李 琳， 胡錫欽， 鄒焱飚

(華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院 廣州,510641)

引 言

自動化技術(shù)的發(fā)展促使工業(yè)機(jī)器人被廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)制造領(lǐng)域，隨著生產(chǎn)要求的提高，實現(xiàn)機(jī)器人高速高精度的運(yùn)動變得尤為重要。然而，高速運(yùn)動會使機(jī)械臂產(chǎn)生較大的殘余振動，實際生產(chǎn)中，通常需要等到殘余振動消失或者衰減到允許范圍之后才能進(jìn)行位置精度要求高的工序，這就很難滿足生產(chǎn)的要求。為了消除這種振動帶來的副作用，提高工作效率，研究人員進(jìn)行了大量的研究工作。近年來，輸入整形技術(shù)成為振動控制領(lǐng)域的研究熱點。文獻(xiàn)[1-3]對輸入整形技術(shù)進(jìn)行了深入的研究，分析了整形器的魯棒性以及對模態(tài)參數(shù)的敏感性，并在不同應(yīng)用實例中驗證了其有效性。董明曉等[4-5]針對彈性機(jī)構(gòu)中的單模態(tài)和多模態(tài)振動問題，提出將輸入整形引入到比例-微分(proportion derivative,簡稱PD)反饋控制中，通過合理的設(shè)計控制器，使其具有較強(qiáng)的參數(shù)魯棒性和抗外界干擾能力。趙志剛等[6]提出了改進(jìn)型負(fù)輸入整形和最優(yōu)控制結(jié)合的方法，引入線性二次型調(diào)節(jié)器反饋以應(yīng)對模型參數(shù)不精確的問題。賈鵬霄等[7]將PD自適應(yīng)控制與輸入整形技術(shù)相結(jié)合，考慮系統(tǒng)模型存在參數(shù)不匹配的影響，利用輸出信息進(jìn)行PD自適應(yīng)控制器的設(shè)計，保證跟蹤參考模型的輸出以獲得滿意的性能。然而，這些方法都是以簡化、理想化的動力學(xué)模型為基礎(chǔ)，這使得獲取到的模態(tài)參數(shù)與實際系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)不匹配。

鑒于在設(shè)計輸入整形器時，整形器脈沖序列中各脈沖的幅值和作用時刻的求解要求精確的動力學(xué)模型，且對模型參數(shù)的變化很敏感，而采用魯棒輸入整形器雖然擴(kuò)大了帶寬，但卻要消耗大量的調(diào)節(jié)時間。為此,既考慮到輸入整形器對系統(tǒng)振動模態(tài)參數(shù)的敏感度很高，也考慮到輸入整形器會帶來延時，影響機(jī)器人的工作效率，筆者提出一種基于模態(tài)參數(shù)識別和無延時整形相結(jié)合的復(fù)合方法來抑制機(jī)械臂的殘余振動。

1 輸入整形原理

輸入整形是將初始指令與特定的脈沖序列進(jìn)行卷積，生成的整形指令作為控制系統(tǒng)運(yùn)動的輸入信號[6]。其基本原理可以由圖1來描述，在t1=0時刻輸入幅值為A1的脈沖信號，系統(tǒng)響應(yīng)在圖中用實線表示，為了抑制由第1個脈沖激起的振動，在t2=ΔT時刻輸入幅值為A2的脈沖信號，其響應(yīng)在圖中用虛線表示。由線性系統(tǒng)的疊加性可知，兩個脈沖引起的系統(tǒng)響應(yīng)如圖中點畫線所示，當(dāng)t≥ΔT時，兩個脈沖激起的振動相互抵消，達(dá)到抑振的目的。

圖1 輸入整形法原理Fig.1 Principle of input shaping

下面通過二階線性系統(tǒng)來引出輸入整形器的設(shè)計過程，假設(shè)二階線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G

(1)

其中：ωn為自然頻率；ζ為阻尼比；k為增益。

二階線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為

(2)

假設(shè)整形器由n個脈沖組成，那么整形器可表示為

(3)

以包含n個脈沖的脈沖序列作為系統(tǒng)的輸入信號，則系統(tǒng)響應(yīng)為

V2cos(ωd(t-ti))]

(4)

(5)

(6)

其中：Ai，ti分別為第i個脈沖的幅值和作用時刻；tn為輸入整形器的總長度。

對于某一確定的系統(tǒng)，其自然頻率ωn、阻尼系數(shù)ζ是確定的，根據(jù)上述約束條件可以解出Ai和ti

(7)

其中

最簡單的輸入整形器是包含兩脈沖的整形器，稱之為ZV整形器，由式(7)可得其數(shù)學(xué)表示形式為

(8)

2 模態(tài)參數(shù)的識別

整形器的設(shè)計需要預(yù)先獲知系統(tǒng)的兩個模態(tài)參數(shù)：自然頻率ωn和阻尼比ζ。傳統(tǒng)的方法主要有3種：a.建立系統(tǒng)的動力學(xué)模型，通過求解動力學(xué)方程來獲得[8-9]；b.通過錘擊法等進(jìn)行模態(tài)實驗獲得[10]；c.有限元分析法[11]。這3種方法都能得到系統(tǒng)的各階模態(tài)，但不能直接確定在實際情況下起主要作用的模態(tài)，通常的做法是取第1階模態(tài)或者前2階模態(tài)來設(shè)計整形器。

筆者通過對機(jī)械臂末端的殘余振動信號進(jìn)行快速傅里葉變換(fast fourier transform,簡稱FFT)，分析其主要模態(tài)，來識別系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)[12]。具體步驟如下：

1) 對采集到的殘余振動信號進(jìn)行FFT計算，繪制殘余振動信號的功率譜；

2) 設(shè)定頻譜幅度比較閾值A(chǔ)v和頻率變化閾值ωv，篩選幅值大于Av的峰值頻率ωi，再比較相鄰的峰值頻率ωi，若ωi+1-ωi<ωv，則當(dāng)成同一階模態(tài)頻率，如此確定在系統(tǒng)振動中起主要作用的模態(tài)；

3) 根據(jù)步驟2中識別到的主振頻率ωi，設(shè)置帶通濾波器，對殘余振動信號進(jìn)行濾波，得到該模態(tài)下的振動時域信號；

4) 通過對數(shù)衰減法求解阻尼比[13]。

對數(shù)衰減法的計算原理如圖2所示。

圖2 對數(shù)衰減法原理Fig.2 Principle of logarithmic decrement method

由式(2)可知，第i階模態(tài)下的振動信號為

(9)

其中：i為主振模態(tài)序號；N為主振模態(tài)的數(shù)量。

由式(9)可知，振動信號為衰減的正弦信號，其包絡(luò)線為

(10)

設(shè)振動信號中兩個連續(xù)的峰值為Yn和Yn+1，那么

為提高計算的準(zhǔn)確率，可以選擇多個峰值計算出阻尼比ζ之后再取平均值。

3 無延時整形的設(shè)計方法

傳統(tǒng)的輸入整形器會引入延時，如果采用魯棒性強(qiáng)的整形器，就不得不增加整形器中脈沖的數(shù)量，這將使延時更加嚴(yán)重。為了消除延時帶來的副作用，筆者采用一種對輸入軌跡進(jìn)行加速設(shè)計實現(xiàn)無延時的方法，具體設(shè)計思路如下。

1) 典型的整形器可表示為

其中：n為脈沖數(shù)；tn為整形器的長度，對輸入軌跡整形后會使得軌跡時長增加tn。

2) 對期望的輸入軌跡S(t)(t∈[0,T])進(jìn)行加速設(shè)計得到Sacc(τ)(τ∈[0,T-tacc])，即按時間變量對軌跡均勻加速，使軌跡時長縮短tacc。其中tn≤tacc

則Sacc(τ)=Sacc(kt)=S(t),t∈[0,T]。如此，確保加速設(shè)計后的軌跡與原軌跡保持形狀不變，即軌跡曲線的各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性特性不變，而只改變運(yùn)行速度。

3) 對加速后的軌跡Sacc(τ)進(jìn)行整形，得到整形后的軌跡SIS=fIS*Sacc。假設(shè)整形器包含n個脈沖，則整形后的軌跡為

(t∈[0,T-tacc+tn])

S'acc(t)是對Sacc(t)的擴(kuò)展，即

其中：u(t)為單位階躍函數(shù)

其目的是確保整形后機(jī)械臂能運(yùn)行到與未整形時同樣的位置,即機(jī)械臂運(yùn)動的起止點相同。

比較原期望的軌跡s(t),t∈[0,T]與整形后的加速軌跡SIS(t)，t∈[0,T-tacc+tn]可知，由于tn

4 實 驗

為了驗證上述方法的有效性，搭建了單自由度機(jī)械臂的實驗平臺，并進(jìn)行了間歇-間歇實驗來測試抑振效果。

實驗平臺如圖3所示，機(jī)械臂實體采用廣州數(shù)控設(shè)備有限公司生產(chǎn)的六自由度工業(yè)機(jī)器人的J4和J5軸，其中J4軸固定在基座上，J5軸由交流伺服電機(jī)通過同步帶驅(qū)動。驅(qū)動模塊采用臺達(dá)公司的ASD-A2 Ether-CAT通訊型交流伺服驅(qū)動器和ECMA-CA0604SS型交流伺服電機(jī)，電機(jī)額定功率為400W，額定轉(zhuǎn)速為3kr/min。傳感器采用的是德國KISTLER公司的三維加速度傳感器，測量范圍為-300 ～ +300m/s2。信號處理模塊為華研 IPC-510嵌入式工控機(jī)，配置主頻3.4GHz的Intel i7-3770四核處理器。實驗中輸入控制信號為機(jī)械臂的位移軌跡，輸入指令間隔為1ms，模態(tài)參數(shù)識別的計算過程在Matlab中完成。

圖3 抑振測試實驗平臺Fig.3 Experiment platform for vibration suppression control

4.1 模態(tài)參數(shù)識別

本實驗中輸入軌跡為典型的S型曲線，機(jī)械臂按照規(guī)劃的軌跡運(yùn)行，通過加速度傳感器采集機(jī)械臂末端殘余振動的電壓信號，將原始振動信號進(jìn)行低通濾波，濾除高頻噪聲，再進(jìn)行快速傅里葉變換得到的功率譜如圖4所示。

圖4 振動信號功率譜Fig.4 Power spectrum of residual vibration

根據(jù)前述參數(shù)識別法，本實驗中系統(tǒng)的主振頻率為11Hz，此處分別用波峰值和波谷值進(jìn)行對數(shù)衰減法求解阻尼比，再取平均值以提高準(zhǔn)確性，結(jié)果為ζ=0.11。

4.2 整形器設(shè)計

根據(jù)4.1節(jié)中所得模態(tài)參數(shù)設(shè)計輸入整形器，由式(8)可知ZV整形器的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

根據(jù)前述無延時設(shè)計的方法，對原始期望軌跡進(jìn)行整形，結(jié)果如圖5所示。由圖5(a)可知，加速設(shè)計后的軌跡與原期望軌跡形狀相同而時長縮短，整形軌跡較貼合期望軌跡。由圖5(b)可知，整形后實際的運(yùn)行時間為1.6s，而預(yù)先期望軌跡的運(yùn)行時間為1.62s，這說明通過對軌跡加速設(shè)計可以實現(xiàn)無延時的目的。

圖5 無延時設(shè)計Fig.5 Zero time delay method

4.3 抑振效果

首先令機(jī)械臂按照期望的軌跡運(yùn)行，通過加速度傳感器采集末端的殘余振動信號，如圖6(a)所示。起始時間為期望軌跡運(yùn)行完的時刻，總時長為1s。

圖6 抑振效果Fig.6 Effect of vibration suppression

設(shè)整形前后殘余振動信號分別為y1(t)和y2(t)。為方便討論，此處將振動數(shù)據(jù)按整形前殘余振動的最大幅值max(|y1(t)|)做歸一化處理(量綱為1)

其中：max(|y1(t)|)=12.7m/s2。

考慮到噪音以及加速度傳感器可能存在的信號波動的影響，設(shè)定|y1*(t)|≤0.2時(圖中用虛線標(biāo)出)，認(rèn)為振動已經(jīng)穩(wěn)定下來，則整形前系統(tǒng)的穩(wěn)定時間為0.118s。

圖6(b)所示為機(jī)械臂按無延時整形軌跡運(yùn)行時，從加速度傳感器采集到的振動信號y2*(t)。起始時間為機(jī)械臂運(yùn)動停止時刻，總時長為1s。此處仍按整形前振動的最大幅值max(|y1(t)|)做歸一化處理(量綱為1)

整形后系統(tǒng)殘余振動的最大幅值僅為整形前的31%，穩(wěn)定時間為0.043 s。

對比整形前后機(jī)械臂的運(yùn)行時間和穩(wěn)定時間，如表1所示。其中總時間為運(yùn)行時間(即軌跡時長)與穩(wěn)定時間之和，殘余振動的穩(wěn)定時間由整形前的0.118 s縮短到整形后的0.043 s，穩(wěn)定時間大大縮短，說明輸入整形器設(shè)計合理，抑振效果非常理想。

表1 實驗結(jié)果對比

5 結(jié)束語

利用輸入整形技術(shù)抑制機(jī)械系統(tǒng)的殘余振動時，通常難以獲取系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，致使參數(shù)不匹配，從而影響抑振效果。同時，輸入整形器不可避免地給系統(tǒng)帶來延時，影響工作效率。筆者提出了一種基于模態(tài)參數(shù)識別和無延時輸入整形相結(jié)合的復(fù)合方法來抑制機(jī)械臂的殘余振動，并且在單自由度機(jī)械臂系統(tǒng)上進(jìn)行實驗以驗證其有效性。實驗結(jié)果顯示，整形后機(jī)械臂末端殘余振動的最大振幅降低到整形前的31%，穩(wěn)定時間由整形前的0.118 s縮短到整形后的0.043 s，表明通過該方法識別到的振動模態(tài)參數(shù)準(zhǔn)確性較高，設(shè)計的輸入整形器合理。同時，機(jī)械臂的運(yùn)行時間由1.62 s降低為1.6 s，說明無延時設(shè)計方法有效地補(bǔ)償了輸入整形器所帶來的延時，運(yùn)動控制的總時間由整形前的1.738 s降低到1.643 s，保證了機(jī)器人的工作效率。