☉江蘇省寶應(yīng)縣安宜高級中學(xué) 季 峰

2018年高考過后，數(shù)學(xué)風(fēng)云變幻，問題創(chuàng)新無限，原創(chuàng)名題如云，方法美不勝收，特別是一些難度不大的題目，有時也是耳目一新.例如2018年高考上海卷第8題，背景簡單，交匯合理，立意新穎，思想豐富，特別是題目巧妙設(shè)置有“靜”與“動”、“定值”與“最值”等矛盾的統(tǒng)一體，使得問題更有品味，破解難度不大，切入點(diǎn)也比較多，是高考眾多名題中的一大精品，具有非常好的學(xué)習(xí)、觀摩、研究、探究、拓展等價值.

一、問題呈現(xiàn)

【問題】（2018年上海卷8）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），E、F是y軸上的兩個動點(diǎn)，且最小值為______.

本題是以平面直角坐標(biāo)系為問題背景，借助點(diǎn)的坐標(biāo)、平面向量的坐標(biāo)表示、動點(diǎn)的特征、兩點(diǎn)間的距離公式、平面向量的數(shù)量積來共同構(gòu)造此題目，借助平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、線性運(yùn)算，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)或基本不等式等工具性的知識來確定相應(yīng)的最值問題.題目難度不大，但知識交匯與融合巧妙，拼湊合理有序，是一道考查知識與能力俱佳的題目.

二、多解思維

根據(jù)題意可設(shè)E（0，a），F(xiàn)（0，b），從而得出|a-b|=2，即a=b+2，或b=a+2，可求得將a=b+2代入上式即可求出的最小值；同理將b=a+2代入，也可求出的最小值.

解法1：根據(jù)題意，設(shè)E（0，a），F(xiàn)（0，b），a，b∈R，則

故答案為：-3.

根據(jù)題意可設(shè)E（0，t），F(xiàn)（0，t±2），根據(jù)對應(yīng)向量的坐

故答案為：-3.

根據(jù)題意取坐標(biāo)原點(diǎn)O，通過平面向量的線性運(yùn)算來轉(zhuǎn)化相應(yīng)的向量結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算得到利用來確定相應(yīng)的數(shù)量積取得最小值時必須使得E、F位于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩側(cè)，結(jié)合數(shù)量積的定義及基本不等式的應(yīng)用來確定相應(yīng)的最值問題.

故答案為：-3.

根據(jù)題意取坐標(biāo)原點(diǎn)O，通過平面向量的線性運(yùn)算來轉(zhuǎn)化相應(yīng)的向結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算得到過數(shù)形結(jié)合來直觀判斷當(dāng)E、F位于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩側(cè)，且當(dāng)1時取得最小值.

故答案為：-3.

總評：無論通過平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算還是線性運(yùn)算來切入，都離不開平面向量的數(shù)量積的定義或坐標(biāo)公式的轉(zhuǎn)化，為進(jìn)一步借助二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)或基本不等式來確定相應(yīng)的最值提供條件.特別在處理平面向量的數(shù)量積的最值時，二次函數(shù)與基本不等式是常見的兩類工具，有時還借助平面幾何圖形加以數(shù)形結(jié)合來直觀確定.

三、變式拓展

探究1：保留題目背景，改變原來在坐標(biāo)原點(diǎn)異側(cè)的點(diǎn)A、B的位置為同側(cè)，從而得以變式.

【變式1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），B（2，0），E、F是y軸上的兩個動點(diǎn)，且，則的最小值為______.

解析：根據(jù)題意2，設(shè)E（0，t），F(xiàn)（0，t±2），t∈R，

故答案為：1.

探究2：保留題目條件，改變其中兩動點(diǎn)的距離2為一般性的常數(shù)表示，從而得以變式.

【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），E、F是y軸上的兩個動點(diǎn)，且的最小值為______.

四、規(guī)律總結(jié)

其實(shí)，在平時解答數(shù)學(xué)問題時，要多加反思及總結(jié)，不能僅僅停留在問題破解的初級階段，還要進(jìn)一步認(rèn)真審題，看清問題的本源，回歸知識的本來面貌，剖析方法的多樣性與快捷性，這樣才能有助于我們更好地、更簡潔地解決問題，提升能力，培養(yǎng)素養(yǎng).正如羅增儒教授說過：“一旦獲解，就立即產(chǎn)生感情上的滿足，從而導(dǎo)致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯過了提高的機(jī)會，無異于入寶山而空返.”