姜瑞忠，張福蕾，崔永正，潘 紅，張 旭，張春光，沈澤陽

（1.中國石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東青島266580；2.中國石油大港油田分公司采油工藝研究院，天津300280）

0 引言

頁巖氣藏作為重要的非常規(guī)油氣資源之一，近年來已成為國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)［1-2］。頁巖氣存在吸附解吸、基質(zhì)中擴(kuò)散、基質(zhì)向裂縫間竄流和裂縫中滲流等多種氣體運(yùn)移機(jī)制［3-4］。頁巖儲層滲透率極低，需對其進(jìn)行水力壓裂改造［5-7］。壓裂改造可形成高導(dǎo)流區(qū)，把包括裂縫在內(nèi)的這一區(qū)域稱為改造儲層體積（SRV）［8-9］，其形態(tài)可簡化為一橢圓形區(qū)域［10］。一些學(xué)者［11-12］利用復(fù)合氣藏模型分析了考慮橢圓SRV的壓裂井壓力變化特征，但都未考慮基質(zhì)向裂縫間的竄流。Zhang等［11］建立了考慮橢圓SRV的雙重介質(zhì)頁巖氣藏壓裂井復(fù)合模型，依照Fick第一擴(kuò)散定律在基質(zhì)中擬穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散。姜瑞忠等［12］提出依照Fick第二擴(kuò)散定律的壓裂改造復(fù)合頁巖氣藏壓力分析方法，運(yùn)用橢圓坐標(biāo)系模型，綜合分析了非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散、解吸、滲流等傳質(zhì)機(jī)理。頁巖氣藏滲透率低，儲層表現(xiàn)出很強(qiáng)的應(yīng)力敏感性，其對壓力的影響不容忽視［13］。尹洪軍等［14］研究了均質(zhì)頁巖氣藏垂直裂縫井橢圓流壓力動態(tài)問題，模型考慮了應(yīng)力敏感效應(yīng)的影響，但也未涉及SRV的分析。

綜上所述，目前還未有考慮應(yīng)力敏感性、基質(zhì)向裂縫間非穩(wěn)態(tài)竄流、橢圓SRV等的數(shù)學(xué)模型。本次研究根據(jù)頁巖氣吸附解吸、Knudsen擴(kuò)散、非穩(wěn)態(tài)竄流和滲流等多種氣體運(yùn)移機(jī)制對壓力的影響，來建立綜合應(yīng)力敏感性和橢圓SRV的復(fù)合頁巖氣藏壓裂井試井模型，并利用Mathieu函數(shù)、Pedrosa變量代換、正則攝動理論等方法對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，以期提出的壓力動態(tài)分析方法可為水力壓裂開采頁巖氣藏提供一定的理論支持。

1 物理模型

考慮SRV的壓裂改造頁巖氣藏模型如圖1所示，內(nèi)外兩區(qū)均為橢圓形，外區(qū)為原始儲層，內(nèi)區(qū)為壓裂改造區(qū)（SRV），其孔隙度和滲透率較外區(qū)高。模型假設(shè)如下：①外區(qū)邊界無限大，內(nèi)區(qū)半徑為ξ1；②氣藏儲層厚度為h，初始地層壓力為Pi；③基質(zhì)假設(shè)為球狀，半徑為Rm，基質(zhì)中存在吸附氣和自由氣，裂縫中為自由氣；④壓裂井位于氣藏中心，以定產(chǎn)量qsc生產(chǎn)；⑤考慮基質(zhì)中氣體的吸附解吸，氣體擴(kuò)散滿足Knudsen定律，并且考慮從基質(zhì)到裂縫間的非穩(wěn)態(tài)竄流；⑥只考慮裂縫受應(yīng)力敏感的影響，由于應(yīng)力敏感主要發(fā)生在近井地帶，只在內(nèi)區(qū)考慮其對滲流的影響［15］；⑦忽略重力和毛管壓力的影響。

圖1 考慮橢圓SRV的復(fù)合頁巖氣藏壓裂井模型Fig.1 Fractured well model in composite shale gas reservoir considering elliptical SRV

2 數(shù)學(xué)模型建立

頁巖氣按照Knudsen擴(kuò)散模型在納米級孔隙中擴(kuò)散［16］，由于濃度差作用的擴(kuò)散所產(chǎn)生的質(zhì)量通量為

式中：Jk為由于濃度差作用的擴(kuò)散所產(chǎn)生的質(zhì)量通量，kg/（m2·s）；D為擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；Mg為氣體摩爾質(zhì)量，kg/mol；Cm為基質(zhì)中氣體濃度，mol/m3；rm為基質(zhì)中徑向距離，m。

氣體狀態(tài)方程為

式中：pm為基質(zhì)壓力，Pa；V 為氣體體積，m3；Z 為氣體壓縮因子；n為氣體物質(zhì)的量，mol；R為通用氣體常數(shù)，Pa·m3/（mol·K）；T為氣藏儲層溫度，K。

由式（2）可求得氣體濃度為

式中：cgm為基質(zhì)中氣體壓縮系數(shù)，Pa-1；ρ為氣體密度，kg/m3。

將式（3）代入式（1）并聯(lián)立式（4）整理可得

式中：Jp為壓力差作用的滲流所產(chǎn)生的質(zhì)量通量，kg/（m2·s）；km為基質(zhì)滲透率，mD；μ為氣體黏度，mPa?s。

式（2）變形可得

則濃度差和壓力差共同作用所產(chǎn)生的質(zhì)量通量為

式中：ka為基質(zhì)的表觀滲透率，mD。

球狀基質(zhì)表面處的質(zhì)量流速［17］為

式中：v為氣體質(zhì)量流速，kg/（m2·s）；Rm為基質(zhì)塊半徑，m。

單位體積基質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)向裂縫的非穩(wěn)態(tài)竄流量為qm，基質(zhì)球面處的流速等于單位時(shí)間基質(zhì)的流出量與基質(zhì)表面積的比值，即

式中：qm為氣體竄流質(zhì)量流量，kg/（m3·s）。

將式（11）代入式（10）整理可得

式中：qd為氣體解吸質(zhì)量流速，kg/（m3·s）；φf為裂縫孔隙度，%；φm為基質(zhì)孔隙度，%；GL為蘭格繆爾體積，m3/m3；pL為蘭格繆爾壓力，Pa；t為時(shí)間，s。

引入氣體擬壓力表達(dá)式

式中：ψ為擬壓力，Pa/（mPa·s）；

內(nèi)區(qū)裂縫考慮應(yīng)力敏感性，滲透率模量定義如下

式中：γ 為滲透率模量，mPa·s/Pa2；kf1為內(nèi)區(qū)裂縫滲透率，mD；ψf1為內(nèi)區(qū)裂縫擬壓力，Pa2/（mPa·s）。式（15）可變形為

求解式（16）可得

式中：式中：φf1為內(nèi)區(qū)裂縫孔隙度，%；ctf1為內(nèi)區(qū)裂縫總壓縮系數(shù)，Pa-1；Rm1為內(nèi)區(qū)基質(zhì)塊半徑，m；ka1為內(nèi)區(qū)基質(zhì)的表觀滲透率，mD；ψm1為內(nèi)區(qū)基質(zhì)擬壓力，Pa2/（mPa·s）；rm1為內(nèi)區(qū)基質(zhì)中徑向距離，m。

內(nèi)區(qū)基質(zhì)的滲流方程為

式中：φm1為內(nèi)區(qū)基質(zhì)孔隙度，%；ctm1為內(nèi)區(qū)基質(zhì)總壓縮系數(shù)，Pa-1；ka1為內(nèi)區(qū)基質(zhì)的表觀滲透率，mD；cd1為內(nèi)區(qū)考慮解吸的附加壓縮系數(shù)，Pa-1，表達(dá)式如下

式中：cd為考慮解吸的附加壓縮系數(shù)，Pa-1；psc為標(biāo)準(zhǔn)條件下的壓力，Pa；Tsc為標(biāo)準(zhǔn)條件下的溫度，K；ψL為蘭格繆爾擬壓力，Pa2/（mPa·s）。

式中：L為參考長度，m；qsc為恒定地面氣體產(chǎn)量，m3/s；C為井筒存儲系數(shù)，m3/Pa；h為氣藏厚度，m；β為內(nèi)外區(qū)儲容比；θ為滲透率比；φm2為外區(qū)基質(zhì)孔隙度，%；ctm2為外區(qū)基質(zhì)總壓縮系數(shù)，Pa-1；φf2為外區(qū)裂縫孔隙度，%；ctf2為外區(qū)裂縫總壓縮系數(shù)，Pa-1；ωf為裂縫儲容比；ωm為裂縫儲容比；ωd為考慮解吸的儲容比；λ為竄流系數(shù)；M為流度比；kf2為外區(qū)裂縫滲透率，mD。

將無因次參數(shù)代入式（18）—（19）中，得無因次條件下裂縫和基質(zhì)的滲流方程分別為

式中：ωf1為內(nèi)區(qū)裂縫儲容比；λ1為內(nèi)區(qū)竄流系數(shù)；θ1為內(nèi)區(qū)滲透率比；ωm1為內(nèi)區(qū)基質(zhì)儲容比；ωd1為內(nèi)區(qū)考慮解吸的儲容比。

利用Pedrosa變量代換處理裂縫滲流方程的強(qiáng)非線性［19］，表達(dá)式如下

式中：χ1D為攝動變換函數(shù)。

將式（23）代入式（21）可得

將式（24）進(jìn)行整理，等式兩邊約去相同項(xiàng)可得

無因次滲透率模量通常很?。é肈＜＜1），0階近似解滿足工程精度要求，式（25）變?yōu)?/p>

式中：s為拉普拉斯變量。

球形基質(zhì)的初始及內(nèi)外邊界條件經(jīng)無因次化、Pedrosa變量代換及拉普拉斯變換后為

將式（31）—（33）與式（30）聯(lián)立可得

將式（34）代入式（29）可得

笛卡爾坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為橢圓坐標(biāo)的方法為

式中：ξ，η為橢圓坐標(biāo)。

將式（36）代入式（35）可得橢圓坐標(biāo)系的滲流方程為

外區(qū)無因次化及拉普拉斯變換后的裂縫和基質(zhì)滲流方程分別為

式中：ωf2為外區(qū)裂縫儲容比；λ2為外區(qū)竄流系數(shù)；θ2為外區(qū)滲透率比；ωm2為外區(qū)基質(zhì)儲容比；ωd2為外區(qū)考慮解吸的儲容比。

利用與內(nèi)區(qū)相同的求解方法對式（38）、（39）進(jìn)行求解，并利用式（36）將坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為橢圓坐標(biāo)為

式中：ξw為橢圓坐標(biāo)下井筒半徑。

無限大外邊界條件為

ξ=ξ1時(shí)，內(nèi)外區(qū)壓力和流量相等，交界面條件為

3 數(shù)學(xué)模型求解

根據(jù)式（42）和 Mathieu 函數(shù)性質(zhì)［20］得式（37），（40）的解為

式中：ce2n為2 n階第一類Mathieu函數(shù)角函數(shù)；Ge2n為2 n階第一類Mathieu函數(shù)徑函數(shù)；Ue2n為2 n階第二類Mathieu函數(shù)徑函數(shù)。

由式（41），（43）和（44）得

其中A2n0為Mathieu函數(shù)展開式的系數(shù)。

聯(lián)立式（47）—（49）可得 D2n，I2n和 H2n，Pedrosa變量代換后的產(chǎn)量為

由角度Mathieu函數(shù)的性質(zhì)［20］，有下式

考慮井筒存儲效應(yīng)和表皮系數(shù)時(shí)，式（53）變?yōu)?/p>

式中：S為表皮系數(shù)。

利用Stehfest數(shù)值反演法［22］可得真實(shí)空間下的壓力χwD，則考慮應(yīng)力敏感的井底擬壓力為

4 典型曲線分析

圖2為考慮橢圓SRV的復(fù)合頁巖氣藏?cái)M壓力及導(dǎo)數(shù)典型曲線，基本參數(shù)取值為：CD=10，S=0.1，ξ=11，kf1=0.02 mD，kf2=0.005 mD，D=10-6（m2/s），cd=0.013 MPa-1。依據(jù)曲線形態(tài)可將流動階段劃分為9段：①井筒存儲階段，擬壓力及導(dǎo)數(shù)曲線重合，斜率為1；②表皮因子影響階段，導(dǎo)數(shù)曲線形狀為一駝峰；③內(nèi)區(qū)裂縫徑向流階段，表現(xiàn)為值為0.5的水平線；④內(nèi)區(qū)竄流階段，導(dǎo)數(shù)曲線為一凹子；⑤內(nèi)區(qū)整體徑向流階段，導(dǎo)數(shù)曲線水平；⑥過渡流階段，壓力傳播到內(nèi)外區(qū)交界面處；⑦外區(qū)裂縫徑向流階段；⑧外區(qū)竄流階段；⑨儲層整體徑向流階段。

5 敏感性分析

對滲透率模量、SRV半徑、外區(qū)裂縫滲透率、擴(kuò)散系數(shù)、解吸壓縮系數(shù)等參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，基本參數(shù)取值為：CD=10，S=0.1，γD=0.01，ξ=11，kf1=0.02 mD，kf2=0.005 mD，D=10-6（m2/s），cd=0.013 MPa-1。

圖2 擬壓力及導(dǎo)數(shù)典型曲線Fig.2 Typical curves of pseudo-pressure and derivative

5.1 滲透率模量影響

圖2反映了滲透率模量γD對復(fù)合頁巖氣藏壓力的影響，滲透率模量的增加使得擬壓力及導(dǎo)數(shù)曲線上升，并且外區(qū)曲線所受到的影響更加強(qiáng)烈。在整體徑向流階段，導(dǎo)數(shù)曲線開始上翹，這是應(yīng)力敏感效應(yīng)產(chǎn)生的典型曲線特征。當(dāng)氣藏考慮應(yīng)力敏感性時(shí)，儲層滲透率隨壓力的減小而降低，頁巖氣的流動阻力增大，導(dǎo)致流動所需壓差增大。

5.2 SRV半徑影響

圖3反映了SRV半徑ξ1對復(fù)合頁巖氣藏壓力的影響，SRV半徑對內(nèi)區(qū)整體徑向流階段和過渡流階段產(chǎn)生的影響較大。隨SRV半徑的增大，擬壓力曲線向下移動，導(dǎo)數(shù)曲線向右移動，當(dāng)SRV半徑足夠小時(shí)，內(nèi)區(qū)整體徑向流階段消失。因?yàn)镾RV半徑越大，儲層改造的體積越大，越有利于氣井生產(chǎn)的進(jìn)行，氣井生產(chǎn)所需的壓差減小。

5.3 外區(qū)裂縫滲透率影響

圖4反映了外區(qū)裂縫滲透率kf2對復(fù)合頁巖氣藏壓力的影響，外區(qū)裂縫滲透率影響了內(nèi)區(qū)整體徑向流階段之后的曲線形態(tài)。外區(qū)裂縫滲透率的增加與流度比的減小相對應(yīng)，使得外區(qū)擬壓力及導(dǎo)數(shù)曲線下移。流度比減小，則外區(qū)未改造的原始儲層條件相對內(nèi)區(qū)變好，外區(qū)流動所需的壓降減小，則壓裂改造提高裂縫滲透率可以很好地提高開發(fā)效果。

圖3 SRV半徑對復(fù)合頁巖氣藏壓力的影響Fig.3 Influence of SRV radius on pressure of composite shale gas reservoir

圖4 外區(qū)裂縫滲透率對復(fù)合頁巖氣藏壓力的影響Fig.4 Influence of fracture permeability in outer zone on pressure of composite shale gas reservoir

5.4 擴(kuò)散系數(shù)影響

圖5反映了擴(kuò)散系數(shù)D對復(fù)合頁巖氣藏壓力的影響，擴(kuò)散系數(shù)主要影響內(nèi)外區(qū)竄流階段。擴(kuò)散系數(shù)的增加導(dǎo)致了頁巖基質(zhì)表觀滲透率的增加，使得竄流系數(shù)增大，竄流階段提前，在導(dǎo)數(shù)曲線上表現(xiàn)為內(nèi)外區(qū)凹子向左移動，擬壓力曲線向下移動，氣井生產(chǎn)所需的壓差減小。

5.5 解吸壓縮系數(shù)影響

圖6反映了解吸壓縮系數(shù)cd對復(fù)合頁巖氣藏壓力的影響，解吸壓縮系數(shù)影響內(nèi)區(qū)裂縫徑向流之后的階段。解吸壓縮系數(shù)增大使得考慮解吸的儲容比ωd增大，竄流階段的凹子變深且變寬，影響了導(dǎo)數(shù)曲線竄流階段前后徑向流的持續(xù)時(shí)間，解吸壓縮系數(shù)增大導(dǎo)致過渡流階段右移，駝峰升高，氣井生產(chǎn)所需壓差降低。

圖5 擴(kuò)散系數(shù)對復(fù)合頁巖氣藏壓力的影響Fig.5 Influence of diffusion coefficient on pressure of composite shale gas reservoir

圖6 解吸壓縮系數(shù)對復(fù)合頁巖氣藏壓力的影響Fig.6 Influence of desorption compressibility on pressure of composite shale gas reservoir

6 結(jié)論

（1）在綜合考慮應(yīng)力敏感效應(yīng)和橢圓SRV的基礎(chǔ)上，建立了壓裂改造復(fù)合頁巖氣藏壓力動態(tài)分析模型，并考慮了頁巖氣吸附解吸、Knudsen擴(kuò)散、非穩(wěn)態(tài)竄流和滲流等多種氣體運(yùn)移機(jī)制對壓力的影響。

（2）采用Mathieu函數(shù)、Pedrosa變量代換、正則攝動理論、拉普拉斯變換和Stehfest數(shù)值反演法等多種方法相結(jié)合對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，并繪制壓力動態(tài)典型曲線，將其劃分為9個(gè)流動階段。

（3）滲透率模量的增加使得無因次曲線上移，氣井生產(chǎn)所需壓差增大；SRV半徑越大，儲層改造的體積越大，氣井生產(chǎn)所需壓差減?。煌鈪^(qū)裂縫滲透率的增加與流度比的減小相對應(yīng)，流度比越小，外區(qū)流動所需的壓降減小，顯示出壓裂改造對頁巖氣藏開發(fā)產(chǎn)生的良好效果；擴(kuò)散系數(shù)的增加導(dǎo)致了頁巖基質(zhì)表觀滲透率的增加，使得竄流系數(shù)增大；解吸壓縮系數(shù)增大使得考慮解吸的儲容比增大，竄流段的凹子變深且變寬。