趙建輝田軍鋒左憲禹李 寧

(1.河南省大數(shù)據(jù)分析與處理重點實驗室， 河南開封 475004； 2.河南大學(xué)計算機(jī)與信息工程學(xué)院， 河南開封 475004)

0 引言

隨著SAR(Synthetic Aperture Radar)技術(shù)的發(fā)展，SAR圖像在軍事和國民建設(shè)中都發(fā)揮著日益重要的作用。但是，受地形的影響和斜視成像的原因，SAR圖像總是存在不同程度的幾何畸變，在應(yīng)用之前需要作幾何校正。目前，在星載SAR圖像的幾何校正中廣泛使用距離-多普勒(Range Doppler，RD)模型，國內(nèi)外的一些學(xué)者研究了該模型的近似解法[1-5]。

幾何校正中可能的誤差來源有衛(wèi)星星歷誤差、系統(tǒng)成像參數(shù)誤差、DEM(Digital Elevation Model)誤差[6-7]，以及定位方程的誤差[8]和解算誤差。星歷數(shù)據(jù)和系統(tǒng)成像參數(shù)由衛(wèi)星公司提供，由SAR圖像元數(shù)據(jù)直接給出，其誤差沒有辦法通過算法進(jìn)行彌補(bǔ)，需要其他數(shù)據(jù)(例如DEM或控制點)輔助修正[9-11]。因DEM產(chǎn)生的定位誤差與DEM數(shù)據(jù)本身的精度和地形都有關(guān)，地形越平坦定位精度受其影響越小，反之越大。定位方程的解算中可能會產(chǎn)生較大誤差的主要因素是衛(wèi)星軌道的擬合和插值。

本文分析了RD定位模型的建立和幾何校正中該模型的解算過程，探討了影響定位精度的兩個主要因素：高程、軌道的擬合與插值。目前能公開免費獲取的高程數(shù)據(jù)并不少，但全球覆蓋的不多，常見的有ASTGTM2[12]、SRTM4.1[13]和GMTED2010[14]，標(biāo)稱分辨率為30，90和250 m，從有關(guān)文獻(xiàn)的比較來看，垂直精度依次升高。在我國東部平原，垂直精度也有類似的表現(xiàn)[15]。常用的衛(wèi)星軌道擬合與插值方法是多項式直接法和拉格朗日法。本文以一景高分辨率TerraSAR-X圖像的幾何校正為基礎(chǔ)，分析和驗證了上述三種DEM和兩種軌道插值算法對定位精度的影響。

1 R-D定位模型的建立及其解算

精確的SAR圖像定位必須充分考慮SAR圖像的成像原理和成像幾何，并以此為基礎(chǔ)建立定位模型，而實際定位精度又與模型的初始化數(shù)據(jù)和解算方法密切相關(guān)。

1.1 定位模型的建立

SAR圖像的定位需要綜合考慮成像原理和成像幾何兩方面的條件。

從成像原理上講，SAR圖像是基于地物的多普勒雷達(dá)回波信號成像。SAR對目標(biāo)進(jìn)行照射后，回波以目標(biāo)為中心產(chǎn)生多普勒效應(yīng)，可用等時延的同心圓和等多普勒頻移的雙曲線束來描述，如圖1所示，圖中T為地面目標(biāo)。針對回波的這種特性，定位以多普勒中心頻率為基準(zhǔn)。當(dāng)頻移為零時，SAR剛好正對成像目標(biāo)，便于成像幾何的解算。

圖1 SAR圖像地理定位模型示意圖

從成像幾何來講，SAR與地面目標(biāo)、地心構(gòu)成一個三角形。地理定位中常將地心放在一個地固坐標(biāo)系的原點，如圖1所示。圖中O為地心，S表示SAR的位置。這時候S點的狀態(tài)矢量(包括空間矢量PSO和速度矢量V)為已知條件，T到S的距離可根據(jù)回波時延計算得到，而T的位置可以用空間矢量PTO來描述。

有了上述條件，就能建立如下方程來表示在地固坐標(biāo)系下上述矢量之間的關(guān)系。

(1)

式中，fd表示多普勒頻率，λ表示SAR的波長，|PSO-PTO|就是衛(wèi)星到地面目標(biāo)點T的距離。

此外，還需要地球橢球方程來描述地面目標(biāo)T的空間坐標(biāo)參考。

(2)

式中，ra，rb分別表示地球橢球模型的長、短半軸長度，h表示地面高程。如圖1所示，T′表示T點在參考橢球上的位置，h是二者之間的距離。

1.2 幾何校正中定位模型的解算及其影響因素分析

定位模型解算的目標(biāo)是T點的向量PTO，基本條件為SAR圖像的成像幾何，約束條件為零多普勒頻移。因此，T點的定位過程可以描述為零多普勒條件下根據(jù)成像幾何計算矢量PTO的過程。

幾何校正采用間接定位方法，定位方程的解算步驟如下：

1) 定位模型線性化，求誤差方程。

由于式(1)和式(2)并非線性方程，不能直接用于平差計算，可以對它們進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，取一次項組成誤差方程，但這種方法計算量較大。更簡單的方法是用牛頓迭代法直接逼近多普勒中心頻率，其迭代公式如下：

Δfd=|fd(ti+Δti)-fdc|

(3)

(4)

式中,fdc為SAR多普勒中心頻率，新一代SAR圖像(如TerraSAR-X圖像)已經(jīng)作了歸零化處理，無須計算。式(4)中，Δt的初值可以由經(jīng)驗值直接給定，可大可小(如10 ms)，對收斂速度并無影響。

對于老一代SAR圖像fdc可用式(5)進(jìn)行計算：

fdc=d0+d1(t-t0)+d2(t-t0)2+d3(t-t0)3

(5)

式中，變量t為當(dāng)前快時間，參數(shù)t0，d0，d1，d2，d3由SAR圖像元數(shù)據(jù)直接給出。

上述迭代公式在實際應(yīng)用中收斂速度快，定位效率高。

2) 根據(jù)誤差方程的解算需要獲取初始化參數(shù)。

所有的初始化參數(shù)都可以從SAR圖像元數(shù)據(jù)中直接提取。幾何校正中需要從元數(shù)據(jù)中提取的主要信息有3大類，包括圖像信息、時間信息和衛(wèi)星星歷信息。圖像信息包括SAR圖像的成像類型、行數(shù)、列數(shù)、行序、列序等，時間信息主要是方位向起止時間和距離向起止時間，衛(wèi)星星歷信息主要是距離矢量、速度矢量和時間向量。此外，還需要其他一些輔助信息，如坐標(biāo)參考。

3) 逐像元求解空間坐標(biāo)。

有了初始化參數(shù)之后就可以開始計算每個像元的空間坐標(biāo)了。因為多普勒頻率fd主要受時間的影響，所以計算的基本方法是以時間t為自變量，求解t時刻的fd與多普勒中心頻率fdc之間的差值。在迭代中不斷調(diào)整t，使差值減小。當(dāng)差值小于某個閥值時，就可以認(rèn)為該時刻的空間坐標(biāo)達(dá)到要求的定位精度。

幾何校正的基本流程如圖2所示。

圖2 SAR圖像幾何校正流程

圖2中虛線框內(nèi)為幾何校正的關(guān)鍵步驟——間接定位。迭代的初始坐標(biāo)對應(yīng)的矢量PT由待定位像元的地理坐標(biāo)計算出來，時間t的初值可在成像時間范圍任意選定。對于每一時刻t，通過軌道插值計算出相應(yīng)距離矢量PS和速度矢量VS。有了PT，PS，VS，就可以根據(jù)式(1)計算出fd。如果fd與fdc的差值小于閾值就結(jié)束迭代，否則根據(jù)相差一個Δt的兩個fd的差值計算t的改正數(shù)，修正t后繼續(xù)迭代。迭代結(jié)束后的PT就是所求像元的空間矢量。

4) 提取像元值，生成最終的校正圖像。

根據(jù)迭代結(jié)束時的t和PT反解出原SAR圖像的像元坐標(biāo)，然后重采樣獲取像元值填充待校正SAR圖像完成校正過程。

從整個校正過程來看，對定位精度有直接影響的是高程的精度、軌道的精度和軌道插值的精度。但在幾何校正中，軌道的數(shù)據(jù)作為輸入數(shù)據(jù)是以狀態(tài)向量的形式由SAR圖像直接給出的，定位模型本身無法對其進(jìn)行修正。

對整個校正精度有影響的還有坐標(biāo)變換和圖像重采樣，前者是地理坐標(biāo)、空間坐標(biāo)和像元坐標(biāo)三者之間的轉(zhuǎn)換，相對誤差很小，后者常用的方法有最鄰近、雙線性和三次卷積法，第3種方法已經(jīng)能夠保證足夠高的精度。

2 幾何校正實驗及其分析

本文使用了一幅SSC類型的TerraSAR-X高分辨率圖像作為實驗對象，原圖及校正結(jié)果如圖3所示。圖像的成像模式為滑動聚束，成像時間為2015年6月17日，方位向分辨率為1.1 m，距離向分辨率為0.6 m，圖像大小為6 143行11 100列。圖像對應(yīng)的地區(qū)為平原，元數(shù)據(jù)給出的全景圖像平均高程為56.775 m。

圖3 實驗用的SAR圖像

實驗中我們從圖像中選取了13個點(圖3中用紅色十字標(biāo)出)，采用手持GPS(水平精度2 cm)測量了各點的精確位置。實驗利用前述RD定位模型對影像進(jìn)行了幾何校正，并以此為基礎(chǔ)分析和比較了3種DEM、不同參數(shù)的多項式直接插值算法和拉格朗日插值算法對定位精度的影響。

1) 基于3種DEM的定位實驗及分析

對于高程來說，分辨率越高越好，最好是不低于SAR圖像的分辨率，這樣才能保證每個像元對應(yīng)的高程精度。因為定位中各像元的高程多是通過重采樣獲得，采樣點距離被采樣點越近準(zhǔn)確率越高，反之越低。顯然，地形起伏越大，這種影響越顯著，反之影響越小。

實驗使用的DEM數(shù)據(jù)有ASTGTM2，SRTM4.1和GMTED2010，它們的分辨率與實驗用的SAR圖像相差很大。但是，考慮到實驗圖像中的地形較平坦，它們也具有一定的適用性。3種DEM在該圖像區(qū)域的平均高程分別為55.335，55.669和55.416 m，略小于圖像元數(shù)據(jù)給出的值，理論上對定位精度有1～2個像元的影響。表1給出了采用這3種高程數(shù)據(jù)的定位實驗結(jié)果。

從SAR圖像成像的幾何原理來看，對定位精度影響最大的應(yīng)該是DEM的垂直精度。垂直精度越高，定位精度就越高，反之越低。而分辨率對重采樣的精度影響大，從而間接影響垂直精度。圖1的定位結(jié)果符合這一預(yù)期。

表1 方位向和距離向定位殘差統(tǒng)計表單位：像元

ASTGTM2SRTM41GMTED2010方位向距離向方位向距離向方位向距離向1-3.077-9.218-3.079-7.233-3.08-6.1722-7.328-0.364-7.326-2.031-7.327-1.5843-3.247-1.242-3.243-4.478-3.245-3.324-1.887-18.771-1.89-16.175-1.893-12.7855-4.706-3.587-4.707-2.213-4.705-3.836-1.083-2.202-1.078-6.873-1.076-9.0957-1.788-9.242-1.793-3.958-1.79-7.35880.179-8.1070.186-14.5630.182-11.1799-5.457-14.151-5.468-3.3-5.468-3.958108.993-1.9038.9910.5088.994-2.206110.348-6.8930.344-3.1950.346-4.89412-1.089-2.805-1.084-7.861-1.081-10.322130.634-7.3970.633-6.7130.635-8.728RMSE4.0788.4214.0797.5774.0797.436

從殘差的均方根誤差RMSE來看，定位精度達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)。方位向定位精度大致為4個像元(約5.5 m)，距離向定位精度大致為8個像元(約5 m)，這個結(jié)果符合所用圖像的高分辨率與地形較平坦這兩個特點。

方位向和距離向的定位精度受DEM精度的影響差異也符合SAR圖像的成像原理。方位向定位精度主要受時間影響，所以定位結(jié)果幾乎不受DEM分辨率和精度的影響。而距離向定位精度受成像幾何的影響大，因此受DEM的精度影響大。3種DEM中，GMTED2010垂直精度最高、SRTM4.1次之、ASTGTM2最差，表1的定位結(jié)果與這些差異一致。但是，因為地區(qū)較平坦和GMTED2010分辨率低的緣故，這種優(yōu)勢并不明顯。

此外，從定位的整體結(jié)果來看，無論是方位向還是距離向，多數(shù)為負(fù)值。但是，理論上這些值的正負(fù)應(yīng)該是隨機(jī)的，這表明定位存在一定的系統(tǒng)誤差。進(jìn)一步的精度提升需要其他輔助手段，例如使用角反射器測定精確的地面控制點。

2) 基于不同的軌道插值方法的定位實驗及分析

對于軌道插值來說，常用的有多項式直接法和拉格朗日法。前者還有冪次的區(qū)別，冪次越高，精度越高，但計算速度會隨之降低。顯然，只要精度能夠滿足應(yīng)用需要，沒有必要過度追求高冪次。

從理論上講，軌道插值的精度對圖像的方位向和距離向都有影響。但是，實驗表明不同插值法之間在方位向和距離向的差異小。本文采用了平面定位精度來比較它們的影響，測試了多項式直接法和拉格朗日法，前者又測試了二、三、四次冪的情況，各種方法的定位殘差如表2所示。

表2 平面定位殘差統(tǒng)計表 m

定位結(jié)果大致符合預(yù)期，冪次越低，誤差越大。從殘差的均方根誤差RMSE來看，只有二次多項式插值法出現(xiàn)了較大誤差，不適合用在定位中。三次、四次多項式直接法和拉格朗日法均取得了較好的結(jié)果。但是，三次多項式直接法在x方向上的精度還有提升空間。拉格朗日法的精度高，只有四次多項式直接法與之接近。事實上，實驗還進(jìn)一步測試了五次和六次多項式直接法(表2中未列出)，但x和y方向上精度都不再繼續(xù)提升，而是圍繞某個值上下波動，顯然精度無法再繼續(xù)提升。

從整體來看，四次多項式和拉格朗日插值法都適合用在SAR圖像的高精度定位中。但前者的計算效率比后者高得多，更適合用在工程中。

此外，與方位向誤差和距離向誤差類似，三、四次多項式和拉格朗日法的x向偏差均為負(fù)值，y向幾乎均為正值，同樣表明定位存在一定的系統(tǒng)誤差。

3 結(jié)束語

在基于RD模型的幾何校正中，影響校正精度的因素有很多，本文著重研究了高程和軌道擬合與插值方法對定位精度的影響。從實驗的結(jié)果來看，高程的垂直精度和分辨率對定位精度都有重要影響。在平原地區(qū)，影響定位精度的主要是垂直精度。這與同行們的研究結(jié)果一致，而分辨率則對起伏較大的地形定位精度影響大。顯然，對于ASTGTM2，SRTM4.1和GMTED2010這3種高程來講，實際應(yīng)用中選擇哪一種取決于地形和精度的要求，平坦的地區(qū)GMTED2010就足夠了，而地形起伏較大的地區(qū)，可根據(jù)實測結(jié)果選擇ASTGTM2或SRTM4.1。衛(wèi)星軌道的插值中，四次多項式直接法已經(jīng)能夠滿足快速高精度定位的需要。進(jìn)一步的精度提升還需要其他輔助手段，比如使用類似角反射器的工具測定精確的地面控制點，以此對定位結(jié)果進(jìn)行整體修正。

此外，論文中的方法還在Radarsat-2圖像和COSMO-SkyMed圖像的幾何校正中進(jìn)行了驗證，也取得了良好的效果。相對來說，Radarsat-2圖像的軌道精度最低，衛(wèi)星狀態(tài)矢量也只提供了5個，使用RD模型進(jìn)行定位時殘差并不穩(wěn)定，即使用元數(shù)據(jù)中給出的控制點也一樣，不過官方提供了一種有理多項式模型來彌補(bǔ)這一缺陷。實際應(yīng)用中使用RD模型高精度定位還需要其他數(shù)據(jù)對軌道進(jìn)行修正。而TerraSAR-X和COSMO-SkyMed的軌道精度都能滿足直接使用RD模型高精度定位的要求，而且提供了更多的衛(wèi)星狀態(tài)向量，前者提供了12個，后者提供了15個。