李群霞

（北京科技大學(xué)東凌經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100083）

1 引言

庫存控制在供應(yīng)鏈管理中起著關(guān)鍵的作用。合理控制庫存可以滿足客戶的需求，有效設(shè)計生產(chǎn)計劃，降低生產(chǎn)和訂貨成本。由于庫存控制所涉及的環(huán)境復(fù)雜，特別在供應(yīng)鏈環(huán)境下，因此許多研究學(xué)者對模型進(jìn)行了簡化。Li和Liu[1]采用數(shù)量折扣方法協(xié)調(diào)隨機(jī)需求。Goyal 和Giri[2]在模型中假設(shè)需求、生產(chǎn)、缺陷率是變化的。Rau, Wu 和Wee[3]在不存在缺貨前提下，研究缺陷品對供應(yīng)鏈庫存的影響。Wang,Lin 和Yu[4]研究了三級供應(yīng)鏈庫存模型，假設(shè)有生產(chǎn)商、零售商和客戶，生產(chǎn)商只向零售商提供貨物，零售商只向客戶提供出售貨物。Wu和Ho[5]允許存在缺貨，將訂貨點作為決策變量，同時優(yōu)化訂貨量、訂貨點、提前期和訂貨次數(shù)。Ouyang和Chuang[6]將補(bǔ)貨率作為控制參數(shù)。Ben-Daya 和Hariga[7]假設(shè)提前期參數(shù)隨訂貨量線性變化。Chandra 和Grabis[8]假設(shè)訂貨成本與提前期參數(shù)相關(guān)。Wu和Ho[9]在聯(lián)合庫存模型中考慮了缺陷生產(chǎn)過程和可控提前期。Huang,Tsai,Wu,和Chung[10]假設(shè)允許縮短訂貨時間和延遲付款。Huang and Hsu[11]研究兩級信用周期，其中零售商對客戶只提供部分商業(yè)信用。Chung和Wee[12]在三級庫存模型中研究了補(bǔ)貨機(jī)制。

與參考文獻(xiàn)所研究的內(nèi)容有所不同，本文將深入研究客戶的訂貨庫存行為。結(jié)合客戶在訂貨點的庫存水平和客戶的需求率，將客戶的訂貨庫存行為分成三種不同的訂貨行為：缺貨行為、完全消耗行為和部分消耗行為。并根據(jù)這些不同的訂貨庫存行為，對各個供應(yīng)鏈供需同步庫存模型進(jìn)行比較，系列地分析在不同訂貨庫存行為下，客戶貨物消耗和生產(chǎn)商貨物生產(chǎn)對聯(lián)合庫存成本的影響、以及對訂貨量和訂貨次數(shù)的影響。具體如下：分別得到客戶的三種不同的客戶訂貨模型，分別與生產(chǎn)商的生產(chǎn)庫存模型相結(jié)合建立起不同訂貨行為下的供需同步庫存模型。在供應(yīng)鏈庫存聯(lián)合決策環(huán)境下，優(yōu)化供需同步庫存模型，以此獲取最佳估計結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，分析和比較三種行為在優(yōu)化結(jié)果和聯(lián)合庫存成本上的差異。

2 供應(yīng)鏈庫存行為描述

具體涉及的參數(shù)定義見表1。圖1（a-c）分別反映客戶在缺貨行為下、完全消耗行為下和部分消耗行為下的庫存水平變化情況，圖1（d）反映生產(chǎn)商庫存水平的變化情況?？蛻舻男枨舐蔇為常數(shù)，在提前期L起始時，即t1時刻末為訂貨點，客戶向生產(chǎn)商訂貨Q件。生產(chǎn)商立即響應(yīng)客戶的訂貨要求，開始生產(chǎn)產(chǎn)品。在L時刻末，生產(chǎn)商至少生產(chǎn)Q件產(chǎn)品以滿足客戶第一次需求。Q件產(chǎn)品會瞬時到達(dá)，客戶的庫存會及時補(bǔ)貨。生產(chǎn)商會一直生產(chǎn)產(chǎn)品，直到生產(chǎn)nQ件產(chǎn)品來滿足客戶的n次訂貨需求才結(jié)束生產(chǎn)。

表1 變量及其含義

圖1 客戶-生產(chǎn)商的庫存變化水平

3 供需同步庫存模型

3.1 客戶庫存成本

如圖1（a-c）所示，客戶的需求率D為常數(shù)，且，可得：

因此客戶的持有成本和缺貨成本為：

考慮客戶的訂貨成本為Ar，其平均庫存成本Cr為訂貨成本、持有成本和缺貨成本之和，即：

（2）完全消耗行為。如圖1（b）所示，在完全消耗行為下，有Ir(T-)=r-LD=0，即r=LD=λQ，因此式（1）條件為：

因此客戶庫存成本為訂貨成本、持有成本之和，即：

（3）部分消耗行為。如圖1（c）所示，在部分消耗行為下，有Ir(T-)=r-LD＞0，即r＞LD=λQ，因此式（1）條件為：

與完全消耗行為相同，客戶庫存成本為訂貨成本和持有成本之和，即：

3.2 生產(chǎn)商庫存成本

如圖1（d）所示，生產(chǎn)商只在0≤t≤Tm內(nèi)生產(chǎn)了nQ件產(chǎn)品，在Tm＜t≤nT期間，生產(chǎn)商已經(jīng)停止了生產(chǎn)。生產(chǎn)商每隔T時間向客戶供貨一次，每次供貨后生產(chǎn)庫存削減了Q件。nT時間內(nèi)共供貨n次，在供貨n次后，生產(chǎn)庫存為0。綜上所述，生產(chǎn)商的庫存持有成本為：

另外生產(chǎn)準(zhǔn)備成本=Am，且ρ=D/P，則生產(chǎn)商庫存成本Cm為

3.3 聯(lián)合庫存成本

（1）缺貨行為。先分析缺貨行為的聯(lián)合庫存成本，完全消耗行為和部分消耗行為是缺貨行為的特例，聯(lián)合決策優(yōu)化方法相似。結(jié)合式（4）和（10），可得供應(yīng)鏈聯(lián)合庫存成本為：

將其代入式（11），整理后得：

將式（14）代入式（12）可得：

將式（14）和式（15）代入式（11）中，可得聯(lián)合優(yōu)化決策下的總平均庫存成本為：

（2）部分消耗行為。當(dāng)r＞λQ=LD時，結(jié)合式（8）和（10），供應(yīng)鏈聯(lián)合庫存成本可變?yōu)椋?/p>

也可采用相似的聯(lián)合決策優(yōu)化方法對上式求最優(yōu)解：

與式（14-16）相比，上面估計公式中刪除了三項，即：r2(sr+hr)、λ2(sr+hr)和-λ(sr+hr)r。

（3）完全消耗行為。當(dāng)r=λQ=LD時，結(jié)合式（6）和式（10），供應(yīng)鏈聯(lián)合庫存成本可變?yōu)椋?/p>

也可采用相似的聯(lián)合決策優(yōu)化方法對上式求最優(yōu)解：

與式（18）相比，r=λQ=LD情況下，估計等式中(hr-hm)(1-2λ)項變?yōu)閔r-hm(1-2λ)，另外成本估計等式刪除了hrr項。

由式（14-15）、（18）和（20）可知，訂貨總量n*Q*在這三種客戶消耗行為下是相同的，為

4 算例分析

下面驗證聯(lián)合決策下的供應(yīng)鏈供需同步庫存模型的有效性。假設(shè)客戶和生產(chǎn)商的庫存參數(shù)如下：

（1）一次訂貨（客戶）：Ar=100 元/次，D=2 000件/年，hr=20件/年，sr=50件/年，r=50件，λ=0.1。

（2）一次生產(chǎn)（生產(chǎn)商）：Am=10 000 元/次，P=40 000件/年，hm=10元/件/年。

表2 r＜λQ，r=λQ和r＞λQ的最優(yōu)值比較

將以上庫存參數(shù)代入式（14-16）、（18）和（20），可得表2中最佳參數(shù)估計值。從表2可知，只有在r＜λQ情況下會存在缺貨現(xiàn)象。在現(xiàn)實環(huán)境中，單位缺貨成本sr要遠(yuǎn)大于單位持有成本hr，因此缺貨現(xiàn)象會導(dǎo)致聯(lián)合庫存成本要明顯高于r=λQ和r＞λQ這兩種不存在缺貨現(xiàn)象的特殊情況。當(dāng)r=λQ時，每次訂貨量恰好滿足客戶在這次訂貨周期內(nèi)的需求，在訂貨周期末，庫存水平變?yōu)?，因此沒有留下任何產(chǎn)品。而在r＞λQ情況下，會存在殘余產(chǎn)品存放在庫存中，因此相比r=λQ情況，會產(chǎn)生更多的庫存持有成本，因此聯(lián)合庫存成本也要高于r=λQ情況。對于訂貨次數(shù)和訂貨量，從表中可知，訂貨總量n*Q*是相同的，與式（21）得到的結(jié)論相同。r＜λQ情況下相比r=λQ和r＞λQ需要更大的訂貨量，而訂貨次數(shù)有所減少。具體有

5 敏感性分析

5.1 α=Am/Ar對n*,Q*,C*的影響

設(shè)Am在區(qū)間[2000,4000]變化，Ar值和其它庫存參數(shù)值不變，則α=Am/Ar在區(qū)間[20,40]變化，n*,Q*,C*隨α=Am/Ar變化趨勢如圖2所示。不同行為的n*和C*值都隨α值的增大而增大，而Q*值不變。缺貨行為的n*曲線始終在最下方，而Q*曲線和C*曲線始終在最上方。相反，完全消耗行為的n*曲線始終在最上方，而Q*曲線和C*曲線始終在最下方。可見，完全消耗行為的聯(lián)合庫存成本最低，部分消耗行為的聯(lián)合庫存成本次之，缺貨行為的聯(lián)合庫存成本最大。

圖2 α=Am/Ar對n*,Q*,C*的影響

5.2 β=hr/hm對n*,Q*,C*的影響

設(shè)hr在區(qū)間[15,30]變化，hm值和其它庫存參數(shù)值不變，則β=hrhm在區(qū)間[1.5,3.0]變化，n*,Q*,C*隨β=hrhm變化趨勢如圖3所示。三種客戶行為的Q*值都隨β值的增大而減少，而n*值和C*值都隨β值的增大而增大。缺貨行為的C*曲線斜率最大。缺貨行為的n*曲線始終在最下方，而Q*曲線和C*曲線始終在最上方。相反，完全消耗行為的n*曲線始終在最上方，而Q*曲線和C*曲線始終在最下方。同樣，完全消耗行為的聯(lián)合庫存成本最低，部分消耗行為的聯(lián)合庫存成本次之，缺貨行為的聯(lián)合庫存成本最大。

圖3 β=hr/hm對n*,Q*,C*的影響

5.3 ρ=D/P對n*,Q*,C*的影響

設(shè)P在區(qū)間[4000,8000]變化，D值和其它庫存參數(shù)值不變，則ρ=D/P在區(qū)間[0.25,0.50]變化。n*,Q*,C*隨ρ=DP變化趨勢如圖4所示。三種客戶行為的Q*值都不隨ρ值改變而改變，n*值都隨ρ值的增大而增大，而C*值都隨ρ值的增大而減小。三種客戶行為相同參數(shù)的曲線幾乎是平行的。缺貨行為的n*曲線始終在最下方，而Q*曲線和C*曲線始終在最上方。相反，完全消耗行為的n*曲線始終在最上方，而Q*曲線和C*曲線始終在最下方。同樣，完全消耗行為的聯(lián)合庫存成本最低，部分消耗行為的聯(lián)合庫存成本次之，缺貨行為的聯(lián)合庫存成本最大。

5.4 r對n*,Q*,C*的影響

設(shè)r在區(qū)間[50,100]變化，其它庫存參數(shù)值不變，n*,Q*,C*隨r變化趨勢如圖5所示。缺貨行為的n*值隨r值的增大而減小，而Q*值和C*值都隨r值的增大而增大。部分消耗行為的n*值和Q*值不隨r值變化，只有C*值隨r值的增大而增大，斜率不如缺貨行為。完全消耗行為的所有參數(shù)值都不會隨r值變化。缺貨行為的n*曲線始終在最下方，而Q*曲線和C*曲線始終在最上方。相反，完全消耗行為的n*曲線始終在最上方，而Q*曲線和C*曲線始終在最下方。同樣，完全消耗行為的聯(lián)合庫存成本最低，部分消耗行為的聯(lián)合庫存成本次之，缺貨行為的聯(lián)合庫存成本最大。

圖4 ρ=D/P對n*,Q*,C*的影響

圖5 r對n*,Q*,C*的影響

6 結(jié)論

（1）本文研究了由單一生產(chǎn)商和單一客戶組成的兩級供應(yīng)鏈庫存問題。根據(jù)客戶消耗庫存的特點，將客戶消耗貨物行為分為缺貨行為、完全消耗行為和部分消耗行為，由此分別建立了對應(yīng)行為下的客戶庫存成本函數(shù)。結(jié)合生產(chǎn)商庫存成本函數(shù)，建立了聯(lián)合目標(biāo)函數(shù)下的供應(yīng)鏈供需同步庫存模型，提出了聯(lián)合決策的優(yōu)化方法，證明了這三種行為下聯(lián)合目標(biāo)函數(shù)都存在最優(yōu)訂貨量和最優(yōu)訂貨次數(shù)。理論分析表明，完全消耗行為和部分消耗行為是缺貨行為的兩種特例。

（2）根據(jù)三種消耗行為的差異，本文進(jìn)行了敏感性分析。缺貨行為的訂貨次數(shù)曲線始終在最下方，而訂貨量曲線和聯(lián)合庫存成本曲線始終在最上方，而完全消耗行為曲線恰恰相反。在缺貨行為下，客戶更傾向于更少的訂貨次數(shù)和每次更多的訂貨量，但是與完全消耗行為和部分消耗行為的訂貨總量是相同的。

（3）缺貨行為會出現(xiàn)缺貨現(xiàn)象，而單位缺貨成本要明顯高于單位持有成本，因此缺貨行為下的聯(lián)合庫存成本是最大的，要大于部分消耗行為的聯(lián)合庫存成本。另外，部分消耗行為會留下殘余庫存，因此會增加持有成本，相比完全消耗行為，聯(lián)合庫存成本有所增加，庫存成本增加量依賴殘余庫存量。因此在現(xiàn)實環(huán)境中，會出現(xiàn)商家采用打折方法掃除尾貨。敏感性分析表明，完全消耗行為的聯(lián)合庫存成本最低，部分消耗行為的聯(lián)合庫存成本次之，缺貨行為的聯(lián)合庫存成本最大。