☉江蘇省泰興中學 錢繼兵

解析幾何是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，其知識點覆蓋廣、綜合性強、典型問題多，對學生的數(shù)學運算和分析推理能力要求較高，本文將以一道解析幾何問題為例，探究其解析方法，并對其模型和原理進行提煉拓展，與讀者交流學習.

一、考題呈現(xiàn)

題目已知橢圓的解析式為3x2+y2=λ，點A，B是橢圓上的兩個點，而點N（1，3）是線段AB的中點，作線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C，D兩點.

（1）試確定參數(shù)λ的取值范圍，并求直線AB的方程；

（2）試判斷是否存在一定值λ，使得A，B，C，D四點在同在一個圓上？并寫出分析過程.

分析：本題目為直線、圓和橢圓相融合的解析幾何題，考查學生的基礎(chǔ)知識和分析推理能力，從知識領(lǐng)域來看，涉及代數(shù)和幾何兩大模塊，是知識綜合類考題的典型代表.在求解分析時需要基于幾何知識來構(gòu)建相應(yīng)的模型，并結(jié)合幾何性質(zhì)和代數(shù)方程來透視幾何結(jié)構(gòu)，尋求解答問題的思路.

二、思路探究

（1）第一問求解橢圓特征參數(shù)λ的取值范圍以及直線AB的方程，對于該問需要從題干中提煉出幾何的特征條件，主要有兩個：一是橢圓與AB所在的直線有A和B兩個交點，二是點N是線段AB的中點.由條件一設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立構(gòu)建方程組，則需要確保Δ＞0，而根據(jù)后一個條件則可以利用待定系數(shù)法化簡相關(guān)參數(shù)，構(gòu)建相應(yīng)的不等式.

設(shè)AB所在的直線方程為y=k（x-1）+3，與橢圓方程聯(lián)立可得：（k2+3）x2-2k（k-3）x+（k-3）2-λ=0 ①，設(shè)點A和點B的坐標分別為（x1，y1）和（x2，y2），則其中x1和x2就為方程①的兩個不同的根，所以滿足Δ＞0，即4［λ（k2+3）-3（k-3）2］＞0 ②，點N（1，3）為線段AB的中點，則x1+x2=2，同時聯(lián)立兩者可解得k=-1，所以直線AB的方程為y=-（x-1）+3，即x+y=4，而將k=-1代入②式，化簡后可得λ＞12，所以λ的取值范圍為（12，+∞）.

（2）第二問探究是否存在一個合適的值λ，使得A，B，C，D四點在同一個圓上，首先需要明確四點共圓需要滿足的條件，然后根據(jù)條件構(gòu)建相應(yīng)的求解模型.假設(shè)A，B，C，D四點可以在同一個圓上，則可能存在值λ，使得以A，C，D為頂點的三角形為特殊三角形，則其中必然存在對應(yīng)的幾何線段關(guān)系，因此只需要分析其合理性即可.

圖1

已知AB的垂直平分線為CD，則根據(jù)AB所在直線的方程可以得到CD所在直線的方程，即lCD：x-y=-2，將其與橢圓方程聯(lián)立，整理得4x2+4x+4-λ=0 ③，設(shè)點C和點D的坐標分別為（x3，y3）和（x4，y4），線段CD的中點為M（x0，y0），則其中x3，x4是③式的兩個根，即x3+x4=-1，而，點M的坐標滿足方程x-y=-2，可解得點M的坐標為于是利用弦長公式可求得|CD|=.同理聯(lián)立AB所在的直線方程與橢圓方程，可得 弦 長經(jīng) 分 析 可 知 當 λ ＞12時 ，，即|AB|＜|CD|.假設(shè)λ＞12時，A，B，C，D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.過點M作線段AB的垂線且垂足為點E，連接AM、BM，如圖2，由點到直線的距離公式可得|ME|根據(jù)幾何性質(zhì)可知△MEA為直角三角形，由勾股定理可得|ME|2+|AE|2=|AM|2，即此值恰好與故可知當λ＞12時，A、B、C、D四點共圓.

圖2

三、另解拓展

對于上述幾何與代數(shù)知識相結(jié)合的解析幾何問題，其解法思路是多樣的，除了可以沿用上述傳統(tǒng)的解法來探究外，也可以變換角度，從其他角度進行剖析，開展考題的多解探析對于考題的結(jié)構(gòu)認識和解題策略的積累是十分有利的，下面對其進行深入探析.

1.關(guān)于第一問

上述第（1）問是基于問題構(gòu)建的條件開展的思路探索，而求解AB所在的直線方程實際上就是求直線的斜率k，可以從直線斜率的定義出發(fā)來構(gòu)建求解模型.對于參數(shù)λ的取值范圍，則可以考慮從點在橢圓中的位置關(guān)系的角度來分析.

設(shè)點A和點B的坐標分別為（x1，y1）和（x2，y2），則線段AB的斜率可表示為，點A和點B均位于橢圓上，則必然滿足橢圓方程聯(lián)立兩者可變形為3又因為點N（1，3）是AB的中點，所以x1+x2=2，y1+y2=6，代入上式可解得kAB=-1，所以AB所在的直線方程為x+y=4.已知點N（1，3）在橢圓的內(nèi)部，則λ＞3×12+32=12，所以λ的取值范圍為（12，+∞）.

2.關(guān)于第二問

上述考題在求解第（2）問時，基于假設(shè)在圓內(nèi)構(gòu)建了特殊的三角形，根據(jù)勾股定理建立了關(guān)于線段長的代數(shù)模型，然后確立了四點共圓的合理性.對于該問還可以從向量角度入手，若A、B、C、D四點共圓，考慮到線段CD是AB的垂直平分線，則圓心必然位于線段CD上，從而以點A、C、D為頂點構(gòu)建的△ACD必然是直角三角形，且角A為直角，于是從向量角度出發(fā)有C■→A·D■→A=0，因此只需要結(jié)合已知條件對其加以驗證即可.

線段CD所在的直線方程為x-y=-2，線段AB所在的直線方程為x+y=4，分別與橢圓方程聯(lián)立可得4x2+4x+4-λ=0，4x2-8x+16-λ=0，由兩式可得經(jīng)計算可得所以可確定點A位于以CD為直徑的圓上，而點B是點A關(guān)于線段CD的對稱點，故也位于圓上.因此存在一定值λ，使得A，B，C，D四點在同一個圓上.

四、反思建議

四點共圓作為解析幾何中較為特殊的問題，其探究思路以及分析方法具有一定的代表性，即對于其中的幾何問題，除了需要充分利用題干中相關(guān)曲線的方程外，還需要利用幾何性質(zhì)構(gòu)建相應(yīng)的解析模型，最終通過證明模型中的特殊關(guān)系來確定四點共圓的合理性.因此該類問題求解的背后是數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透與應(yīng)用，在教學中需要指導(dǎo)學生掌握運用數(shù)形結(jié)合來解題的方法步驟，深刻理解該方法的思想內(nèi)涵，形成用數(shù)形結(jié)合解析問題的意識.

開展考題探究學習除了要掌握相應(yīng)的解題方法外，從考題中提煉相應(yīng)的解析模型也是其意義所在.如上述考題在探究四點共圓之后，對問題模型和方法原理都進行了提煉，并從中總結(jié)出一般四點共圓類問題的定理和推論，并將其拓展應(yīng)用到變式問題中，實現(xiàn)了同類型問題的高效求解.因此在平時的教學中，教師不應(yīng)局限于考題的方法講解，要注重對考題原理的提煉與拓展，指導(dǎo)學生提煉出解析模型，并對考題進行深度研究，力求實現(xiàn)“解一題，通一類”的教學目的，從本質(zhì)上提升學生的解題能力.