( 1. 石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043；2. 河北省交通安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊050043 )

0 引言

在現(xiàn)代信息技術(shù)處理領(lǐng)域，微弱信號(hào)檢測(cè)一直都是熱點(diǎn)和難點(diǎn)，特別是完成對(duì)微弱正弦信號(hào)幅值及其相位的檢測(cè)在振動(dòng)測(cè)量、故障診斷生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有重要的研究?jī)r(jià)值。傳統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)都是通過(guò)信號(hào)處理來(lái)提高信噪比，最低檢測(cè)信噪比只有-10 dB[1]。自應(yīng)用混沌振子對(duì)微弱信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)以來(lái)，利用混沌振子進(jìn)行微弱信號(hào)檢測(cè)得到了不斷的改進(jìn)和發(fā)展。通過(guò)混沌振子對(duì)未知信號(hào)進(jìn)行估計(jì)，無(wú)論是精度上還是信號(hào)識(shí)別能力上都比以往傳統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)方法好。由混沌理論[2-3]可知，混沌振子在一定條件下對(duì)微弱信號(hào)非常敏感而對(duì)噪聲具有一定的免疫性[4-5]，當(dāng)待檢信號(hào)并入到處于臨界狀態(tài)的混沌系統(tǒng)后會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生相變[6-8]，由混沌狀態(tài)變化到周期狀態(tài)，這一特性使得利用混沌振子檢測(cè)微弱信號(hào)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。近年來(lái)，如何進(jìn)一步降低信噪比門(mén)限成為混沌檢測(cè)的研究熱點(diǎn)[9-11]。

自Boxcar積分器出現(xiàn)以后，時(shí)域信號(hào)處理方法就一直沒(méi)有重大的改進(jìn)，而且存在著門(mén)限較高，對(duì)噪聲的抑制能力差等缺點(diǎn)，并且時(shí)域信號(hào)處理方法所具有的優(yōu)點(diǎn)如物理意義清晰、無(wú)需對(duì)噪聲分布作假設(shè)等沒(méi)有被完全發(fā)揮出來(lái)。在時(shí)域檢測(cè)方法中，常用互相關(guān)檢測(cè)方法來(lái)檢測(cè)微弱信號(hào)[12]，但是在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)，互相關(guān)檢測(cè)方法的積分時(shí)間有限，對(duì)噪聲抑制能力較差，通過(guò)此方法得到的信噪比門(mén)限比較高。因此，本文提出一種通過(guò)Van der Pol―Duffing振子和互相關(guān)聯(lián)合的方法對(duì)微弱信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)。此方法既解決了互相關(guān)檢測(cè)方法對(duì)噪聲抑制不足的問(wèn)題，又利用了混沌振子對(duì)微弱信號(hào)的敏感性及對(duì)噪聲的免疫性。大量的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，此方法可極大地降低信噪比工作門(mén)限，抗噪性強(qiáng)，是降低信號(hào)檢測(cè)下限的有效方法。

2 基于Van der Pol―Duffing振子檢測(cè)微弱信號(hào)的方法

2.1 Van der Pol―Duffing振子檢測(cè)弱信號(hào)的基本原理

到目前為止，對(duì)于混沌振子的研究國(guó)內(nèi)外都比較活躍。其中Van der Pol―Duffing振子是非線性系統(tǒng)中具有代表性的一類(lèi)系統(tǒng)，它最初是荷蘭電子工程師Balthazar Van der Pol為了描述電子電路中三極管的振蕩效應(yīng)而推導(dǎo)出來(lái)的，此后眾多學(xué)者就將Van der Pol―Duffing振子作為一種經(jīng)典的混沌系統(tǒng)用于動(dòng)力系統(tǒng)的建模，如今在物理、生物工程、神經(jīng)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域，很多非線性問(wèn)題都可以簡(jiǎn)化成為該系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行研究。該系統(tǒng)可隨參考信號(hào)強(qiáng)度的變化表現(xiàn)出豐富的非線性動(dòng)力學(xué)特性，如倍周期分岔、混沌狀態(tài)、周期狀態(tài)等。基于此，本文選擇Van der Pol―Duffing振子作為檢測(cè)微弱信號(hào)的混沌系統(tǒng)。不同于常規(guī)的基于噪聲抑制的檢測(cè)方法，混沌振子是通過(guò)直接提取信號(hào)從而完成對(duì)微弱信號(hào)的檢測(cè)[13-19]。由于混沌系統(tǒng)對(duì)噪聲具有很強(qiáng)的免疫力，而對(duì)微弱信號(hào)非常敏感，通過(guò)Simulink可對(duì)Van der Pol―Duffing系統(tǒng)進(jìn)行建模并仿真，只輸入純?cè)肼晻r(shí)的相圖為混沌態(tài)，當(dāng)輸入微弱信號(hào)時(shí)相圖會(huì)由混沌態(tài)躍遷到周期態(tài)，此時(shí)說(shuō)明已檢測(cè)到微弱信號(hào)且信噪比門(mén)限很低，因此，混沌系統(tǒng)檢測(cè)微弱信號(hào)非常具有優(yōu)勢(shì)。

2.2 數(shù)學(xué)模型及仿真模型的建立

Van der Pol―Duffing振子的一般形式如下

(1)

式中，u和α是2個(gè)正系數(shù)；F和ω分別是參考信號(hào)的幅值和頻率。

式(1)的狀態(tài)方程為

(2)

由于此混沌振子對(duì)初始值敏感及對(duì)噪聲具有強(qiáng)免疫力，因此可以通過(guò)混沌態(tài)和大尺度周期狀態(tài)間的相軌跡改變來(lái)檢測(cè)微弱信號(hào)。對(duì)于式(2)所描述的混沌系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)處于混沌態(tài)和周期態(tài)的臨界狀態(tài)時(shí)，向其輸入含有噪聲的待檢正弦信號(hào)(與參考信號(hào)同頻率，同相位)，有

(3)

式中,Fs是混沌系統(tǒng)的臨界閾值;F1cos(ω1t)是待檢信號(hào);n(t)為高斯白噪聲，n(t)=σ·ε(t)。通過(guò)Simulink建立仿真模型，采用定步長(zhǎng)四階龍格—庫(kù)塔法，取步長(zhǎng)h=0.01 s。

2.3 仿真結(jié)果

仿真時(shí)，F(xiàn)s取值5.03，ω取值2.463 rad/s，u=5，α=0.01，系統(tǒng)初始值為(0.1,0.1)。當(dāng)只有噪聲加入混沌系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的相軌跡沒(méi)有發(fā)生變化，處于混沌狀態(tài)，如圖1。此時(shí)的σ取值為0.05。

在之前仿真的基礎(chǔ)上，當(dāng)把噪聲和待檢信號(hào)(與參考信號(hào)的頻率一致)并入系統(tǒng)后，此系統(tǒng)的相軌跡由原來(lái)的混沌態(tài)躍遷到穩(wěn)定的周期態(tài)，如圖2所示。

此時(shí)的待檢信號(hào)的幅值是未知的。因?yàn)閨F1+Fs|>Fs，因此，當(dāng)把待檢信號(hào)并入到混沌系統(tǒng)后，系統(tǒng)的相軌跡發(fā)生改變，由混沌態(tài)變?yōu)橹芷趹B(tài)。通過(guò)減小Fs，可使得系統(tǒng)再次回到臨界狀態(tài)，得到新的參考信號(hào)幅值Fs1。那么待檢信號(hào)的幅值可由參考信號(hào)幅值的改變量來(lái)確定，即F1=Fs-Fs1。而當(dāng)只把噪聲加入系統(tǒng)時(shí)，由于混沌系統(tǒng)對(duì)噪聲具有強(qiáng)免疫力，不會(huì)引起相變。由上述理論可知，本文進(jìn)行仿真時(shí)的待檢信號(hào)幅值為0.01。

圖1 σ =0.05時(shí)，系統(tǒng)處于混沌態(tài)

圖2 系統(tǒng)處于周期狀態(tài)

3 利用互相關(guān)檢測(cè)微弱信號(hào)的原理

互相關(guān)方法在信息科學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛，由于信號(hào)在相關(guān)特性上和噪聲具有不同的特點(diǎn)，通過(guò)將待檢信號(hào)(含有噪聲)和參考信號(hào)(純正弦信號(hào))進(jìn)行互相關(guān)運(yùn)算，可實(shí)現(xiàn)對(duì)噪聲的抑制和對(duì)正弦信號(hào)的有效提取。以下為互相關(guān)法檢測(cè)微弱信號(hào)原理。

待檢信號(hào)

f1(t)=s1(t)+n(t)

(4)

參考信號(hào)

f2(t)=s2(t)

(5)

式中，s1(t)和s2(t)為周期信號(hào)；n(t)為噪聲。則互相關(guān)函數(shù)如下

(6)

式中，Rs1s2(τ)是s1(t)和s2(t)的互相關(guān)函數(shù)；Rns2(τ)是n(t)和S2(t)的互相關(guān)函數(shù)。在式(6)中，參考信號(hào)s2(t)與噪聲信號(hào)n(t)不相關(guān)，若s2(t)與n(t)或s2(t)的均值為0，則其互相關(guān)函數(shù)為0。因此，只需s1(t)與參考信號(hào)s2(t)互相關(guān)，則Rns2(τ)=0,R12(τ)=Rs1s2(τ),這說(shuō)明根據(jù)互相關(guān)函數(shù)R12(τ)的運(yùn)算結(jié)果就可以檢測(cè)到淹沒(méi)在噪聲中的微弱正弦信號(hào)。理論上，積分時(shí)間T夠長(zhǎng)，Rns2(τ)就為0，但是實(shí)際上T不可能無(wú)限長(zhǎng)，只能為某一有限值，因此，Rns2(τ)不等于0，而是接近于0的隨機(jī)變量，所以輸出仍存在殘余噪聲。

圖3是淹沒(méi)在高斯白噪聲中的待檢信號(hào)的時(shí)域波形圖。圖4是對(duì)混有噪聲的待檢信號(hào)與參考信號(hào)做互相關(guān)運(yùn)算得到的函數(shù)曲線。

圖3 待檢信號(hào)的時(shí)域波形

圖4 互相關(guān)函數(shù)R12(τ)

由圖4看出，由于積分時(shí)間不可能無(wú)限長(zhǎng)，互相關(guān)檢測(cè)法不可能完全過(guò)濾掉噪聲，這給檢測(cè)所包含的微弱信號(hào)帶來(lái)一定難度。對(duì)包含微弱信號(hào)的噪聲進(jìn)行一次互相關(guān)后，噪聲雖然得到一定程度的抑制，但是并不能無(wú)限制地多次使用：一是每進(jìn)行一次互相關(guān)處理后數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度都會(huì)減少，如果減少太多，不利于檢測(cè)效果；二是多次互相關(guān)以后波形會(huì)出現(xiàn)平頂失真的現(xiàn)象，這是由多次計(jì)算后產(chǎn)生的截尾誤差引起的，因此不可能無(wú)限制地使用互相關(guān)來(lái)進(jìn)行微弱信號(hào)檢測(cè)。其次，互相關(guān)處理后不可避免地會(huì)存在邊緣效應(yīng)問(wèn)題，即信號(hào)邊界產(chǎn)生失真現(xiàn)象，進(jìn)行多次互相關(guān)后產(chǎn)生的邊緣效應(yīng)會(huì)放大，嚴(yán)重淹沒(méi)信號(hào)的端部特征，極大影響檢測(cè)效果的準(zhǔn)確性。最后，互相關(guān)檢測(cè)方法不能對(duì)信噪比很低的微弱信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)。為解決上述問(wèn)題，可應(yīng)用混沌理論來(lái)檢測(cè)微弱信號(hào)。

4 基于Van der Pol―Duffing振子和互相關(guān)的微弱信號(hào)檢測(cè)

為了能進(jìn)一步降低信噪比工作門(mén)限，提高微弱信號(hào)檢測(cè)的效果，同時(shí)解決互相關(guān)檢測(cè)方法本身的不足，把Van der Pol―Duffing振子與互相關(guān)方法聯(lián)合起來(lái)對(duì)微弱信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)。關(guān)于微弱正弦信號(hào)檢測(cè)的具體步驟如下。

首先找到混沌系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)時(shí)參考信號(hào)的幅值Fs，然后把噪聲和待檢信號(hào)一起輸送到互相關(guān)器中，求得輸入信號(hào)和參考信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)。由前面理論分析可知，在此過(guò)程中已經(jīng)對(duì)噪聲進(jìn)行了一定的抑制，但仍保留有殘余噪聲。最后，將得到的互相關(guān)函數(shù)并入到Van der Pol―Duffing系統(tǒng)當(dāng)中，由于此系統(tǒng)對(duì)于本身參考信號(hào)頻率相同的周期信號(hào)非常敏感而對(duì)噪聲具有強(qiáng)免疫性，因此，混沌系統(tǒng)會(huì)進(jìn)入到周期狀態(tài)，根據(jù)相圖的變化即可判斷輸入信號(hào)中是否含有微弱正弦信號(hào)。該方法的原理如圖5。

圖5 Van der Pol―Duffing振子與互相關(guān)方法聯(lián)合檢測(cè)原理圖

根據(jù)上述理論，選取σ=0.09，待檢信號(hào)的幅值F1取0.01來(lái)進(jìn)行檢測(cè)。單Van der Pol―Duffing振子的檢測(cè)效果如圖6所示，Van der Pol―Duffing振子與互相關(guān)聯(lián)合檢測(cè)的效果如圖7所示。由圖6和圖7的對(duì)比可知，在一定條件下單Van der Pol―Duffing振子檢測(cè)不到微弱信號(hào)，而基于Van der Pol―Duffing振子和互相關(guān)的方法可以很好地完成對(duì)微弱信號(hào)的檢測(cè)。仿真實(shí)例說(shuō)明本文方法比單Van der Pol―Duffing振子檢測(cè)微弱信號(hào)更具有優(yōu)勢(shì)。

圖6 單Van der Pol―Duffing振子的相軌跡

圖7 Van der Pol―Duffing振子與互相關(guān)聯(lián)合系統(tǒng)的相軌跡

可見(jiàn)，本文方法可以降低強(qiáng)噪聲條件下微弱信號(hào)檢測(cè)的信噪比門(mén)限。

5 與單Van der Pol―Duffing振子性能比較

本節(jié)的目的是比較兩系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抗噪性能，不是對(duì)微弱信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，因此未將微弱信號(hào)單獨(dú)寫(xiě)出。對(duì)于微弱信號(hào)檢測(cè)，當(dāng)系統(tǒng)由臨界狀態(tài)進(jìn)入到大尺度周期狀態(tài)，此狀態(tài)的穩(wěn)定性對(duì)于系統(tǒng)的判別非常重要，這里分別利用單Van der Pol―Duffing振子和Van der Pol―Duffing振子與互相關(guān)聯(lián)合系統(tǒng)在不同強(qiáng)度噪聲背景中的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。當(dāng)參考信號(hào)的幅值Fs取值為5.05時(shí)，兩系統(tǒng)都處于周期狀態(tài)。當(dāng)向兩系統(tǒng)輸入σ分別為0.5和1的純?cè)肼暫螅瑑蓚€(gè)系統(tǒng)在不同強(qiáng)度噪聲中的運(yùn)動(dòng)相態(tài)如圖8和圖9。由圖8和圖9可見(jiàn)，在不同強(qiáng)度噪聲下，雖然Van der Pol―Duffing振子與互相關(guān)聯(lián)合系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡較為粗糙，但仍處于周期狀態(tài)，而單Van der Pol―Duffing振子則處于混沌態(tài)。通過(guò)兩圖的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，Van der Pol―Duffing振子與互相關(guān)聯(lián)合后抗噪性更強(qiáng)。

圖8 σ=0.5時(shí)兩系統(tǒng)的相態(tài)圖

圖9 σ=1時(shí)兩系統(tǒng)的相態(tài)圖

6 結(jié)論

首先分別介紹了利用Van der Pol―Duffing振子與互相關(guān)檢測(cè)微弱信號(hào)的基本方法，然后在此基礎(chǔ)上，提出了二者聯(lián)合的微弱正弦信號(hào)檢測(cè)方法。通過(guò)對(duì)聯(lián)合系統(tǒng)進(jìn)行仿真，其可以檢測(cè)到深埋于噪聲中的微弱信號(hào)，信噪比工作門(mén)限也進(jìn)一步下降，達(dá)到了-43 dB，而利用單Van der Pol―Duffing振子只有-20 dB。通過(guò)輸入不同程度的純?cè)肼暫蛦蜼an der Pol―Duffing振子進(jìn)行對(duì)比，聯(lián)合系統(tǒng)仍能保持周期態(tài)，而單Van der Pol―Duffing振子已處于混沌態(tài)，說(shuō)明聯(lián)合系統(tǒng)對(duì)強(qiáng)噪聲具有更好的免疫力，證明了該方法的有效性。