☉甘肅省高臺縣第一中學 呂小紅

高中數(shù)學是初等數(shù)學向高等數(shù)學的過渡期，對學生的數(shù)學思維能力也有一定的要求，主要通過考查學生能否結(jié)合數(shù)學各方面的知識來解決綜合性的數(shù)學問題，從而來考查學生對數(shù)學知識的運用能力.應用題的分值比例較高，重在解決實際問題，涉及的數(shù)學知識點較多，并且覆蓋面較廣，其題型又多變，是高中數(shù)學中的重難點內(nèi)容，學生在解答過程中常常會覺得難以下手.

一、高中數(shù)學應用題的題型分析

從歷年的數(shù)學高考情況來看，應用題在考試中一直占據(jù)著絕對的比例分值，但是學生的平均得分普遍不高.高中數(shù)學應用題的知識點包括了數(shù)列、集合、函數(shù)方程、排列組合與立體幾何等，綜合應用題就是由這些知識點相互交叉形成的.高中數(shù)學應用題的常見題型大致可以分為以下幾類：

1.立體幾何

立體幾何類的數(shù)學應用題一般為線面距離、線面關(guān)系及線面夾角的求解，這種類型的數(shù)學應用題所涉及的其他板塊的數(shù)學知識較少，難度單一，題目的形式也較為固定，主要是考查數(shù)學的基本知識點與數(shù)形結(jié)合的思想.我們一般可以通過三維坐標系進行向量的運算或者采用傳統(tǒng)的方法來進行幾何證明.

2.復合式應用題

復合式的應用題通常是源于求解極值、最大利益、最省路程及最優(yōu)方案等實際問題，一般與不等式、函數(shù)極值及方程組密切相關(guān).這類題目會由于學生無法從已知信息中構(gòu)建數(shù)學模型或者不熟悉相關(guān)的概念而顯得比較棘手.

3.實際應用題

增長率、產(chǎn)量及繁殖一般都與實際應用題密切相關(guān)，其涉及的數(shù)學知識多為數(shù)列與排列組合，當涉及與次數(shù)和時間相關(guān)的大題就會比較抽象紊亂，這也是學生容易出錯的地方，從而導致其在考試中的得分普遍偏低.當其他學科也出現(xiàn)在實際應用題中時，例如計算山高和凈空高度測量等，這就要求學生要具備相應的綜合學科能力.

高中數(shù)學的應用題考查的是學生對數(shù)學知識的掌握程度與運用情況，學生要做的就是從整體上進行理解并把握，不能局限于碎片化的數(shù)學知識的學習，然后進行大量的習題練習，這樣才能在考試中順利解答各種題型的應用題.

二、高中數(shù)學應用題解題困難的原因

數(shù)學應用題是讓學生利用現(xiàn)有的數(shù)學知識和數(shù)學思想去分析并解決數(shù)學問題，綜合考查學生的應用能力與數(shù)學知識水平.學生在解答數(shù)學應用題時經(jīng)常感覺吃力主要是由以下幾個方面的原因引起的：第一，在解題時存在對教師的依賴心理，教什么解題方法就用什么解題方法，也不去鉆研挑戰(zhàn)，因此無法形成有效的應用題解題思維；第二，在遇到文字敘述較長的應用題時缺乏耐心，解題心態(tài)急躁，在對題意了解的不夠清楚的情況下就開始解題，因而導致錯誤率上升；第三，受教師長期慣性教學程序化的影響，形成了較為固定的解題習慣與思維模式，對應用題型的變化適應能力不足，因此造成解題困難.

三、高中數(shù)學應用題的學習方式

1.提高對數(shù)學應用題的審題能力

審題能力對學生解答應用題來說至關(guān)重要，直接關(guān)系到能否正確解答出問題的答案.大多數(shù)同學因為沒有正確地理解題意，從而造成失分.因此學生首先應該正確理解題目所表達的意思，增強審題能力，從整體上了解題目所包含的知識點，為解題工作打下基礎.條件和結(jié)論是審題中對于題目內(nèi)容的兩個理解點，這就要求學生合理地運用自己所學的數(shù)學知識，把未知轉(zhuǎn)化為已知，利用發(fā)散性思維來獲取更多的信息.

2.重視數(shù)學應用題的典型例題

模仿是提高解題技巧的主要方式.學生可以把課本中的典型例題從考查的知識點到解題方式都完全掌握并學會運用.例題在我們學習數(shù)學的過程中通常都把課本中所強調(diào)的知識點很好地表達出來且對我們的學習起著引導的作用，解題技巧、解題思路與解題計算等都可以通過典型例題來進行更好的學習與掌握，因此掌握例題在我們學習數(shù)學的過程中是十分重要的.

3.主動學習

學生在學習數(shù)學的過程中應當占據(jù)著主體地位，而教師只是起著引導的作用，因此學生應當積極發(fā)揮自主學習的能力，可以通過探究數(shù)學應用題的典型例題或與同學交流解題技巧來培養(yǎng)自己的自主學習能力.

四、高中數(shù)學應用題解題方法

1.把握題目的關(guān)鍵信息，找到解題的突破口

正確理解題意是我們解答數(shù)學應用題的關(guān)鍵所在.學生如果無法做到正確理解應用題的題意，那么在解題的過程中往往就會無從下手甚至南轅北轍.大多數(shù)學生存在這樣一種情況，覺得應用題的題目太難，看不懂，但是教師稍微一點撥就覺得題目其實并不難，這是由于其審題能力太差造成的.大多數(shù)學生所認為的審題都只是對題目所要表達的意思有一定的理解，然后對問題進行分析.然而事實上，正確的審題方式是在把握住題目問題本質(zhì)的基礎上再去探究解題的思路.所以，教師在數(shù)學教學的過程中要對學生無法正確審題的原因?qū)ΠY下藥，從而培養(yǎng)學生解答數(shù)學應用題的能力.

我們以下面的題目為例來說明該如何正確審題：一個梯形兩底邊的長度分別為12cm與22cm，梯形的一條腰被平均分成10份，然后畫10條直線平行于梯形的底邊，且過10個等分點，求夾在梯形兩腰之間的10條線段的總長度.

這是一個典型的審題型應用題，大多數(shù)學生能夠很快地讀懂題意但卻不容易挖掘到題目中潛藏的信息.實際上，這10條夾在梯形兩腰之間的線段是一個等差數(shù)列，如果能挖掘到這個潛藏的知識點，解答這個題目就會變得輕而易舉.因此，教師在數(shù)學教學活動中，還要注意引導學生通過已知的信息去探究潛藏的信息，然后進行題目的轉(zhuǎn)化，運用發(fā)散性的思維來解決數(shù)學問題.

2.聯(lián)系生活實際，掌握解題思路與技巧

與實際生活逐漸接軌是近幾年高考數(shù)學應用題的趨勢之一，有些學生因為無法從生活中找到相應的數(shù)學模型，因而面對這種題型時常常會覺得不知所措.針對這種情況教師可以引導學生不要把對于數(shù)學的學習僅停留在課本上，要學會與生活中的實際相聯(lián)系，學會轉(zhuǎn)化思維方式.例如，可以把具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)字問題，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題等，從而使題目變得簡單易解.

我們以下面的題目為例來說明聯(lián)系實際來解決數(shù)學問題：如圖1所示，ABCD是一個矩形的花園，現(xiàn)在要擴建一個更大的矩形花壇AMPN，要求D在AN上，B在AM上，且對角線MN要過C點，已知AD=2米，AB=3米，如果矩形AMPN的面積要大于32平方米，那么AN的長應該在什么范圍內(nèi)？

圖1

這個應用題很明顯把實際問題與數(shù)學問題結(jié)合在一起.這種題目在很多試卷中都很常見，因此學生應當在生活中多關(guān)注數(shù)學問題，培養(yǎng)自己的數(shù)學思想.大多數(shù)教師在應用題的教學過程中忽略了題目的應用性，只考慮到了解題方法和步驟而就題論題，這就使得應用題失去了原本的趣味性.教師應當把生活作為一種數(shù)學教學的背景，充分體現(xiàn)數(shù)學來源于生活且應用于生活的特點，從而教會學生去聯(lián)系生活中的實際來解決數(shù)學應用題.

3.學會編題，提高綜合解題能力

高中生的學習任務繁重，細致地去做每道題的話會浪費不少時間和精力.學生在做題時也會由于存在畏難的心理而去選擇自己會做的題目來做，有難度的就放在一邊不想去理會，長此以往，即使有大量的習題練習，數(shù)學解題水平還是無法提高.在這種情況下，教師可以鼓勵學生去自主編題，為了讓學生有一套適合自己的復習資料，可以讓學生把自己不會做的題目和做錯的題目記在數(shù)學筆記本里.這種自主編寫錯題難題的學習應用題的方式在一定程度上可以有效地提高學生的綜合解題能力.在學生編寫應用題的過程中，教師可以引導學生根據(jù)自己的實際情況來編寫，還可以讓同學之間互相交換各自編寫的習題，一方面，可以幫助學生提高題庫含量，另一方面，可以讓別的學生審查題目的編寫是否嚴密.

我們以下面的題目為例來說明應用題目的編寫：如圖2所示，拋物線拱橋的頂部距離水面為2米時，水面寬4米，當水面下降1米時，問水面寬多少？

很明顯這個題目在于考查

學生對拋物線的性質(zhì)的掌握水平，學生可以以這個題目為基礎進行改編，并通過編題來提升自己的思維方式.教師在這一過程中也應當給予學生適當?shù)墓膭睿瑥亩鴣砑ぐl(fā)學生學習數(shù)學的積極性.由于應用題本身就是一種與實際相互聯(lián)系的題型，所以學生在編題的時候能夠發(fā)現(xiàn)很多平時做題沒有發(fā)現(xiàn)的問題，并且可以在很大程度上提高解題的規(guī)范性，并最終促進解題思維的成熟化.

綜上所述，在高中數(shù)學的學習中，數(shù)學應用題占有重要的地位，研究數(shù)學應用題的解題方法，不僅可以提高學生的數(shù)學成績，使學生加深對數(shù)學應用題的分析與理解，還能提高學生的數(shù)學思維與綜合能力，進而促進學生高中學習的全面發(fā)展.

圖2