鄢 良，馬廷鋒，王明飛，王 驥，杜建科

(寧波大學 機械工程與力學學院,浙江 寧波 315211)

0 引言

壓電晶體諧振器具有高精度、高穩(wěn)定性和高一致性的特點，在通訊及傳感領域中得到廣泛應用。傳統(tǒng)的壓電諧振器通常采用厚度場激勵石英晶體諧振器。從激勵模式來看，與將電極分別位于諧振器上、下表面的厚度場激勵相比，將電極置于同一面上的橫向場激勵模式具有品質(zhì)因數(shù)高，頻率穩(wěn)定性好及晶體老化率低等優(yōu)點[1]。之前的橫向場激勵壓電諧振器多采用石英晶體，而石英晶體器件壓電耦合系數(shù)及傳感靈敏度較低，性能亟需提高。因此，有必要研究基于強壓電耦合晶體鈮酸鋰的橫向場激勵諧振器。

目前，對于橫向電場激勵諧振器的研究主要還集中在理論上[2-6]，所采用的方法主要是Mindlin一階板理論，即給定長厚比后，分析簡化后的模型振動特性[7]。由于采用一階板理論得到的解析解只能是一維近似解，得到的結(jié)果未考慮寬度方向的影響，而鈮酸鋰器件由于壓電耦合系數(shù)高，振動特性受尺寸參數(shù)的影響大，因此有必要進行有限元仿真分析，揭示尺寸參數(shù)對鈮酸鋰器件特性的影響規(guī)律，為器件的尺寸設計提供參考依據(jù)。本文采用有限元仿真分析軟件COMSOL Multiphysics，運用三維模型對基于橫向電場激勵鈮酸鋰諧振器的高頻振動進行仿真分析，得到了厚度剪切振動的導納圖和振型云圖。另外,分析了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對諧振器諧振頻率等振動特性的影響。

1 橫向電場激勵諧振器的控制方程及頻譜關系

圖1為橫向電場激勵諧振器結(jié)構(gòu)圖。本文理論計算只考慮振動沿x1方向傳播的情況，即x1方向為晶體板長度方向，x2方向為晶體板厚度方向，坐標原點選擇為晶體板的中心，諧振器關于坐標原點對稱。2h為晶體板厚度，2h′為電極厚度，a，b，c分別表示原點到電極首端、電極尾端及晶體板尾端的距離，其中a值又被稱為電極間距值。V，-V表示在兩塊電極板上分別施加正弦交流電的正、負電壓。

圖1 橫向場激勵諧振器結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)Mindlin一階板理論，代入相應材料參數(shù)，得出一階板橫向場激勵諧振器分別在電極區(qū)與非電極區(qū)的控制方程。

非電極區(qū)控制方程：

(1)

電極區(qū)控制方程：

(2)

諧振器自由振動邊界條件：

(3)

本研究中的工作模態(tài)選為厚度剪切模態(tài)，振動沿x1方向傳播,諧振器材料為(yxl)-58° LiNbO3，電極材料為銀,電極與晶體板質(zhì)量比(r)為0.05，諧振器基頻為10 MHz，晶體板寬度為晶體板厚度的60倍。

聯(lián)立式(1)～(3)，求得諧振器在厚度剪切模態(tài)下的頻譜關系，如圖2所示。

圖2 頻率與長厚比關系圖

為了選擇耦合較弱的點，取兩曲線的非相交點，本文中選擇長厚比為60.7。

根據(jù)圖2得到的長厚比尺寸，利用有限元分析軟件可求解在該尺寸下的厚度剪切模態(tài)的諧振頻率，進一步分析各個參數(shù)對諧振頻率和振動強度的影響規(guī)律。

2 橫向場激勵諧振器的仿真

2.1 橫向場激勵諧振器仿真建模

1)模型結(jié)構(gòu)設計。根據(jù)理論計算出的頻譜關系選出長厚比，結(jié)合給定的寬度及質(zhì)量比，得到尺寸參數(shù)如表1所示。

表1 諧振器尺寸參數(shù)表

表1中,w為三維有限元模型中諧振器沿寬度方向的尺寸，其余尺寸參數(shù)與二維理論模型代表的含義相同。由表1可知，w與2h′之比大于100倍，在有限元分析中，長厚比相差過大會影響網(wǎng)格劃分精度，故對電極做二維化處理，通過在電極區(qū)域附加質(zhì)量的方法補償由二維化處理帶來的誤差。

2)模型材料參數(shù)設定。COMSOL Multiphysics 中雖然提供了鈮酸鋰材料參數(shù)，但考慮到諧振器有能量耗散，故對材料庫中的鈮酸鋰彈性常數(shù)進行修正，其余材料參數(shù)保持不變，修正后的鈮酸鋰彈性常數(shù)矩陣為

Cpq=cpq(1+iQ-1)

(4)

式中：p，q=1～6；i表示虛數(shù)；Cpq為復彈性常數(shù)矩陣；cpq為實彈性常數(shù)矩陣；Q=104為耗散因子。

同時在旋轉(zhuǎn)坐標系中，將歐拉坐標系(α,β,γ)設置為(0°,-58°,0°)，得到 (yxl)-58°LiNbO3。

3)模型物理場與邊界條件設定。仿真模型物理場選為壓電耦合場，在COMSOL Multiphysics中分為固體力學場與靜電場。在固體力學場中，模型各邊均設為自由邊界，模型所有域均設為壓電材料域，材料坐標系設為前述的旋轉(zhuǎn)坐標系。同時，需要在固體力學場中設置附加質(zhì)量，兩電極區(qū)域質(zhì)量大小設定為5.914 910-7kg。在靜電場中，兩電極區(qū)域分別設置為終端與接地，終端施加2 V正弦交流電。

4)網(wǎng)格設置。針對矩形板結(jié)構(gòu)，諧振器上表面采用映射網(wǎng)格，然后沿厚度方向進行掃掠。根據(jù)理論研究結(jié)果，在劃分網(wǎng)格時應保證一個波長內(nèi)至少有8個節(jié)點，如此才能保證計算結(jié)果的收斂性和正確性[8-9]，因此，網(wǎng)格大小選擇為波長的1/8。

2.2 網(wǎng)格無關性分析

模型網(wǎng)格在長度方向的尺寸已確定，為了保證數(shù)值計算結(jié)果的準確性，將沿厚度方向掃掠的層數(shù)分別從1層逐步增加，得到的諧振峰值如表2所示。

表2 不同自由度下模型諧振峰值

由表2可知，當厚度方向掃掠層數(shù)大于7時，諧振器厚度剪切模態(tài)的振動頻率收斂于9.864 33 MHz?；诒?的結(jié)果，同時出于簡化計算量的目的，設定沿厚度方向掃掠層數(shù)為7層，則諧振器有限元網(wǎng)格模型如圖3所示。

圖3 諧振器有限元網(wǎng)格模型圖

2.3 模態(tài)分析

通過求解特征頻率的方法找到在10 MHz基頻下的諧振器厚度剪切模態(tài)，同時，根據(jù)計算出的厚度剪切模態(tài)對應的特征頻率值，在頻域計算中進行分析，畫出導納圖，得到諧振峰值精確值。諧振器導納圖、諧振峰值點振型云圖及諧振峰值點厚度方向位移矢量圖分別如圖4～6所示。

圖4 諧振器導納圖

圖5 諧振峰值點振型云圖

圖6 諧振峰值點厚度方向位移矢量圖

圖4中對應的諧振峰值點為9.864 33 MHz。由圖5可知，諧振器振動主要集中在電極區(qū)域，且電極區(qū)域振動沿寬度方向無變化，非電極區(qū)域幾乎無振動，諧振器能陷特性好。圖6中，振動在厚度方向有一個節(jié)點，且位移矢量分布關于節(jié)點對稱。結(jié)合上述分析可確定圖4中峰值點所對應的模態(tài)為一階厚度剪切模態(tài)。

3 橫向場激勵諧振器參數(shù)優(yōu)化研究

為了更好地設計性能優(yōu)良的橫向場激勵諧振器，通過改變關鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)(r，a)及分析各參數(shù)對諧振器諧振頻率等振動特性的影響。

3.1 r對諧振器影響的研究

在只改變r的條件下，諧振器的諧振頻率與總位移曲線分別如圖7、8所示。結(jié)合圖7、8可知，隨著r的增加，橫向場激勵諧振器的諧振頻率降低，諧振器電極區(qū)的振動強度隨之增強，非電極區(qū)能陷特性越來越好。電極區(qū)振動越強，即諧振器的靈敏度越高。產(chǎn)生該現(xiàn)象是因為隨著r的增加，電極導電性增大，諧振器整體阻抗降低，從而使電極區(qū)振動強度隨之增強，諧振頻率隨之降低。因此，為了獲得靈敏度更高的諧振器，應選擇相對大的r。

圖7 r與諧振頻率關系圖

圖8 不同r下諧振頻率對應的位移曲線圖

3.2 a對諧振器的影響

在只改變a的條件下，諧振器的諧振頻率與總位移曲線分別如圖9、10所示。由圖9、10可知，隨著a的增大，諧振頻率值減小，且頻率值減小的速率隨著間距值的增大而變慢，諧振器的振動強度先增強后減小，拐點在a=2h附近。產(chǎn)生諧振頻率隨a增大而減小的現(xiàn)象是因為隨著a的增大，諧振器整體阻抗及諧振頻率均降低，而振動強度隨a的增大呈先增強后減小的現(xiàn)象。這是因為在拐點前后對振動強度產(chǎn)生影響的主導因素不同，在a≤2h時，振動強度大小主要由諧振器整體阻抗決定，隨著a的增大，諧振器整體阻抗降低，電極區(qū)諧振強度增強；在a>2h時，諧振器振動強度主要由諧振器模態(tài)耦合強度決定，隨著a的增大，諧振器耦合強度減弱，電極區(qū)振動強度減小。因此，應根據(jù)諧振器綜合要求合理選擇a。

圖9 a與諧振頻率關系曲線圖

圖10 不同a下,諧振頻率對應的位移曲線圖

4 結(jié)束語

本文通過有限元分析軟件COMSOL Multiphysics對基于橫向電場激勵的(yxl)-58°LiNbO3諧振器的高頻振動進行了分析，通過Mindlin板方程計算出的頻譜關系，結(jié)合給定的尺寸參數(shù)，得到基頻為10 MHz的橫向電場諧振器一階厚度剪切模態(tài)頻率值為9.864 33 MHz；同時，通過改變關鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)，得到了電極質(zhì)量比與電極間距對諧振器高頻振動特性的影響規(guī)律：隨著質(zhì)量比的增加，諧振頻率降低，能陷效應變好，振動強度增強；隨著電極間距的增加，諧振頻率降低，能陷效應變好，振動強度先增強后減弱，拐點出現(xiàn)在電極間距值a=2h附近。根據(jù)本文的研究結(jié)果，在設計橫向電場激勵的LiTaO3諧振器時，能快速設計出諧振器最優(yōu)尺寸，對實際生產(chǎn)有重要參考價值。