徐 凱 ，陶小會(huì) ，李 彪 ，何 坤

（1.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400044；2.重慶工商大學(xué)制造裝備機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與控制重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400067）

0 前言

誤差補(bǔ)償法是提高機(jī)床精度的主要方法之一，通過人為地制造一種新誤差去降低當(dāng)前的誤差，因其低成本、高通用性被廣泛應(yīng)用于機(jī)床制造業(yè)[1]。誤差補(bǔ)償以誤差模型為基礎(chǔ)，目前對機(jī)床誤差模型的研究主要分為誤差元素建模和機(jī)床空間誤差建模。誤差元素建模一般通過檢測、回歸得到機(jī)床各項(xiàng)誤差元素值的表達(dá)式；空間誤差建模基于運(yùn)動(dòng)學(xué)建模得到空間誤差與所有誤差元素之間的數(shù)學(xué)關(guān)系以表示機(jī)床的綜合誤差。五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)會(huì)極大復(fù)雜了誤差補(bǔ)償?shù)碾y度，需要在誤差元素模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行空間誤差建模[2]，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行補(bǔ)償?；诙囿w系統(tǒng)理論的機(jī)床空間誤差建模方法通用性較強(qiáng)，被國內(nèi)外學(xué)者廣泛采用。陳劍雄、付國強(qiáng)等[3-4]利用多體系統(tǒng)理論與齊次坐標(biāo)變換建立機(jī)床的空間誤差模型，并基于誤差微分運(yùn)動(dòng)對空間誤差模型進(jìn)行解耦補(bǔ)償。楊吉祥等[5-6]以旋量理論為數(shù)學(xué)工具建立基于全局坐標(biāo)系的五軸機(jī)床通用運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，簡化了建模難度；項(xiàng)四通等[7-9]應(yīng)用螺旋理論對五軸機(jī)床正運(yùn)動(dòng)學(xué)及逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行建模，有效地空間誤差進(jìn)行預(yù)測和補(bǔ)償。

綜合來看，五軸加工中心作為典型的五軸機(jī)床，針對其空間誤差建模及補(bǔ)償?shù)难芯恳演^為成熟，而蝸桿砂輪磨齒機(jī)與常見雙轉(zhuǎn)臺(tái)、雙擺頭五軸加工中心結(jié)構(gòu)存在差異，存在 X、Y、Z、A、B、C 共 6個(gè)運(yùn)動(dòng)軸。而目前針對蝸桿砂輪磨齒機(jī)空間誤差建模主要基于多體系統(tǒng)理論與齊次坐標(biāo)變換，涉及多個(gè)局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，過程較為復(fù)雜。本文基于螺旋理論，對數(shù)控蝸桿砂輪磨齒機(jī)進(jìn)行空間誤差建模，并在子問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，通過具體案例，驗(yàn)證了方法的正確和有效性。

1 基于螺旋理論的蝸桿砂輪磨齒機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

1.1 移動(dòng)副與轉(zhuǎn)動(dòng)副的旋量表示

旋量理論是研究空間機(jī)構(gòu)學(xué)非常重要的數(shù)學(xué)工具。剛體在三維空間的運(yùn)動(dòng)均可以表示為繞一軸線的旋轉(zhuǎn)和沿該軸的平移[10]，如圖1，速度旋量是含有速度幅值的旋量，是用以描述剛體關(guān)于旋量軸線的運(yùn)動(dòng)，如式1。

圖1 旋量軸線及螺旋運(yùn)動(dòng)速度場

式（1）中，w為軸線角速度、v為線速度，r為剛體上一點(diǎn)指向軸線的位置向量r=rp-ro，rp、ro分別表示固連在剛體上點(diǎn)P及軸線上點(diǎn)O的位置向量，h為旋量的旋矩，s為軸線向量。則剛體上任意點(diǎn)的速度可以分解為平行于軸線的分量hw及正交于軸線的分量 w ×（rp-ro）。

該運(yùn)動(dòng)變換群的李代數(shù)形式可用如下形式的矩陣表示：

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)可以由旋矩為零及旋矩?zé)o窮大的速度旋量來描述，如式（2）：

對于移動(dòng)軸，即w?=0時(shí)，

對于旋轉(zhuǎn)軸，即w?≠0 時(shí)，

螺旋理論在機(jī)器人領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，六軸蝸桿砂輪磨齒機(jī)與常見工業(yè)機(jī)器人結(jié)構(gòu)上存在相似點(diǎn)，由轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副組合而成，故本文基于螺旋理論對蝸桿砂輪磨齒機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)及空間誤差建模。

1.2 六軸蝸桿砂輪磨齒機(jī)空間誤差建模

蝸桿砂輪磨齒機(jī)床機(jī)構(gòu)如圖2所示。機(jī)床的主要運(yùn)動(dòng)包括三個(gè)直線軸（X、Y、Z軸）的直線運(yùn)動(dòng)和三個(gè)旋轉(zhuǎn)軸（A、B、C軸）的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。其中三個(gè)直線軸可確定砂輪的空間位置，A軸用于調(diào)整蝸桿砂輪的安裝角，加工過程中A軸保持不動(dòng)；B軸為蝸桿砂輪刀具的旋轉(zhuǎn)主軸，C軸為工件旋轉(zhuǎn)軸，三旋轉(zhuǎn)軸可確定砂輪于工件的空間相對姿態(tài)。

圖2 六軸蝸桿砂輪磨齒機(jī)結(jié)構(gòu)

對于旋轉(zhuǎn)軸：

C 軸：wC=[0 0 1]T，vC=rC× wC，ξC＝ [wCvC]T；

A 軸：wA=[1 0 0]T，vA=rA× wA，ξA＝ [wAvA]T；

B 軸：wB=[0 1 0]T，vB=rB× wB，ξB＝ [wBvB]T；

對于移動(dòng)軸：

X 軸：vX=[1 0 0]T，ξX=[0 vX]T；

Z 軸：vZ=[1 0 0]T，ξZ=[0 vZ]T；

Y 軸：vY=[1 0 0]T，ξY=[0 vY]T。

由Rodrigues方程，各軸的旋量運(yùn)動(dòng)對應(yīng)的矩陣為：

蝸桿砂輪磨齒機(jī)運(yùn)動(dòng)連可以分為刀具鏈（O-XZ-A-Y-B）與工件鏈（O-C）兩部分，整合兩運(yùn)動(dòng)鏈得到刀具-工件的運(yùn)動(dòng)連（C-X-Z-A-Y-B），用以描述刀具相對工件的相對位姿。此時(shí)，刀具-工件鏈的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解公式為

P0表示工件相對刀具的初始位姿，在描述刀具和工件的位姿變換關(guān)系時(shí)，對式（6）簡化，不考慮刀具-工件的初始位姿，有：

根據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，如表1，六軸蝸桿砂輪磨齒機(jī)共計(jì)41項(xiàng)幾何誤差元素，包含30項(xiàng)位置相關(guān)誤差及11項(xiàng)位置無關(guān)誤差（B軸為高精度電主軸，其誤差可忽略）。

表1 六軸蝸桿砂輪磨齒機(jī)的41項(xiàng)幾何誤差

以Y軸為例，Y軸的運(yùn)動(dòng)存在6項(xiàng)位置有關(guān)誤差及2項(xiàng)位置無關(guān)誤差，每一個(gè)誤差項(xiàng)均可以看作一個(gè)由旋量表示運(yùn)動(dòng)，相當(dāng)于在理論無誤差運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)在6個(gè)自由度方向上進(jìn)行了8項(xiàng)運(yùn)動(dòng)：

相同軸線上的指數(shù)積表達(dá)合并，進(jìn)一步簡化為6個(gè)運(yùn)動(dòng)方向的指數(shù)積分模型如式（9）。

同理可以得到X、Z、A、C軸的各軸誤差的旋量表示，如式10-13。

綜上，在考慮機(jī)床誤差元素的情況下，建立從C軸到B軸的變換作為描述機(jī)床的空間誤差模型，如式（14）：

2 六軸蝸桿砂輪磨齒機(jī)空間誤差模型解耦補(bǔ)償

2.1 Paden-Kahan子問題

在機(jī)床的空間誤差模型中，機(jī)床各軸的運(yùn)動(dòng)量與誤差元素間存在耦合，給機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆解造成一定的困難。在串聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)反向求解問題中，經(jīng)常利用剛體運(yùn)動(dòng)的某些特性消去耦合的運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)量以簡化求解過程。通?？梢詫⒄麄€(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解問題分解成多個(gè)解為已知的子問題，即Paden-Kahan子問題。本文空間誤差模型的反向求解需要基于兩類典型的子問題。

（1）子問題 1：SubProb-R（ξ，p，q）—繞某個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)

已知：單位運(yùn)動(dòng)旋量 ξ＝ [w r× w]T，p，q是空間兩點(diǎn)，求滿足條件 eθξ?p=q 的 θ。

圖 3 子問題 1：SubProb-R（ξ，p，q）

圖 4 子問題 2：SubProb-R（ξ1，ξ2，p，q）

（2）子問題 2：SubProb-RR（ξ1，ξ2，p，q）的特例—繞兩個(gè)相交軸的旋轉(zhuǎn)。

2.2 基于典型子問題的六軸蝸桿砂輪磨齒機(jī)空間誤差模型逆解

對于本文所示蝸桿砂輪磨齒機(jī)，刀具與工件的相對姿態(tài)由旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)決定。從機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)指數(shù)模型中提取旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)R表示刀具-工件的相對姿態(tài)。

（1）C軸求解

圖5 C軸運(yùn)動(dòng)量的求解

設(shè)qC為C軸線上一點(diǎn)，有同時(shí)定義為在垂直于轉(zhuǎn)軸 ξC的平面上的投影直接求解得到C軸運(yùn)動(dòng)量θC如式（16）。

（2）B軸求解

圖6 B軸運(yùn)動(dòng)量θB的求解

如圖 6，qA、qB為 A、B 軸上一點(diǎn)有表示為在垂直于 wB的平面的投影。令如圖 6，對 δ投影，得到 δ′，并且設(shè)為 θ0矢量與的之間的夾角，則，最終解得 θB，如式（17）。

（3）A軸求解

（4）平動(dòng)軸X、Y、Z軸求解

根據(jù)求得的旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)量代回到空間誤差模型中，可直接解線性方程求得平動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)量。

3 蝸桿砂輪磨齒機(jī)空間誤差補(bǔ)償案例

基于文獻(xiàn)[11]誤差元素模型及辨識(shí)結(jié)果，驗(yàn)證本文補(bǔ)償方法。以空間誤差綜合模型與理論無誤差模型的數(shù)值之差作為誤差評判標(biāo)準(zhǔn)，分別得到姿態(tài)誤差與位置誤差，采用本文補(bǔ)償方法，求解補(bǔ)償值帶入模型，得到新的姿態(tài)誤差與位置誤差，結(jié)果如圖8所示。顯然，采用補(bǔ)償方法后，位置誤差明顯減小，而姿態(tài)誤差在補(bǔ)償后減小不明顯，究其原因，一方面由于誤差初值較小，能夠進(jìn)一步減小的空間較小，另一方面，采用本文方法針對姿態(tài)矩陣的求解是近似解析法，存在原理誤差，若要進(jìn)一步提高精度，需要進(jìn)行迭代進(jìn)行多次求解。

圖8 補(bǔ)償前后姿態(tài)誤差與位置誤差

4 結(jié)束語

多軸機(jī)床的空間誤差補(bǔ)償因其各軸運(yùn)動(dòng)與誤差間存在耦合關(guān)系，造成補(bǔ)償困難，對各軸進(jìn)行單一的誤差補(bǔ)償效果往往不好。本文以六軸數(shù)控蝸桿砂輪磨齒機(jī)為例，基于螺旋理論建立建立了蝸桿砂輪磨齒機(jī)空間誤差并進(jìn)行解耦補(bǔ)償。

（1）基于螺旋理論，對蝸桿砂輪磨齒機(jī)各移動(dòng)副與轉(zhuǎn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述。

（2）建立了基于螺旋理論的空間誤差綜合模型，與傳統(tǒng)基于齊次坐標(biāo)變換方法相比，不需要建立各部件的局部坐標(biāo)系，簡化了建模難度及工作量。

（3）根據(jù)Paden-Kahan子問題對各軸補(bǔ)償量進(jìn)行分步求解計(jì)算，實(shí)現(xiàn)了六軸蝸桿砂輪磨齒機(jī)空間誤差的有效補(bǔ)償。