亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        帶有不同Hardy項(xiàng)的橢圓方程組的Mountain-Pass解

        2019-06-25 08:11:02康東升高蒙劉曉楠曹玉平
        關(guān)鍵詞:方程組常數(shù)徑向

        康東升,高蒙, 劉曉楠, 曹玉平

        (1 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院, 武漢 430074; 2 中南民族大學(xué) 圖書館, 武漢 430074)

        1 相關(guān)知識(shí)及假設(shè)

        本文主要研究下列臨界橢圓方程組:

        (1)

        其中Ω?N(N≥3),0∈Ω是光滑有界區(qū)域, 參數(shù)滿足以下條件:

        (2)

        這里E(u,v):=|u|2+|

        F(u,v):=|u|2*+|v|2*+η|u|α|v|β,

        Q(u,v):=a1u2+2a2uv+a3v2.

        因此能量泛函J∈C1(H×H,). 我們稱(u,v)∈H×H{(0,0)} 是方程(1)的解, 如果

        (u,v)≠(0,0),J′(u,v),(φ,φ)=0,?(φ,φ)∈H×H,

        這里J′(u,v)是能量泛函J在點(diǎn)(u,v)的Fréchet導(dǎo)數(shù).在(H1)的假設(shè)下, 由Hardy, Sobolev和Young不等式, 我們可以定義如下最佳Sobolev常數(shù)[2-4]:

        S(μ1,μ2)=

        這里D=(D1,2(N))2{(0,0)},D1,2(N)是N)關(guān)于·|2dx)1/2的完備化.

        近年來(lái), 許多學(xué)者研究了帶有Hardy不等式和臨界非線性的橢圓方程組(參見[2-7]). 在文獻(xiàn)[4]中, Terracini證明了最佳常數(shù)S(μ)的達(dá)到函數(shù)為:

        其中Uμ(x)是如下的徑向?qū)ΨQ函數(shù):

        在(H1)的假設(shè)下, 我們定義如下常數(shù):

        除(H1)外, 還定義下列假設(shè):

        (H2)β<2或者η>η*.

        我們得到的新結(jié)果歸納為以下定理.

        本文用到以下符號(hào)和定義:o(1)表示一個(gè)無(wú)窮小量,O(εt)滿足|O(εt)|/εt≤C(任意ε>0足夠小), 特別地,o(εt) 表示當(dāng)ε→0時(shí),|o(εt)|/εt→0,O1(εt)表示存在常數(shù)C1,C2>0使得C1εt≤O1(εt)≤C2εt. 我們將正常數(shù)表示為C, 有時(shí)省略積分中的dx.

        2 引理及證明

        證明證明過(guò)程類似于文獻(xiàn)[6]中引理2.1, 這里略去.

        假設(shè) (H1)成立, 考慮如下橢圓方程組:

        (3)

        需要指出的是, 文獻(xiàn)[2]首次介紹了方程組(3), 文獻(xiàn)[3]證明了方程組(3)徑向?qū)ΨQ且嚴(yán)格遞減解的存在性, 文獻(xiàn)[8]則證明了方程組(3)徑向?qū)ΨQ且嚴(yán)格遞減的解的漸近性質(zhì).

        引理2[3]假設(shè)(H1)和(H2)成立, 則最佳常數(shù)S(μ1,μ2)存在一個(gè)正的徑向?qū)ΨQ嚴(yán)格遞減的達(dá)到函數(shù)對(duì)(U(x),V(x)).

        引理3[8]假設(shè)(H1)成立, (u,v)∈

        (D1,2(N))2是方程組(3)正的徑向?qū)ΨQ嚴(yán)格遞減的解. 設(shè)r=|x|.

        1)另外假定(H4)成立, 則存在常數(shù)Ci>0,1≤i≤4, 使得:

        (4)

        2)另外假設(shè)(H5)成立, 則u滿足(4)式, 且存在常數(shù)ci>0,1≤i≤6 , 使得v滿足:

        3 解的存在性

        設(shè)(U(x),V(x))是在引理2中得到的最佳常數(shù)S(μ1,μ2)的徑向?qū)ΨQ嚴(yán)格遞減的達(dá)到函數(shù)對(duì). 定義:

        引理4假設(shè)(H1)和(H2)成立.

        (i) 則有:

        (ii) 進(jìn)一步假設(shè)(H4)成立, 則:

        (iii) 進(jìn)一步假設(shè)(H5)成立, 則:

        證明假設(shè)(H5)成立, 直接計(jì)算可得:

        通過(guò)討論發(fā)現(xiàn)當(dāng)條件(H1),(H2),(H5)成立的情況與條件(H1),(H2),(H4)成立的情況相同. 我們僅在假設(shè)條件(H4)成立的基礎(chǔ)上證明(i)的第一個(gè)等式和第二個(gè)等式. 其他情況也可以類似地證明(過(guò)程略).

        假設(shè)條件(H1), (H2), (H4)成立, 因?yàn)?Uε(x),Vε(x))是S(μ1,μ2)的達(dá)到函數(shù)對(duì),則:

        (5)

        由(5)式、引理2和引理3有:

        |φ||φ||Vε||Vε|dx=

        |x|-2b(μ2)-2dx+

        如果(H4)成立, 則有:

        證畢.

        證明我們只證明當(dāng)(H4)成立的情況, (H5)成立時(shí)的證明過(guò)程類似.

        可以得到:

        (6)

        (7)

        由(6), (7)式和引理4有:

        引理5證畢.

        滿足引理1條件的{(un,vn)}存在子序列, 仍記為{(un,vn)}, 使得在H×H中,(un,vn)→(u,v). 因此,(u,v)是能量泛函J的臨界點(diǎn), 且(u,v)是方程組(1)的解,c是其對(duì)應(yīng)的臨界值.

        猜你喜歡
        方程組常數(shù)徑向
        深入學(xué)習(xí)“二元一次方程組”
        關(guān)于Landau常數(shù)和Euler-Mascheroni常數(shù)的漸近展開式以及Stirling級(jí)數(shù)的系數(shù)
        淺探徑向連接體的圓周運(yùn)動(dòng)
        RN上一類Kirchhoff型方程徑向?qū)ΨQ正解的存在性
        《二元一次方程組》鞏固練習(xí)
        基于PID+前饋的3MN徑向鍛造機(jī)控制系統(tǒng)的研究
        一類無(wú)窮下級(jí)整函數(shù)的Julia集的徑向分布
        一類次臨界Bose-Einstein凝聚型方程組的漸近收斂行為和相位分離
        幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和
        萬(wàn)有引力常數(shù)的測(cè)量
        2021国内精品久久久久精免费| 一本精品99久久精品77| 欧美粗大猛烈老熟妇| 国产一国产一级新婚之夜| 91精品人妻一区二区三区蜜臀| 人妻少妇精品视频专区二区三区| 亚洲亚洲人成综合丝袜图片| 亚洲精品国产第一区二区尤物 | 人妻哺乳奶头奶水| 亚洲欧美偷拍视频| 美女一区二区三区在线观看视频 | 免费黄色电影在线观看| 精品无码一区二区三区小说| 国产精品三级在线专区1| 日韩精品极品免费在线视频| 中国娇小与黑人巨大交| 欧美亚洲日本国产综合在线| 欧美色欧美亚洲另类二区不卡| 久久久精品亚洲懂色av| 国产一级二级三级在线观看av| 一区二区三区内射美女毛片| 又白又嫩毛又多15p| 99久久综合狠狠综合久久一区| 蜜桃成熟时日本一区二区| 精品无人区无码乱码毛片国产 | 在线观看中文字幕一区二区三区 | 久久亚洲精精品中文字幕早川悠里 | 久久国产精品偷任你爽任你| 精品久久久久久国产| 蜜桃av噜噜一区二区三区香| 国产三级视频不卡在线观看| 777精品出轨人妻国产| 欧洲熟妇色xxxxx欧美老妇伦| 少妇高潮喷水久久久影院| 国产三级精品三级在线观看粤语 | 日本a在线免费观看| 中文字幕久久精品一区二区| av在线免费观看蜜桃| 一本一道av无码中文字幕| 免费在线观看一区二区| 日本高清成人一区二区三区|