郭凌飛，張林波

哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001

壓縮感知（compressive sensing,CS）已是當前信號處理領(lǐng)域中的一個重要理論，相關(guān)的信號重構(gòu)算法更是備受國內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注。相比于傳統(tǒng)的信號采樣，具有采樣頻率低、耗時少、壓縮占有空間小等一系列優(yōu)勢[1?3]。壓縮感知理論中有3個重點問題，分別為學(xué)習(xí)字典設(shè)計、觀測矩陣構(gòu)造和信號重構(gòu)算法[4]，每一個問題都對信號重構(gòu)起著重要的作用。

本文利用壓縮感知模型和欠定盲源分離模型的等效性，研究了壓縮感知在欠定盲源分離中的源信號重構(gòu)問題，并針對學(xué)習(xí)字典設(shè)計與重構(gòu)算法的某些缺陷進行改進。首先，提出相關(guān)性加權(quán)最小二乘字典學(xué)習(xí)方法，與K?SVD字典學(xué)習(xí)方法相比，具有超線性收斂速度，提高了字典的學(xué)習(xí)效率，并有助于信號重構(gòu)質(zhì)量的提高[5]。然后，利用分段正交匹配追蹤算法來重構(gòu)源信號。接著，將字典學(xué)習(xí)法與信號重構(gòu)算法結(jié)合，可在算法復(fù)雜度與重構(gòu)精度上，實現(xiàn)更好的折中。最后通過實驗仿真分析證明，壓縮感知可以較高的精度實現(xiàn)源信號的精確分離。

1 壓縮感知問題描述

1.1 盲源分離與壓縮感知等效模型

在無噪聲條件下，盲源分離混合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達式為：

將式（1）轉(zhuǎn)換成式（2）的矩陣相乘形式：

假設(shè)系統(tǒng)中的信號均為離散實值信號，且采樣點數(shù)均為 T ，此時 X(t)為 M×T維的觀測信號，S(t)為 N×T 維的源信號，A為混合矩陣。

壓縮感知系統(tǒng)模型的數(shù)學(xué)表達式為：

同樣轉(zhuǎn)換成式（4）的矩陣相乘形式：

式中： X 與 S 均 為一維信號， X 為長度 M的壓縮信號；S 為 長度 N 的原始信號； Φ為觀測矩陣。其中的信號 S可以表示 S=ΨB，Ψ 為正交稀疏矩陣（字典）， B為稀疏系數(shù)向量。同時 S也可表示為一組共 N維正交稀疏矩陣與稀疏系數(shù)的線性組合，表示形式如式（5）：

綜合上面的表達形式，壓縮感知系統(tǒng)模型的數(shù)學(xué)表達式改寫為式（6）的形式：

令 Γ=ΦΨ ，Γ為感知矩陣。

對比這2種模型，可以發(fā)現(xiàn)表達形式很相近。為了結(jié)合這2種模型，將式（2）中的 X(t)和S(t)寫成一維向量形式[6]，得到：

套用觀測矩陣的格式，將混合矩陣 A的元素融合進觀測矩陣 Φ， 使得 Φ中 的元素 φij成 為 Φ的子矩陣，每一個都是對角矩陣，如式（9）所示。這樣一來，將式（7）~（9）結(jié)合在一起，使得式（3）有一種新的表達形式，即將壓縮感知模型與欠定盲源分離模型結(jié)合起來。

此時 X∈RMT×1， S∈RNT×1， Φ ∈RMT×NT。

1.2 壓縮感知盲源分離主要內(nèi)容

利用壓縮感知理論完成源信號重構(gòu)的基本內(nèi)容有3個：字典學(xué)習(xí)方法、觀測矩陣構(gòu)造、信號重構(gòu)算法。

1.2.1 字典學(xué)習(xí)

將源信號作為學(xué)習(xí)信號，根據(jù)源信號的先驗知識并運用學(xué)習(xí)方法，得到稀疏字典，常見的有最優(yōu)方向法、K?奇異值分解（K?SVD）算法等[7]。本文采用一種改進的加權(quán)最小二乘算法，進行字典學(xué)習(xí)，該算法可根據(jù)信號內(nèi)部信息，提高信號重構(gòu)精度。

1.2.2 觀測矩陣構(gòu)造

將欠定盲源分離的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換成壓縮感知的數(shù)學(xué)模型，將混合矩陣轉(zhuǎn)化為壓縮感知中的測量矩陣?？砂凑?.1節(jié)內(nèi)容實現(xiàn)。

1.2.3 重構(gòu)算法

壓縮感知重構(gòu)算法有很多，一類算法為凸優(yōu)化算法，例如基追蹤（base pursuit,BP）算法等；另一類算法為貪婪追蹤算法，例如正交匹配追蹤（orthogonal matching pursuit,OMP）算法、互補匹配追蹤（complementary matching pursuit,CMP）算法等[8]。本文重點研究貪婪追蹤算法中OMP算法的改進算法，求出信號的稀疏系數(shù)。最后實現(xiàn)源信號的重構(gòu)，解決欠定盲源信號的分離問題。

2 壓縮感知盲源分離算法

2.1 CWLS-DL方法

本文采用一種名為含相關(guān)性的加權(quán)最小二乘字典學(xué)習(xí)（correlation-based weighted least square–dictionary learning,CWLS?DL）方法，它是一種能充分挖掘信號內(nèi)部相關(guān)性特征的字典學(xué)習(xí)方法，能夠提高過完備字典在壓縮感知中的信號重構(gòu)精度。

首先，給出原始的訓(xùn)練樣本，如式（10）所示。

訓(xùn) 練 字 典 為 D=[d1,d2,···,dN]。 在 這 里 將si(t)與 di分 別稱為第i個 子訓(xùn)練樣本和第i個子訓(xùn)練字典。同理，給出稀疏系數(shù)矩陣，如式（11）所示。

式中： bi(t)為 第i個 子稀疏系數(shù)向量， t=1,2,···,T，為書寫方便，后面將變量t省略。訓(xùn)練字典的初值一般是從訓(xùn)練樣本中選取得到[9]。

然后，進行字典學(xué)習(xí)階段，分為稀疏編碼和字典更新2個環(huán)節(jié)[10]。稀疏編碼，先將子訓(xùn)練字典固定，基于選定的匹配追蹤（matching pursuit,MP）算法，求出子稀疏系數(shù)向量。字典更新，固定已求出的子稀疏系數(shù)向量，使用加權(quán)最小二乘法算法更新子訓(xùn)練字典。

下面給出利用加權(quán)最小二乘法，得到訓(xùn)練字典更新公式的簡要推導(dǎo)過程。在字典更新中，要解決帶權(quán)重的重構(gòu)信號與輸入信號誤差的F?范數(shù)最小化問題，也就是式（12）與（13）所表示的關(guān)系：

式中： W0為 誤差加權(quán)矩陣； K0為大于零的常數(shù)；且函數(shù) f(di)滿足式（14）中的關(guān)系：

式中

對函數(shù) f(di)求 偏導(dǎo)數(shù)并令 ?f(di)/?di=0，計算后得到字典迭代公式為：

式（15）表示為N組方程組，將式（15）的結(jié)果帶入式（16），計算誤差矩陣 R，計算式為

式中 為一個 維的對角矩陣。

所以， W′的初始化過程為：從 S 中隨機選取樣本得到D的初值，將D的初值與S代入到匹配追蹤算法中，得到稀疏系數(shù)矩陣B，再根據(jù)式（16）計算得到R，最后將R中的元素代入到式（17）中求得權(quán)重矩陣 W′的初值。

得到權(quán)重矩陣 W′的初值后，將賦值 W=W′，并代回到式（15）中，不斷重復(fù)直至字典D收斂，并到達正交且接近稀疏為止，記此時，得到的字典 D′就是要求的正交稀疏矩陣Ψ ，如式（18）所示，其中有 d′i=ψi。

2.2 分段正交匹配追蹤算法

分段正交匹配追蹤（Stage wise-OMP,St-OMP）算法是OMP的一種改進算法，也是壓縮感知理論中的核心[11]。St-OMP算法在OMP算法基礎(chǔ)上，增加了單次迭代選擇的原子數(shù)，并且不受到信號稀疏度的影響，相比于OMP算法和其他改進的OMP算法，有獨特優(yōu)勢。

2.2.1 算法涉及到的變量與成分

輸入成分：

輸出成分：

1）稀疏系數(shù)向量估計值：B?。

2）殘差： rS

其他變量：

1）迭代次數(shù)：t 。

2）每次迭代找到的索引（列序號）： J0。3）t次迭代索引（列序號）集合：Λt。

4） Γ的 第 j 列： γj。

5）按 Λt選出的矩陣 Γ 的列集合：Γt。

1）將參數(shù)初始化

2）計算 u并 選擇 u中大于門限的TTh值，將計算出的值對應(yīng) Γt的列序號構(gòu)成集合 J0（ 1?j?N），u的計算式如式（19）：

3）按式（20）進行集合并運算，若 Λt=Λt-1（即沒有新列被選中），則停止迭代，進入步驟7）；

6）迭代次數(shù)增加，即 t=t+1。 若 t?S，則返回步驟2）繼續(xù)執(zhí)行；若 t>S或 殘差 rt=0，停止迭代，進入步驟7）。

7）得到最終的 B?后，再乘上前面得到的字典Ψ，可重構(gòu)信號 S?=ΨB?。在 Λt處有非零項，其值分別為最后一次迭代得到的。

2.3 組合算法流程圖

組合算法流程圖如圖1所示。

圖1 壓縮感知盲源分離組合算法

2.4 算法性能評價標準

評價混合矩陣估計性能的標準有2個[12]，分別為：

1）信干比

式中：si代 表第i路 源信號；代 表第i路恢復(fù)源信號。利用信干比作為源信號的恢復(fù)性能評價準則時，信干比越大，表示源信號恢復(fù)效果越好越理想。一般認為當信號的信干比不小于10dB時，恢復(fù)效果較好，重構(gòu)精度高。這里的信干比定義與其他地方不同，表示的是重構(gòu)信號與源信號的誤差，而和干擾沒有關(guān)系。

2）相關(guān)系數(shù)

式中： si(t)是 第i路 源 信 號 ；(t)是 第i路恢復(fù)源信號。當相關(guān)系數(shù)越接近1，說明分離效果越好，恢復(fù)信號越接近源信號；反之，則分離算法性能越差。一般情況下，相關(guān)系數(shù)不小于0.8時，信號恢復(fù)程度已較好。

3 仿真實驗及結(jié)果分析

為驗證算法的性能，我們通過語音信號的盲源分離仿真實驗來完成。實驗采用的源信號為隨機選取的4段英語聽力音頻，數(shù)據(jù)采樣點長度為80000，采樣頻率為10kHz，源信號時域波形圖如圖2所示。

圖2 源信號波形

首先，利用混合矩陣模擬聲音傳播的信道，將4路源信號混合成3路觀測信號，本文中混合矩陣 A為隨機生成的，混合矩陣為：

3.1 語音信號重構(gòu)的仿真實驗（無噪聲環(huán)境）

3.1.1 信號重構(gòu)情況

根據(jù)本文提出的字典學(xué)習(xí)方法與重構(gòu)算法，進行信號分離重構(gòu)仿真實驗，并命名算法1為K?SVD字典+OMP算法，算法2為CWLS字典+OMP算法，算法3為K?SVD字典+St?OMP算法，算法4為CW?LS字典+St?OMP算法。分別通過上述組合算法進行源信號重構(gòu)，得到重構(gòu)源信號分別如圖3~6所示。

圖3 算法1分離信號波形（無噪聲）

圖4 算法2分離信號波形（無噪聲）

圖5 算法3分離信號波形（無噪聲）

圖6 算法4分離信號波形（無噪聲）

3.1.2 算法性能檢驗

接下來，通過對比所得相關(guān)系數(shù)與信干比的數(shù)據(jù)，來檢驗算法的性能。

首先是相關(guān)系數(shù)，表1中的數(shù)據(jù)為通過算法4重構(gòu)信號得到的相關(guān)系數(shù)，主對角線上的數(shù)據(jù)代表源信號與自身重構(gòu)信號的相關(guān)系數(shù)，其他位置代表源信號與其余重構(gòu)信號的相關(guān)系數(shù)。可以看到主對角線上的相關(guān)系數(shù)均大于0.8，證明通過算法4能夠較好恢復(fù)信號。

表1 通過算法4仿真得到的相關(guān)系數(shù)

下面將對比通過不同算法得到的相關(guān)系數(shù)來驗證算法重構(gòu)源信號的精確度，數(shù)據(jù)如表2所示。其中，在算法4下計算得到的相關(guān)系數(shù)最大，意味著重構(gòu)源信號的精確度最高。所以，CWLS字典與St?OMP算法的組合在信號重構(gòu)精度方面，在這4個算法組合中性能最佳。

表2 不同算法相關(guān)系數(shù)對比結(jié)果

下面將對比不同算法完成仿真實驗的消耗時間，來驗證算法重構(gòu)源信號的復(fù)雜度。數(shù)據(jù)如表3所示，按算法消耗時間由少到多的順序排列，分別為算法2、算法1、算法4、算法3。這證明了CWLS字典與St-OMP算法的組合，在算法復(fù)雜度上有一個降低的趨勢。

表3 不同算法消耗時間對比結(jié)果

對比相關(guān)系數(shù)之后，下面是信干比的比較。數(shù)據(jù)如表4所示，其中算法4得到的信干比最大。和相關(guān)系數(shù)的驗證結(jié)果一樣，CWLS字典與St-OMP算法的組合在信號重構(gòu)精度方面，是這4個算法組合中性能最好的。

表4 不同算法信干比對比結(jié)果

3.2 語音信號重構(gòu)的仿真實驗（有噪聲環(huán)境）

3.2.1 信號重構(gòu)情況

本小節(jié)實驗將在加性高斯白噪聲(additive white Gaussian noise,AWGN)的環(huán)境下進行。依舊遵循3.1.1節(jié)中的算法命名方式，分別通過前面的4種組合算法進行源信號重構(gòu)。設(shè)置信噪比為20dB，得到重構(gòu)源信號分別如圖7~10所示。

圖7 算法1分離信號波形（信噪比為20dB）

圖8 算法2分離信號波形（信噪比為20dB）

圖9 算法3分離信號波形（信噪比為20dB）

圖10 算法4分離信號波形（信噪比為20dB）

3.2.2 算法性能檢驗

這里對比在AWGN環(huán)境下所得相關(guān)系數(shù)與信干比的數(shù)據(jù)，來檢驗算法的性能。

圖11為不同信噪比下的相關(guān)系數(shù)曲線圖，可看到算法4是上述4種組合中，當相關(guān)系數(shù)相等且不小于0.8時，所需信噪比最小的組合，最小信噪比約為18dB。

圖11 不同信噪比下的相關(guān)系數(shù)（含AWGN）曲線

圖12為不同信噪比下的信干比曲線圖，可看出算法4的組合是上述4種組合中，當信干比相等且不小于10dB時，所需信噪比最小的組合，最小信噪比約為17dB。

圖12 不同信噪比下的信干比（含AWGN）曲線

所以，CWLS字典與St-OMP算法的組合在含噪聲環(huán)境下同樣有著較優(yōu)的性能。

4 結(jié)論

本文就欠定盲源分離中源信號的恢復(fù)問題，與壓縮感知理論結(jié)合，并針對其中的字典學(xué)習(xí)與重構(gòu)算法進行改進，提出了CWLS字典學(xué)習(xí)與St-OMP算法組合，并完成語音信號的信號重構(gòu)仿真實驗。所得結(jié)論如下：

1）提出的組合算法能夠解決帶權(quán)重信號誤差的F?范數(shù)最小化問題，并通過增加單次迭代的原子數(shù)改變算法復(fù)雜度。

2）仿真實驗結(jié)果表明，CWLS字典學(xué)習(xí)與St-OMP算法組合在原有算法基礎(chǔ)上，可提高信號重構(gòu)精度，同時在算法復(fù)雜度上有著不錯的折中效果；而且在含噪聲環(huán)境下同樣有著較優(yōu)的性能。

文章在對算法的復(fù)雜度驗證上還不夠完善，而且其穩(wěn)定性也要進一步驗證，這也是后面的研究過程中需要考慮的地方。