柯知非，高 敏，王 毅，宋衛(wèi)東

(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)，河北 石家莊 050003)

彈道修正彈是指利用彈道修正技術(shù)對(duì)傳統(tǒng)彈藥進(jìn)行信息化改造的彈藥，它的特點(diǎn)是可大量裝備部隊(duì)、具有一定打擊精度、高效費(fèi)比。問世之后，彈道修正彈便成為各國關(guān)注和爭相研究的熱點(diǎn)，國內(nèi)外許多專家學(xué)者也就彈道修正彈的設(shè)計(jì)提出了許多不同的方案[1-3]。

在各種設(shè)計(jì)方案中，需要解決的核心問題是要在滿足彈丸的穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上最大限度的提高修正能力。而由于修正執(zhí)行機(jī)構(gòu)的存在，彈丸的氣動(dòng)布局會(huì)發(fā)生較大的改變，必須對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行考核與評(píng)估。

旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸無控狀態(tài)下的穩(wěn)定性分析一般都借助美國學(xué)者M(jìn)urphy所建立的角運(yùn)動(dòng)理論，通過陀螺穩(wěn)定因子和動(dòng)態(tài)穩(wěn)定因子等判斷普通榴彈的穩(wěn)定性。

揭濤等針對(duì)CCF模式的雙旋榴彈建立了多剛體彈道模型，并直接用傳統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)對(duì)彈丸的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析[4]。然而，傳統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)是否能直接判斷雙旋榴彈的穩(wěn)定性需要研究。王志剛、李偉等針對(duì)基于固定鴨舵的彈道修正火箭彈進(jìn)行了彈道建模，并通過角運(yùn)動(dòng)方程分析了火箭彈的穩(wěn)定性[5-6]。常思江、王中原等通過數(shù)值仿真的手段檢驗(yàn)了彈丸有控和無控狀態(tài)下的穩(wěn)定性[7]，之后，常思江對(duì)共振穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，對(duì)大攻角條件下的前體轉(zhuǎn)速閉鎖問題進(jìn)行初步分析，導(dǎo)出了該彈發(fā)生轉(zhuǎn)速閉鎖的穩(wěn)定方位角及臨界攻角表達(dá)式[8]。鐘揚(yáng)威等基于Kane方法建立了雙旋彈飛行動(dòng)力學(xué)模型，并通過編程對(duì)雙旋彈的無控和有控運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了仿真分析，得出雙旋彈無控時(shí)以小迎角穩(wěn)定飛行；有控飛行時(shí)彈體產(chǎn)生配平迎角，且縱向和橫向修正會(huì)產(chǎn)生交叉耦合的結(jié)論[9]。張衍儒等通過分析雙旋靜穩(wěn)定彈角運(yùn)動(dòng)方程，討論了共振不穩(wěn)定的特性，得出固定翼鴨舵的轉(zhuǎn)速及雙圓運(yùn)動(dòng)頻率影響攻角運(yùn)動(dòng)[10]。

筆者在前人對(duì)修正彈彈道模型研究的基礎(chǔ)上，建立二維彈道修正彈剛體彈道模型，描述出彈丸的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。通過穩(wěn)定性理論和判據(jù)分析剛體彈道模型，得出滿足穩(wěn)定性應(yīng)具備的條件，并研究了有控與無控狀態(tài)下舵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響。

1 彈道建模

發(fā)射系內(nèi)建立的運(yùn)動(dòng)方程組用于彈道解算。首先建立彈丸質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程組，然后依據(jù)修正組件和彈體的繞彈丸質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)描述彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的方程組，依據(jù)兩剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可將所建立的方程簡化，建立描述彈丸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的彈道模型。

1.1 彈丸受力分解

修正組件和彈體的馬格努斯力垂直于總攻角平面，而馬格努斯力矩在攻角平面內(nèi)，分別將其轉(zhuǎn)換到準(zhǔn)彈體坐標(biāo)下，得表達(dá)式如下：

(1)

1.2 發(fā)射系下運(yùn)動(dòng)方程組的建立

飛行過程中，彈丸的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)通過彈丸質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)來描述。將彈丸質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)描述在發(fā)射系下，即彈丸質(zhì)心的速度、位置信息均在發(fā)射系下投影，利用該方式進(jìn)行彈道解算，便于與實(shí)際飛行狀態(tài)下的彈丸速度、位置信息相對(duì)比，是當(dāng)前彈道解算的常用方法。將彈丸繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)建立在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系下，形式最為簡單。建立描述彈丸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)方程組如下：

(2)

式中所使用的坐標(biāo)系及角度定義可參考文獻(xiàn)[11]，Mfax4、Mafx4分別為修正組件和彈體間相互作用力矩在準(zhǔn)彈體系x4軸上的分量，該力矩包括軸承間的摩擦力矩和制動(dòng)過程中的控制力矩。

1.3 繞彈丸質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)方程組

1.3.1 彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組

彈丸繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組為：

(3)

式中：Jfx、Jfy、Jfz為修正組件相對(duì)彈丸質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在準(zhǔn)彈體上的投影；Jax、Jay、Jaz為彈體相對(duì)彈丸質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在準(zhǔn)彈體系上的投影；ωfx4、ωy4、ωz4為修正組件的角速度在其準(zhǔn)彈體系上的投影；Mfx4、Mfy4、Mfz4為修正組件所受氣動(dòng)力矩在準(zhǔn)彈體上的投影；Mfax4、Mfay4、Mfaz4為彈體對(duì)修正組件作用的力矩(包含控制力矩)在準(zhǔn)彈體上的投影；ωax4、ωy4、ωz4為彈體角速度在其準(zhǔn)彈體系上的投影；Max4、May4、Maz4為彈體所受氣動(dòng)力矩在準(zhǔn)彈體系上的投影；Mafx4、Mafy4、Mafz4為修正組件對(duì)彈體作用的力矩(包含控制力矩)在準(zhǔn)彈體上的投影。

1.3.2 彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組

彈丸姿態(tài)使用俯仰角φ、偏航角ψ、修正組件滾轉(zhuǎn)角γf和彈體滾轉(zhuǎn)角γa4個(gè)變量來描述。設(shè)準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系相對(duì)于地面發(fā)射系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω′，整理后，可得：

(4)

2 穩(wěn)定性分析

彈丸飛行穩(wěn)定是進(jìn)行彈道特性分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的前提。安裝二維彈道修正引信后，彈丸的飛行包括有控和無控兩種狀態(tài)。無控狀態(tài)下飛行的彈丸近似于在普通彈丸頭部施加一周期與修正組件轉(zhuǎn)速相同的擾動(dòng)力，而有控狀態(tài)下飛行的彈丸近似于普通彈丸頭部施加一方向和幅值變化的控制力，該力將降低彈丸的穩(wěn)定性。

2.1 陀螺穩(wěn)定性

旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸是靜不穩(wěn)定彈丸，即彈丸所受氣動(dòng)力的壓心在彈丸質(zhì)心之前，氣動(dòng)力形成的靜力矩將使彈丸軸線偏離合速度形成攻角，稱該力矩為翻轉(zhuǎn)力矩。彈丸的高速旋轉(zhuǎn)使其具有定軸性，保持了彈丸穩(wěn)定性。

在所有的氣動(dòng)力矩中翻轉(zhuǎn)力矩占主導(dǎo)地位，只考慮靜力矩項(xiàng)的角運(yùn)動(dòng)方程的齊次方程為

Δ″-iPΔ′-MΔ=0.

(5)

可得方程特征根為

(6)

令Sg=P2/4M，稱其為陀螺穩(wěn)定因子，則彈丸穩(wěn)定的條件為Sg>1.

當(dāng)彈丸處于無控狀態(tài)時(shí)，陀螺穩(wěn)定因子可整理為：

(7)

即陀螺力矩項(xiàng)的減小量大于靜力矩項(xiàng)的減小量，造成陀螺力矩項(xiàng)與翻轉(zhuǎn)力矩項(xiàng)的比值減小。因而，與普通榴彈相比彈體的轉(zhuǎn)速需更高才能使彈丸穩(wěn)定，即彈丸的穩(wěn)定性在安裝修正組件后有所降低。

當(dāng)彈丸處于有控狀態(tài)時(shí)，陀螺穩(wěn)定因子可整理為：

(8)

由式(8)知，有控狀態(tài)下彈丸的靜力矩項(xiàng)比普通彈丸增加了翻轉(zhuǎn)力矩項(xiàng)kc，使靜力矩項(xiàng)增大，從而造成陀螺穩(wěn)定因子的減小，降低彈丸的穩(wěn)定性。

圖1為修正彈在無控和有控狀態(tài)下的陀螺穩(wěn)定因子Sg的曲線。圖中，兩條曲線在全彈道上均滿足Sg>1的陀螺穩(wěn)定條件。

2.2 追隨穩(wěn)定性

在彈丸飛行過程中，由于重力作用彈丸的質(zhì)心速度將會(huì)逐漸向下偏轉(zhuǎn)，但其不會(huì)使彈軸偏轉(zhuǎn)，因而產(chǎn)生俯仰平面內(nèi)的攻角。必須存在作用在彈軸上的力矩才能使彈軸跟隨彈丸合速度方向的偏轉(zhuǎn)，否則，彈丸總攻角將增大，導(dǎo)致近彈現(xiàn)象的出現(xiàn)。

對(duì)于旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈，在彈丸飛行過程中將出現(xiàn)動(dòng)力平衡角，且該角在水平方向的分量約是豎直方向分量的10倍，在其產(chǎn)生的氣動(dòng)力作用下產(chǎn)生垂直于彈軸向下的翻轉(zhuǎn)力矩，迫使彈軸向下偏轉(zhuǎn)，形成彈軸跟隨質(zhì)心合速度的現(xiàn)象。然而，動(dòng)力平衡角過大將使彈丸穩(wěn)定性降低，飛行特性變差，散布加大，甚至使射程大大減小。為使彈丸具有良好的彈道特性，需要限制動(dòng)力平衡角的大小。動(dòng)力平衡角最大值出現(xiàn)在彈道頂點(diǎn)附近，故只需限制最大射角發(fā)射彈丸時(shí)的彈道頂點(diǎn)處得動(dòng)力平衡角即可。

圖2為修正彈在有控和無控狀態(tài)下的總攻角曲線。

需要指出的是，彈丸以52°射角出炮口，在40 s起控，且其控制角穩(wěn)定在180°直至彈丸落地。圖2中，彈丸起控后總攻角曲線出現(xiàn)了較大的抖動(dòng)，隨著彈丸的繼續(xù)飛行抖動(dòng)幅值逐漸減小?？偣ソ乔€的平均位置即為彈丸的動(dòng)力平衡角，故有控狀態(tài)下其動(dòng)力平衡角不會(huì)超過3°，無控狀態(tài)下動(dòng)力平衡角不超過2.7°，說明該彈丸滿足追隨穩(wěn)定條件。

2.3 動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性

考慮彈丸所受的全部氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩時(shí)，彈丸角運(yùn)動(dòng)方程的齊次方程的特征根的表達(dá)式如下：

(9)

當(dāng)彈丸處于無控狀態(tài)時(shí)，

(10)

當(dāng)彈丸處于有控狀態(tài)時(shí)，

(11)

令

(12)

式中，Sd為動(dòng)態(tài)穩(wěn)定因子。

通過討論Sdd的值即可判斷彈丸的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。圖3和圖4分別為無控和有控狀態(tài)下動(dòng)態(tài)穩(wěn)定因子Sd和Sdd的曲線。圖4中兩條曲線均在0上方，說明該彈丸在有控和無控狀態(tài)下均處于穩(wěn)定狀態(tài)。

2.4 共振穩(wěn)定性

在彈丸的無控飛行中，修正組件在來流作用下繞彈軸自由旋轉(zhuǎn)。由于修正組件氣動(dòng)外形不對(duì)稱，將產(chǎn)生周期性作用力。若該周期性作用力的頻率與彈丸自由擺動(dòng)周期相同將發(fā)生共振，使彈丸攻角急劇增大，造成彈丸失穩(wěn)，稱該種不穩(wěn)定為共振不穩(wěn)定。

彈丸飛行過程中，在某一較小時(shí)間段內(nèi)彈丸合速度及所受氣動(dòng)力不變，角運(yùn)動(dòng)方程為常系數(shù)線性微分方程，其解滿足疊加性，故可單獨(dú)討論控制力項(xiàng)對(duì)角運(yùn)動(dòng)的影響。

無控狀態(tài)下，僅考慮控制力矩項(xiàng)的角運(yùn)動(dòng)方程為

Δ″+(H-iP)Δ′-(M+iPT)Δ=B′eiχs，

(13)

可得方程的通解為

Δ=C1e(λ1+iω1)s+C2e(λ2+iω2)s+Δt.

(14)

隨彈丸的飛行二圓運(yùn)動(dòng)將衰減至消失，僅剩下周期性氣動(dòng)力產(chǎn)生的受迫圓運(yùn)動(dòng)。定義修正組件不旋轉(zhuǎn)時(shí)，彈丸在常值干擾力下產(chǎn)生的攻角為定常攻角，易得該定常攻角為

(15)

定義穩(wěn)定強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅與定常攻角的幅值的比值為放大系數(shù)，則有

(16)

圖5為無控和有控狀態(tài)下角運(yùn)動(dòng)的頻率曲線。圖中，無控和有控狀態(tài)下的快慢圓運(yùn)動(dòng)頻率分別相等(誤差較小)，快圓運(yùn)動(dòng)頻率ω1不超過0.5 rad/s，慢圓運(yùn)動(dòng)頻率ω2小于0.1 rad/s.

為維持彈丸的穩(wěn)定性，彈體高速旋轉(zhuǎn)，其滾轉(zhuǎn)頻率遠(yuǎn)大于二圓運(yùn)動(dòng)頻率。修正組件在無控狀態(tài)下的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速約為30 r/s，遠(yuǎn)大于兩頻率值；有控狀態(tài)下，理想狀態(tài)時(shí)修正組件相對(duì)地面穩(wěn)定在某一控制角度，轉(zhuǎn)速為0.控制算法的不同對(duì)修正組件的轉(zhuǎn)速要求也不同，在修正組件減旋期間會(huì)經(jīng)過共振區(qū)。因此，需要對(duì)控制算法和組件執(zhí)行機(jī)構(gòu)提出了更高的要求。

3 案例分析與仿真

安裝二維彈道修正引信的旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定榴彈的穩(wěn)定性分析包括陀螺穩(wěn)定性分析、動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性分析、追隨穩(wěn)定性分析、共振穩(wěn)定性分析等。在理想狀態(tài)下，彈丸滿足共振穩(wěn)定性，然而在修正引信的制動(dòng)控制中該問題必須被考慮。彈丸的追隨穩(wěn)定性是指彈軸追隨質(zhì)心的合速度方向，在彈丸落地時(shí)實(shí)現(xiàn)彈丸頭部著地。陀螺穩(wěn)定性是榴彈穩(wěn)定的必要不充分條件。在彈丸動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性分析過程中，陀螺穩(wěn)定因子是該過程必不可少的因素。動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性是彈丸飛行穩(wěn)定的充要條件，滿足動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性條件的彈丸必定飛行穩(wěn)定。下文重點(diǎn)討論舵結(jié)構(gòu)參數(shù)與初始擾動(dòng)差異對(duì)安裝二維彈道修正引信的彈丸的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的影響。

仿真中所選用的氣象條件為標(biāo)準(zhǔn)氣象條件，彈丸初速為890 m/s，射角為40°,仿真所得落點(diǎn)如表1所示。

表1 不同舵結(jié)構(gòu)參數(shù)的彈丸仿真落點(diǎn)坐標(biāo)

3.1 無控狀態(tài)下舵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響

無控狀態(tài)下，彈丸的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定條件如下：

(17)

舵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)彈丸的射程、側(cè)偏、動(dòng)力平衡角、舵轉(zhuǎn)速、彈體轉(zhuǎn)速、質(zhì)心合速度等都有影響。由式(17)可知，上述因素對(duì)彈丸的穩(wěn)定性存在不同程度的影響，因而，很難定量分析舵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)彈丸穩(wěn)定性的影響。

通過仿真的手段分析舵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)彈丸穩(wěn)定性的影響，給出不同舵結(jié)構(gòu)參數(shù)的彈丸的陀螺穩(wěn)定因子Sg和Sdd隨時(shí)間的變化曲線，如圖6、7所示。其中4°和6°是指在發(fā)射之前將同向控制舵預(yù)先調(diào)至該角度。

圖6中，不同舵結(jié)構(gòu)參數(shù)的彈丸的Sg的曲線均呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)，且Sg沿全彈道均大于1，說明彈丸均滿足陀螺穩(wěn)定條件。彈道升弧段，陀螺穩(wěn)定因子由大到小依次為4°大舵片、6°大舵片、6°小舵片、4°小舵片；彈道降弧段，陀螺穩(wěn)定因子由大到小依次為4°小舵片、6°小舵片、4°大舵片、6°大舵片。

圖7中，不同舵結(jié)構(gòu)參數(shù)的彈丸的Sdd曲線具有相同的變化趨勢(shì)，且其值沿全彈道均大于0，說明彈丸滿足動(dòng)態(tài)穩(wěn)定條件。彈道起始段(0～7 s)，4種結(jié)構(gòu)舵片穩(wěn)定性很接近，之后(10～22 s)4°小舵片穩(wěn)定性明顯高于另外3種結(jié)構(gòu)舵片，30～50 s動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性由大到小依次為6°大舵片、4°大舵片、6°小舵片、4°小舵片，60 s之后，動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性由大到小依次為4°小舵片、6°小舵片、4°大舵片、6°大舵片，整個(gè)過程中，4°大舵片和6°大舵片的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性都很接近。

3.2 有控狀態(tài)下舵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響

有控條件下，彈丸的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定條件如下：

(18)

與無控條件下的研究方法相同，采用仿真的手段研究舵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)彈丸有控條件下彈丸的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的影響,如圖8、9所示。

圖8中，不同舵結(jié)構(gòu)參數(shù)的彈丸的Sg的曲線均呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)，且Sg沿全彈道均大于1，說明彈丸均滿足陀螺穩(wěn)定條件。4°小舵片和6°大舵片陀螺穩(wěn)定因子很接近，4°大舵片和6°小舵片很接近，且前兩者明顯大于后兩者。

圖9中，不同舵結(jié)構(gòu)參數(shù)的彈丸的Sdd曲線具有相同的變化趨勢(shì)，且其值沿全彈道均大于0，說明彈丸滿足動(dòng)態(tài)穩(wěn)定條件。4°小舵片和6°大舵片動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性很接近，4°大舵片和6°小舵片很接近，且前兩者明顯大于后兩者。

4 結(jié)束語

筆者首先在理論上對(duì)彈道模型進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，得到了滿足陀螺穩(wěn)定性、追隨穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性與共振穩(wěn)定性的要求。通過不同結(jié)構(gòu)參數(shù)條件下舵對(duì)穩(wěn)定性影響的仿真分析，可得出無控狀態(tài)下結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響較小，而在有控制狀態(tài)下結(jié)構(gòu)參數(shù)的改變對(duì)穩(wěn)定性影響較大。