度為p，極間距離AB為l，如圖2所示，則磁矩m=pl，方向與x軸相同。在xy平面內(nèi)有Q點(diǎn)，坐標(biāo)為(x，y，0)，若Q點(diǎn)不在xy平面內(nèi)，則適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)x軸即可。

圖2 由偶極子組成磁矩Fig.2 Magnetic moment com posed by dipole

根據(jù)由磁極計(jì)算磁場(chǎng)的公式，Q點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度H為

設(shè)R=OQ，R與x軸的夾角為θ，根據(jù)三角公式有

設(shè)圖2所示的坐標(biāo)系是r坐標(biāo)系，將r坐標(biāo)系繞z軸(即繞O點(diǎn)順時(shí)針)轉(zhuǎn)角度θ，得到新的s坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)換矩陣為A，有

在s坐標(biāo)系內(nèi)，Q點(diǎn)磁場(chǎng)強(qiáng)度表示為H(s)，有

s坐標(biāo)系內(nèi)x軸用xs表示，y軸用ys表示，有xs與Hr同方向，ys與Ht同方向。所以式(4)和式(1)是相同的。

2.2 由電流環(huán)組成磁矩

在坐標(biāo)系O-XYZ內(nèi)，有正方形電流環(huán)ABCD在yz平面內(nèi)。(由于磁矩正比于電流環(huán)面積，與環(huán)的形狀無(wú)關(guān)，為計(jì)算方便，設(shè)電流環(huán)為正方形。)電流環(huán)中心在坐標(biāo)系原點(diǎn)O(見(jiàn)圖3)，電流環(huán)的電流強(qiáng)度為i，電流環(huán)邊長(zhǎng)l，則磁矩m=il2，磁矩方向與x軸相同。Q點(diǎn)在xy平面內(nèi)，坐標(biāo)為(x，y，0)。

若Q點(diǎn)不在xy平面內(nèi)，則適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)x軸后即可。E、F、G、H分別為正方形四個(gè)邊長(zhǎng)的中心。

圖3 由電流環(huán)組成磁矩Fig.3 Magnetic moment com posed by current loop

先分析導(dǎo)線AB在Q點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)HAB。

在導(dǎo)線AB上取一導(dǎo)線元dl，其矢量為dl，設(shè)此導(dǎo)線元到Q點(diǎn)的矢量為r，模為r，設(shè)矢量RE與r的夾角為α，根據(jù)畢奧-薩伐爾定律在Q點(diǎn)由dl貢獻(xiàn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度dHAB為

為討論方便，將圖3內(nèi)導(dǎo)線AB和Q點(diǎn)等單獨(dú)顯示如圖4所示，有，于是有

式中β是RE與直線BQ的夾角。

圖4 載流導(dǎo)線AB產(chǎn)生的磁場(chǎng)Fig.4 Magnetic field generated by current carrying Wire AB

根據(jù)式(5)可以得到下面方程，并為方便對(duì)電流環(huán)其他邊的討論，方程寫(xiě)成如下形式：

于是Q點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度H為

H=HAB+HBC+HCD+HDA

設(shè)H的3個(gè)分量為Hx、Hy、Hz，于是

設(shè)圖3所示是r坐標(biāo)系，將r坐標(biāo)系繞z軸轉(zhuǎn)θ角，得到新的s坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)換矩陣為A，在s坐標(biāo)系內(nèi)Q點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度值表示為H(s)，則有

s坐標(biāo)系內(nèi)的x軸用xs表示，y軸用ys表示，有xs與Hr同方向，ys與Ht同方向。所以公式(6)和公式(1)的內(nèi)容是一樣的。

應(yīng)當(dāng)指出，上面的推導(dǎo)方法不佳，十分繁雜。許多教科書(shū)內(nèi)有相似內(nèi)容[2-3]，其推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)潔而優(yōu)美，但需要有場(chǎng)論知識(shí)。但教科書(shū)內(nèi)推導(dǎo)結(jié)果的表達(dá)方式不佳，其推導(dǎo)的目的只是證明在遠(yuǎn)距離情況下，偶極子和電流環(huán)的貢獻(xiàn)完全一樣。本文將2個(gè)結(jié)果綜合，提出了由磁矩計(jì)算磁場(chǎng)的表達(dá)式，這是由物體的與磁有關(guān)物理量直接計(jì)算磁場(chǎng)的第3個(gè)公式，前2個(gè)分別是畢奧-薩伐爾定律和磁極公式。

3 公式應(yīng)用分析

前面提到應(yīng)用公式的條件是物體(磁矩載體)的尺寸相對(duì)于到測(cè)點(diǎn)的距離是小量，下面對(duì)此作進(jìn)一步分析。

3.1 公式應(yīng)用條件

下面分析這小量的具體概念。

圖5 公式應(yīng)用的條件分析Fig.5 Conditional analysis of formula application

以圖5為例，有通電螺旋線圈AB的中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，線圈的磁矩為m，線圈長(zhǎng)度為l，有Q點(diǎn)位于y軸，坐標(biāo)為(0，y，0)。

當(dāng)m=20 A·m2，l=1 m，y取不同數(shù)值，分別應(yīng)用反立方公式和偶極子公式得到Q點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)據(jù)，由于數(shù)據(jù)的y、z分量都為0，所以只選用x軸分量，見(jiàn)表1。

由表1看出：當(dāng)距離是磁棒長(zhǎng)度2倍時(shí)誤差在10%以內(nèi)，3倍時(shí)誤差在5%以內(nèi)，6倍時(shí)誤差約為1%，所以可按照實(shí)際情況，當(dāng)距離是磁棒長(zhǎng)度的3～6倍時(shí)可以應(yīng)用反立方公式。

表1 反立方公式和偶極子公式數(shù)據(jù)比較Table 1 Data com parison of inverse cubic formula and dipole formula

3.2 近距離時(shí)如何應(yīng)用公式

設(shè)物體是均勻磁化，物體磁矩為m，體積為V，單位體積的磁矩為M，(M又稱為磁化強(qiáng)度，M=m/V)，將物體劃分成眾多的小單元，每個(gè)單元的體積d V，每個(gè)單元的磁矩為d m=M d V。由于每個(gè)單元的尺寸比較小，相比于測(cè)點(diǎn)的距離是小量，可以應(yīng)用反立方公式，將所有單元的計(jì)算結(jié)果求和即得到需要的結(jié)果。這種將物體劃分成眾多小單元磁矩的方法稱為磁矩陳列模型法。

以上面的圖5為例，當(dāng)y=0.5 m時(shí)，由于距離太近不合適使用反立方公式。參考磁矩陣列模型法，將螺旋線圈沿長(zhǎng)度方向分成多個(gè)(如100個(gè))等長(zhǎng)的小單元，則每單元的長(zhǎng)度d l=0.01 m，每單元的磁矩d m=0.2 A·m2，對(duì)于每一單元可以應(yīng)用反立方公式，再將結(jié)果相加可以得到Q點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度。計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用偶極子模型的計(jì)算結(jié)果幾乎完全一樣(誤差小于0.001%)。所以正確應(yīng)用磁矩陳列法，結(jié)果是足夠精確的。

3.3 公式應(yīng)用分析

文獻(xiàn)[4-5]論述了艦船磁場(chǎng)的特性、磁場(chǎng)測(cè)量、磁場(chǎng)推算等內(nèi)容。文獻(xiàn)[6-8]重點(diǎn)對(duì)潛艇磁場(chǎng)數(shù)學(xué)模型和磁場(chǎng)測(cè)量方法進(jìn)行論述。以上的論述分析中都沒(méi)有用到磁矩作為研究工具。本文提出了由磁矩計(jì)算磁場(chǎng)強(qiáng)度的反立方公式，以及近距離應(yīng)用所需要的磁矩陣列法，這樣就產(chǎn)生了新的基于磁矩的艦船磁場(chǎng)計(jì)算分析方法，對(duì)海洋中艦船磁場(chǎng)的研究有重要的意義。

4 結(jié)束語(yǔ)

1)傳統(tǒng)的應(yīng)用偶極子和電流環(huán)模型計(jì)算磁場(chǎng)強(qiáng)度的方法不便于實(shí)際應(yīng)用，提出應(yīng)用磁矩計(jì)算磁場(chǎng)強(qiáng)度的反立方公式，有利于磁場(chǎng)的分析和計(jì)算。

2)以反立方公式為基礎(chǔ)，提出磁矩陣列模型法，滿足了近距離計(jì)算的要求。

3)公式說(shuō)明磁場(chǎng)強(qiáng)度與距離的立方成反比，隨著距離的增加，場(chǎng)強(qiáng)快速衰減，物體磁性的細(xì)微特征很快消失，即使如長(zhǎng)度l遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于寬度d這樣的粗大特征，在距離大于3l～6l時(shí)可以忽略，僅剩下磁矩是主角。這對(duì)于估計(jì)計(jì)算艦船潛艇等周圍的場(chǎng)強(qiáng)分布是有意義的。