陳志華，姚 彬，劉 克，劉 鋼，石 璟

（1.上海工程技術(shù)大學(xué)，上海 201620；2.上海拓璞數(shù)控科技股份有限公司，上海 201113；3.江麓機(jī)電集團(tuán)有限公司，湘潭 411004；4.四川航天長征裝備制造有限公司，成都 610100）

0 引言

目前，航空航天中蒙皮的加工主要采用傳統(tǒng)的化銑加工，存在壁厚精度難以保證、高消耗、高污染的問題。國內(nèi)部分航空航天蒙皮的加工則采用先銑后彎的形式，存在應(yīng)力集中和滾彎質(zhì)量缺陷問題。因此，急需發(fā)展蒙皮的高效、精確、綠色制造技術(shù)[1]。雙五軸鏡像銑設(shè)備是實現(xiàn)蒙皮等薄壁工件高效率、高精度加工的有效工具[2,3]。由于雙五軸鏡像銑設(shè)備在傳統(tǒng)五軸數(shù)控機(jī)床的基礎(chǔ)上增加了支撐端的五軸結(jié)構(gòu)，對于銑削端和支撐端之間的碰撞檢測不可忽視。

目前，包圍盒法是最常用的碰撞檢測算法。包圍盒算法有AABB包圍盒、OBB包圍盒、包圍球和k-DOP等[4]。在此基礎(chǔ)上，一些國內(nèi)學(xué)者對其進(jìn)行了改進(jìn)，如趙偉等[5]提出了一種基于混合包圍體的OpenMP并行化碰撞檢測算法。利用OpenMP并行模型來并行遍歷混合包圍體層次，進(jìn)一步加速碰撞檢測過程。趙鑫等[6]結(jié)合人工智能技術(shù)的隨機(jī)碰撞檢測算法，將群智能中經(jīng)典的粒子群優(yōu)化算法引入改進(jìn)的隨機(jī)碰撞檢測算法中，利用最基本的粒子群優(yōu)化搜索技術(shù)，以包圍基本幾何元素的OBB包圍盒作為基本特征對象，實現(xiàn)了復(fù)雜剛體之間的碰撞檢測。

本文在AABB包圍盒和包圍球的基礎(chǔ)上，針對雙五軸鏡像銑在運動過程中的旋轉(zhuǎn)變換提出一種AABB包圍盒與包圍球相結(jié)合的包圍體。與原有AABB包圍盒在旋轉(zhuǎn)變換中的不斷實時更新對比，基于包圍球的AABB包圍盒模型具有較強(qiáng)的適應(yīng)性和簡便性，能夠適用于復(fù)雜的大型機(jī)床；基于離散碰撞算法，分析了包圍盒碰撞檢測算法與GJK算法的特性，得出適用于雙五軸鏡像銑機(jī)床的防碰撞算法；通過C++和OpenGL庫函數(shù)進(jìn)行了仿真驗證。

1 雙五軸鏡像銑機(jī)床支撐端和銑削端的全尺寸模型的建立

1.1 軸對齊包圍盒（AABB）與包圍球模型簡介

1.1.1 軸對齊包圍盒（AABB）模型

軸對齊包圍盒AABB是一種最常用的包圍體[7]。在三維空間內(nèi)，AABB是一個具有六面盒裝的長方體，且其面皆平行于給定的坐標(biāo)軸。AABB最大的優(yōu)點在于模型建立方便，并能進(jìn)行快速的碰撞檢測，即根據(jù)各點在坐標(biāo)軸上相應(yīng)的坐標(biāo)值判斷是否發(fā)生碰撞。

AABB包圍盒建立有三種方式。第一種是根據(jù)各坐標(biāo)軸上的最大值和最小值建立包圍盒，二維情況下的示意圖如圖1所示。

圖1 最小值-最大值

第二種是根據(jù)最小值和各軸向?qū)挾戎到鼑?，如圖2所示。

圖2 最小值-寬度

第三種是根據(jù)中心位置和各軸向半徑建立包圍盒，如圖3所示。

圖3 中心位置-半徑

若物體只有平移運動，第二種和第三種構(gòu)建方式比較方便，當(dāng)有旋轉(zhuǎn)運動時，第一種構(gòu)建方式更為緊湊可靠。

1.1.2 包圍球模型

包圍球和AABB、OBB、k-DOP等包圍盒相比是一種非常簡便的包圍體，它具有快速檢測碰撞的特性，當(dāng)用于帶有旋轉(zhuǎn)變換的復(fù)雜物體時，包圍球不需要作任何更新，只需要考慮物體的平移，這是包圍球的一大優(yōu)點。當(dāng)幾何對象在運動過程中具有頻繁的旋轉(zhuǎn)運動時，包圍球是極好的選擇。

在建立包圍球時，由于各頂點的權(quán)值不同，采用物體所有頂點的幾何中心點作為包圍球的球心是不符合要求的。可以選擇物體各頂點之間距離最遠(yuǎn)的兩個點，以它們的中點和距離作為球心與直徑，這樣建立的包圍球模型具有更高的可靠性。二維情況下的示意圖如圖4所示。

圖4 包圍球

1.2 雙五軸鏡像銑防碰撞模型的建立

1.2.1 基于原有AABB包圍盒建立防碰撞模型

雙五軸鏡像銑機(jī)床由銑削端和支撐端組成，兩端帶有旋轉(zhuǎn)變換，如圖5所示。

圖5 支撐端與銑削端結(jié)構(gòu)

若用AABB包圍盒建立模型，當(dāng)物體在運動過程中發(fā)生旋轉(zhuǎn)變換時，AABB處于非對齊狀態(tài)，需要重新計算包圍體。對銑削端和支撐端包圍盒進(jìn)行運動學(xué)變換，需要建立雙五軸鏡像銑機(jī)床坐標(biāo)系，如圖6所示。

圖6 雙五軸鏡像銑坐標(biāo)系假設(shè)

A軸與B軸之間的旋轉(zhuǎn)變換：

A軸與C軸之間的旋轉(zhuǎn)變換：

其中：

分別代入式(1)、式(2)，得：

由以上運算可知，雙五軸鏡像銑進(jìn)行實時碰撞檢測中采用原有AABB包圍盒建立模型，需要在每次支撐端或銑削端發(fā)生旋轉(zhuǎn)變換時重復(fù)式(1)或式(2)運算，重新建立旋轉(zhuǎn)后的包圍盒，這會使整個建模過程變得復(fù)雜，并且會影響整個系統(tǒng)運算速度，不適用于大型機(jī)床碰撞檢測。

1.2.2 采用基于包圍球的AABB建立防碰撞模型

用建立包圍球模型方法在任意方向上包圍帶有旋轉(zhuǎn)變換的物體，分別計算物體各個元素頂點在x、y、z坐標(biāo)下的最小值和最大值，并以它們的中點為球心，球心到最大值頂點的距離為半徑；然后以包圍球尺寸作為AABB包圍盒外圍參考尺寸；最后通過C++與OpenGL庫函數(shù)進(jìn)行圖形可視化，如圖7所示。

圖7 支撐側(cè)與銑削側(cè)模型

基于包圍球的AABB包圍盒與不斷更新的AABB包圍盒相比更適用于雙五軸鏡像銑防碰撞模型。當(dāng)支撐端或銑削端在運動過程中有旋轉(zhuǎn)和平移變換時，只需考慮平移變換。

2 雙五軸鏡像銑碰撞檢測算法的實現(xiàn)

動態(tài)碰撞算法分為離散碰撞算法和連續(xù)碰撞算法[8]。本文采用離散碰撞算法，在每一時間的離散點上采用靜態(tài)的方法實現(xiàn)。

2.1 包圍球碰撞檢測算法

當(dāng)采用包圍球碰撞檢測算法時，只需計算出兩個球心距離和它們半徑之和R，如圖8所示。

圖8 包圍球碰撞檢測算法流程圖

包圍球碰撞檢測算法與AABB、OBB、k-DOP等包圍盒碰撞檢測算法相比，不需要考慮旋轉(zhuǎn)變換，只需要考慮平移變換，并且它的算術(shù)操作包含更少的語句和數(shù)據(jù)存取，碰撞檢測速度更快。

2.2 AABB包圍盒算法

AABB包圍盒與包圍球、OBB、k-DOP等包圍盒相比，更具有直觀性，若是AABB在三個坐標(biāo)軸下都相交，則判斷AABB之間發(fā)生碰撞。以最小值-最大值方式建立的AABB包圍盒碰撞檢測流程圖如圖9所示。

2.3 GJK算法

文章以AABB包圍盒與包圍球相結(jié)合建立了雙五軸鏡像銑支撐端與銑削端的包圍盒，碰撞檢測在兩個包圍盒上進(jìn)行?；诎鼑虻腁ABB包圍盒既可以通過包圍球算法來檢測兩個包圍盒是否發(fā)生碰撞，也可以通過兩個AABB包圍盒在三個坐標(biāo)軸下是否均發(fā)生相交進(jìn)行判斷，但是這兩種方式僅僅用于判斷兩個物體是否發(fā)生碰撞，無法在實際應(yīng)用中檢測兩個物體最近點之間的距離。

GJK是一種適合用于檢測物體之間的相交問題的算法，該算法通過兩個物體所有頂點集并可計算出該集合物體間的距離。GJK算法判斷兩物體之間是否發(fā)生碰撞的原理是：如果兩個物體的Minkowski差形狀中不包括原點，則這兩個物體不會碰撞，否則可以判斷兩物體會發(fā)生碰撞，在二維空間中的示意圖如圖10所示。

圖9 AABB包圍盒碰撞檢測算法流程圖

圖10 GJK算法-Minkowski差

GJK算法也可以計算兩個物體之間的距離，在兩個物體穿透深度比較小的情況下，可用它判定物體之間的碰撞，其原理是兩個物體之間的距離等價于它們的Minkowski差與原點的距離，在二維空間下示意圖如圖11所示。

圖11 GJK算法-最近距離

GJK算法可以不顯示計算物體之間的Minkowski差，只需要知道它們的Minkowski差是否包含原點，可以在Minkowski差形狀中迭代地創(chuàng)建單純形，使得單純形包含到原點的最近點。

為實現(xiàn)雙五軸鏡像銑支撐端與銑削端之間的碰撞檢測，只需在建立的包圍盒上采用GJK算法計算出兩包圍盒之間距離。碰撞檢測算法流程圖如圖12所示。

圖12 鏡像銑碰撞檢測算法流程圖

3 仿真結(jié)果與分析

在包含C++與OpenGL庫函數(shù)的平臺上進(jìn)行雙五軸鏡像銑支撐端與銑削端的碰撞檢測仿真。當(dāng)支撐端或銑削端運動到某一點發(fā)生旋轉(zhuǎn)變換時，將本文基于包圍球的AABB包圍盒法與更新AABB包圍盒法對比分析，連續(xù)采樣多個點進(jìn)行檢測，程序運行時間對比如圖13所示。

圖13 兩包圍盒運行時間對比

由圖13可見，運動到同一點建立模型時，基于包圍球的AABB包圍盒與不斷更新AABB包圍盒法相比較，縮短了運行時間，提高了建模速度，符合實時性要求。

在碰撞檢測中，雙五軸鏡像銑機(jī)床分別在x軸方向、y軸方向與z軸方向通過GJK算法對兩側(cè)包圍盒進(jìn)行實時距離檢測，一旦兩個包圍盒之間的距離達(dá)到給定安全值時，則發(fā)生報警并停止運動。在Z軸方向進(jìn)行實時碰撞檢測的示意圖如圖14所示。

圖14 Z軸方向碰撞檢測

4 結(jié)束語

本文利用AABB包圍盒和包圍球各自的優(yōu)點，對雙五軸鏡像銑的銑削端和支撐端建立基于包圍球的AABB包圍盒，此模型無需在機(jī)床運動過程中考慮旋轉(zhuǎn)變換問題；分析了包圍盒碰撞檢測法和GJK算法的優(yōu)缺點，在基于包圍球的AABB包圍盒上通過GJK算法進(jìn)行實時碰撞檢測。結(jié)果證明基于包圍球的AABB包圍盒模型與GJK算法能有效地應(yīng)用于雙五軸鏡像銑設(shè)備的碰撞檢測。