段汕，劉丹，周奇魚(yú)

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430074)

噪聲圖像恢復(fù)問(wèn)題是圖像處理領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)研究課題，具有重要的應(yīng)用價(jià)值.設(shè)計(jì)一個(gè)適用于圖像恢復(fù)的最優(yōu)濾波關(guān)鍵在于解決有效去噪和保留原始圖像的基本結(jié)構(gòu). SCHONFELD D在文獻(xiàn)[1]中提出了基于固定結(jié)構(gòu)元的形態(tài)濾波適用于噪聲圖像恢復(fù)問(wèn)題的理論和計(jì)算研究，證明了基于固定結(jié)構(gòu)元的交替濾波和交替慣序?yàn)V波的一些重要性質(zhì). 隨著形態(tài)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域的不斷擴(kuò)展，BOUAYNAYA N等人將基于固定結(jié)構(gòu)元的形態(tài)學(xué)理論擴(kuò)展為SV形態(tài)學(xué)[2,3]，文獻(xiàn)[4-6]中系統(tǒng)地研究了SV形態(tài)變換和SV形態(tài)濾波的性質(zhì). SERRA J在文獻(xiàn)[7]中研究了尺度分布問(wèn)題，及構(gòu)成尺度分布的形態(tài)變換的重要性質(zhì)，文獻(xiàn)[8]引入了一類SV交替慣序?yàn)V波，它是由一系列構(gòu)成尺度分布的SV開(kāi)和閉運(yùn)算交替復(fù)合而成. 本文在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上，通過(guò)建立SV形態(tài)模式譜解決圖像與相關(guān)幾何結(jié)構(gòu)相似性度量問(wèn)題；通過(guò)引入集差距離函數(shù)，解決由形態(tài)濾波所產(chǎn)生的幾何和拓?fù)浠兂潭鹊牧炕瘑?wèn)題. 通過(guò)優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)，在有效去噪和保持圖像基本結(jié)構(gòu)之間尋求一個(gè)平衡，使得優(yōu)化問(wèn)題得以求解，最終推證出一類SV交替濾波和一類SV交替慣序?yàn)V波是SV算子空間上，在最小平均差意義下適用于噪聲圖像恢復(fù)的最優(yōu)濾波，并提供了相關(guān)理論證明. 本文與文獻(xiàn)[1]主要的不同是將SV形態(tài)學(xué)理論應(yīng)用于圖像恢復(fù)問(wèn)題. 在證明SV交替濾波和SV交替慣序?yàn)V波的相關(guān)性質(zhì)之前，本文先對(duì)基本的SV形態(tài)變換進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹.

1 SV形態(tài)變換

考慮歐式空間E=Rn或Zn及其冪集P(E)，映射θ:E→P(E)稱為結(jié)構(gòu)映射，其序關(guān)系定義為：

θ1≤θ2?θ1(z)≤θ2(z),z∈E.

考慮結(jié)構(gòu)映射序列{θk}:E→P(E),k∈Z+(Z+是正整數(shù)集合)，其滿足如下條件：

(1)對(duì)任意z∈E，都有z∈θk(z)；

(2)結(jié)構(gòu)映射序列{θk}是增性序列：θk≤θk+1；

(3)對(duì)任意z∈E，若i≥j，則θi(z)是θj(z)開(kāi)的[8],即：θi(z)=γθj(θi(z)).

基于結(jié)構(gòu)映射θk的SV開(kāi)、閉變換γk(X)、φk(X)：

γk(X)=∪{θk(y)}θk(y)?X;y∈E};

φk(X)={z∈E|θk(y)∩X≠?,

?θk(y)|z∈θk(y)}

具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1[8]設(shè)X,Y∈P(E)，則有：

(1)若X?Y，則γk(X)?γk(Y)，φk(X)?φk(Y)(增性)；

(2)γk(X)?X(非擴(kuò)展性)，φk(X)?X(擴(kuò)展性)；

(3)γiγj(X)=γmax(i,j)(X)；

φiφj(X)=φmax(i,j)(X)(篩分性)，

特別地，當(dāng)i=j時(shí)，有γiγi(X)=γi(X)；φiφi(X)=φi(X)(等冪性).

若令F={γk(·)，φk(·)，k=0,1,2,…,λ,λ∈Z+}，則由性質(zhì)1知，F(xiàn)中的γk(·)和φk(·)均構(gòu)成尺度分布[4].

2 SV形態(tài)濾波

定義1如果基于結(jié)構(gòu)映射θ的SV形態(tài)變換Ψ(θ,X):P(E)→P(E)滿足條件：

(1)X?Y?Ψ(θ,X)?Ψ(θ,Y)(增性)；

(2)Ψ(θ,Ψ(θ,X))=Ψ(θ,X)(等冪性)，則稱Ψ(θ,X)為SV形態(tài)濾波.

性質(zhì)2若Ψ(θ,X)是SV形態(tài)濾波，X∈P(E)，則有：

Ψ(θ,X∪Ψ(θ,X))?Ψ(θ,X);
Ψ(θ,X∩Ψ(θ,X))?Ψ(θ,X).

由性質(zhì)2，按其等式成立的兩種情形對(duì)SV形態(tài)濾波進(jìn)行如下分類：

定義2對(duì)于SV形態(tài)濾波Ψ(θ,X)，若Ψ(θ,X∪Ψ(θ,X))=Ψ(θ,X)，則Ψ(θ,X)稱為SV最大濾波；若Ψ(θ,X∩Ψ(θ,X))=Ψ(θ,X)，則Ψ(θ,X)稱為SV最小濾波；若Ψ(θ,X)既是SV最大濾波，又是SV最小濾波，則Ψ(θ,X)稱為SV強(qiáng)濾波.

令

mk=γkφk;nk=φkγk;
rk=φkγkφk;sk=γkφkγk,

(1)

稱mk和nk為SV交替濾波. 顯然有：rk=φkmk=nkφk，sk=mkγk=γknk. 令：

Mk=mkmk-1…m1;Nk=nknk-1…n1,

稱Mk和Nk為SV交替慣序?yàn)V波.

根據(jù)定義2，以上基于SV開(kāi)、閉變換及其復(fù)合算子具有以下分類：γk和φk是SV強(qiáng)濾波，mk和rk是SV最大濾波，nk和sk是SV最小濾波.

性質(zhì)4γk?sk?mk?rk?φk；γk?sk?nk?rk?φk.

容易證明，增性變換的復(fù)合仍然具有增性，但具有等冪性的變換的復(fù)合不一定保持等冪性不變，因此，SV形態(tài)濾波的復(fù)合也不一定仍是SV形態(tài)濾波.下面我們將證明，構(gòu)成尺度分布的SV形態(tài)濾波的復(fù)合仍然是SV形態(tài)濾波.

Ψ1(θ,X)=φ0(θ,X),Ψ2(θ,X)=φ0γin+1(X),
Ψ3(θ,X)=φj0φ0(X),Ψ4(θ,X)=φj0φ0γin+1(X).

且一定存在k,l∈Z+，使得對(duì)1≤s≤n有ik≥is,jl≥js.

由性質(zhì)1中γi(X)的非擴(kuò)展性和φi(x)的篩分性得：

Ψ1(θ,Ψ1(θ,X))=γi1φj1γi2φj2…γilφjlγil+1φjl+1…

γinφjnγi1φj1γi2φj2…γilφjlγil+1φjl+1…γinφjn(X)?

γi1φj1γi2φj2…γilφjlφjl+1…φjn-1φjnφj1φj2…

φjl-1φjlγil+1φjl+1γil+2φjl+2…γinφjn(X)=

φ0(θ,X)=Ψ1(θ,X),

3 θ -連通集

首先將基于固定結(jié)構(gòu)元的連通性[1]擴(kuò)展到基于結(jié)構(gòu)映射θ的連通性的情形.

定義4對(duì)結(jié)構(gòu)映射θ:E→P(E)，若對(duì)任意z∈X及X∈P(E)，存在y∈E使得：z∈θ(y)?X或z∈θ(y)?[γθ(X)]c，則稱集合X是θ-連通集.

引理1設(shè)集合X∈P(E)是θ-連通集，若z∈X，使得z?γθ(X)，則z?nθ(X).

證明若z?γθ(X)=∪{θ(y):θ(y)?X;y∈E}，則對(duì)任意y及θ(y)?X，有z?θ(y).又由X是一個(gè)θ-連通集，故必存在y0∈E，使得z∈θ(y0)?[γθ(X)]c，由此得到z∈θ(y0)?γθ((γθ(X))c)=(φθ(γθ(X)))c=(nθ(X))c，即z?nθ(X).

性質(zhì)6若φk(X)和φk(Xc)是θk-連通集，k∈Z+，X∈P(E)，則有：

γk(X)?sk(X)=nk(X)?mk(X)=rk(X)?φk(X).

4 光滑SV形態(tài)濾波

對(duì)圖像X∈P(E)，設(shè)其噪聲圖像為Y∈P(E). 圖像恢復(fù)中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是，尋求一個(gè)“好的”形態(tài)濾波Ψ(θ,·)，使得Ψ(θ,Y)能“最優(yōu)”恢復(fù)原始圖像X. 盡管這個(gè)問(wèn)題之前被廣泛研究，最優(yōu)恢復(fù)的標(biāo)準(zhǔn)也各不相同，但濾波圖像Ψ(θ,Y)能最大限度地保留原始圖像X的一些重要形狀、尺度和幾何特征，這是首先需要考慮的重要標(biāo)準(zhǔn).

形態(tài)模式譜是解決圖像形態(tài)-尺度特征精確表示的重要工具，它能提供圖像與相關(guān)幾何結(jié)構(gòu)相似性的度量方法. 關(guān)于結(jié)構(gòu)映射序列{θk}的SV形態(tài)模式譜，有如下定義：

定義5基于結(jié)構(gòu)映射序列{θk}，對(duì)集合X∈P(E)的SV形態(tài)模式譜定義為:

其中k∈Z(Z是整數(shù)集合)，令γ0(X)=φ0(X)=X；Card[X]表示集合X的基數(shù). 由SV開(kāi)、閉變換的性質(zhì)知，具有粗糙邊界的圖像，具有低尺度的模式譜，k值較??；而具有光滑邊界的圖像，貢獻(xiàn)模式譜中高尺度的部分，k值較大. 為此，若存在λ∈Z+使得下式成立，則稱圖像X為具有λ度的光滑圖像：

PSk(X)=0,k=-λ,…，-2，-1，0，1，…,λ-1,λ∈Z+.

(2)

圖像恢復(fù)中的形態(tài)濾波應(yīng)保留無(wú)噪聲圖像中重要的光滑特征，抑制噪聲圖像中的粗糙特征. 為此要求輸出圖像Ψ(·，Y)的光滑度λ>0，即Ψ(·，Y)應(yīng)滿足(2)式：

PSk(Ψ(·，Y))=0,k=-λ,…，-2，-1，0，1，…,λ-1,λ∈Z+.

由定義5可知，(2)式等價(jià)于：

γk(X)=γk+1(X),k=0,1,…，λ-1;
φk(X)=φk-1(X),k=1,2，…，λ,

即γk(X)=X；φk(X)=X，k=0,1,…，λ.

由此可知，所尋求的SV形態(tài)濾波Ψ(·，Y)需滿足下列方程組：

(3)

(4)

由性質(zhì)1知，若(4)式成立，則(3)式一定成立，故由{θk}所滿足的條件，可取Ψ(·，Y)=Ψ(θλ，Y). 由性質(zhì)5可知，F(xiàn)λ中的每一個(gè)變換均為SV形態(tài)濾波，稱Fλ為光滑濾波集. 將(4)式中的兩式經(jīng)過(guò)復(fù)合可得：

(5)

以上的分析表明，使得去噪圖像具有一定光滑度的形態(tài)濾波可取自于光滑濾波集Fλ.

5 最小平均差SV形態(tài)濾波

為解決圖像恢復(fù)中，由形態(tài)濾波所產(chǎn)生的幾何和拓?fù)浠兂潭鹊牧炕瘑?wèn)題，考慮對(duì)兩幅圖像間的差異性進(jìn)行比較.

集合X1,X2∈P(E)的集差距離函數(shù)[1]定義

為：

d(X1,X2)=Card[(X1∪X2)-(X1∩X2)].

可以證明d(·,·)是一個(gè)度量[1]，且滿足下列關(guān)系式：

(1)d(X1,X2)≤d(X1,X3)+d(X3,X2);

(6)

(2)若X1?Y?X2，那么d(X1,X2)=d(X1,Y)+d(Y,X2)；

(7)

(3)若Y?X1?X2，或X1?X2?Y，那么d(X1,X2)

(8)

圖像恢復(fù)中另一個(gè)需要解決的問(wèn)題是，濾波輸出圖像應(yīng)盡可能地接近原始圖像X. 文獻(xiàn)[1]中給出了基于固定結(jié)構(gòu)元的最小均差形態(tài)濾波解的表示形式，在此基礎(chǔ)上，本文將其擴(kuò)展到SV形態(tài)濾波的情形. 前面的研究表明，應(yīng)選用Fλ中的光滑形態(tài)濾波作用于噪聲圖像Y，以平均集差距離作為濾波前后圖像差異的度量工具，以使得平均集差距離最小為最優(yōu)濾波的刻畫(huà)方法，最終可建立具有最小平均距離差的SV形態(tài)濾波：

(9a)

其中

(9b)

(9)式給出了所要解決問(wèn)題的一個(gè)精確解的形式，但實(shí)際求解是困難的. 為此，利用前面所研究的一系列性質(zhì)，考慮一個(gè)折中方案，即通過(guò)對(duì)噪聲圖像Y及濾波選取的范圍加以條件限制，在有效恢復(fù)圖像和保持X基本結(jié)構(gòu)之間尋求一個(gè)平衡，在一定的限制條件下求解優(yōu)化問(wèn)題. 考慮到性質(zhì)6成立的條件，對(duì)于噪聲圖像Y，可適當(dāng)?shù)丶僭O(shè)其滿足條件：φk(Y)和φk(Yc)是θk-連通集，k=1,2,…,λ.

若噪聲圖像Y滿足φk(Y)和φk(Yc)是θk-連通集，利用性質(zhì)6，令：

Fk,max={φk(·)，mk(·)，rk(·)},
Fk,min={γk(·)，nk(·)，sk(·)},

2)若Ψ(θ,·)∈Fλ,max，則有Ψ(θ,·)?mλ(·)；若Ψ(θ,·)∈Fλ,min，則有Ψ(θ,·)?nλ(·)；

3)設(shè)φλ(Y)和φλ(Yc)是θλ-連通集，若Ψ(θ,·)∈Fλ,max，則

證明由性質(zhì)3和性質(zhì)4分別可得出1)和2)；

定理1設(shè)φλ(Y)和φλ(Yc)是θλ-連通集，

(2)若Ψ(θ,·)∈Fλ,max，則Ψ(θλ,Y)=

mλ(Y)；

(3)若Ψ(θ,·)∈Fλ,min，則Ψ(θλ,Y)=

定理1是定理2的一個(gè)特例，由引理2和定理2的證明過(guò)程即可證明定理1.

由定理1知，當(dāng)φλ(Y)和φλ(Yc)是θλ-連通集時(shí)，mλ(·)和nλ(·)分別是Fλ,max和Fλ,min中的最小平均差SV形態(tài)濾波，因此，mλ(·)和nλ(·)分別是Fλ,max和Fλ,min中的最優(yōu)濾波.

根據(jù)定義6，由引理2 的證明容易得到引理3.

定理2設(shè)φk(Y)和φk(Yc)是θk-連通集，k=1,2,…，λ:

d(Ψ(θ,Y),∏(θ,Y))]≥

d(Ψ(θλ,Y),Mλ(Y))+

d(Ψ(θλ,Y),∏(θ,Y)))]>

6 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)圖像恢復(fù)中的兩個(gè)基本問(wèn)題，通過(guò)引入SV形態(tài)模式譜和集差距離函數(shù)，在對(duì)噪聲圖像適當(dāng)?shù)丶右詶l件限制，并縮小最優(yōu)濾波尋求范圍的情形下，使得濾波優(yōu)化問(wèn)題得以求解. 定理1和定理2的證明結(jié)果表明，其所得出的一類SV交替濾波和SV交替慣序?yàn)V波在最小平均差下，能較好地恢復(fù)圖像，并保留原始圖像的光滑性和相關(guān)幾何結(jié)構(gòu).