蘇保金 姜子文

( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,250358,濟(jì)南 )

1 引 言

本文考慮如下的二維粘性波動(dòng)方程

Dutt-BΔut-Δu+Aut=f(x,y,t,u),

其中,D,B,A是常系數(shù),f為外力.

粘性波動(dòng)方程描述了很多物理問(wèn)題,如粘性介質(zhì)中聲波的傳播,微尺度熱量傳播,流體中顆粒的隨機(jī)移動(dòng)等問(wèn)題.目前,粘性波動(dòng)方程的數(shù)值求解方法已經(jīng)有不少,最具代表性的是差分方法和有限體積元方法,其目的都是建立適用于該問(wèn)題的高效的數(shù)值求解格式.Dai[1]對(duì)于一維熱傳導(dǎo)方程給出了緊致差分格式.謝建強(qiáng)[2]則對(duì)一維粘性波動(dòng)方程給出了一種三層緊致差分格式.Zhang J和Harfash A J[3,4]則針對(duì)類似的高維問(wèn)題給出了高精度有限差分方法.王同科和高理平[5,6]則對(duì)二維問(wèn)題分別給出了有限體積元和有限元方法.

本文通過(guò)Taylor展式得到二維擬線性粘性波動(dòng)方程關(guān)于時(shí)間二階的格式，再通過(guò)作用緊算子得到該方程關(guān)于空間四階的緊致差分格式.數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的精度和有效性.

2 格式構(gòu)造

本文考慮如下的二維粘性波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題

(1)

其中,Δ表示Laplace算子,Ω表示二維有界軸平行區(qū)域,?Ω表示區(qū)域Ω的邊界,T,D,B,A為正常數(shù),u為待求函數(shù),f,u0,u1為已知函數(shù).

引入下列記號(hào)

在點(diǎn)(xi,yj,tn)處運(yùn)用中心差分法離散時(shí)間導(dǎo)數(shù),由Taylor展開可知

(2)

其中

在剖分網(wǎng)格上定義兩個(gè)緊差分算子

則由Taylor展開可知

其中

在等式(2)兩端同時(shí)作用算子Ax和Ay,且兩個(gè)算子是可交換的,最終得到

(3)

其中

(4)

3 數(shù)值算例

本節(jié)將給出具體算例說(shuō)明格式(4)的有效性.

例1系數(shù)A,B,D都取1，空間剖分步長(zhǎng)hx=hy=h.精確解u=t10sin(πx)sin(πy),源項(xiàng)

f=(90t8+20π2t9+10t9+2π2t10)sin(πx)sin(πy)-(t10sin(πx)sin(πy))2+u2.

計(jì)算采用Matlab語(yǔ)言進(jìn)行編程,Einf表示最大模誤差,EL2表示離散的L2模誤差.計(jì)算T=1時(shí)的空間收斂階,計(jì)算結(jié)果如表1所示.

表1 T=1時(shí)，最大模誤差與L2模誤差

例2系數(shù)A=π2,B=2,D=2π2，空間剖分步長(zhǎng)hx=hy=h.精確u=t5sin(πx)sin(πy),源項(xiàng)f=(40π2t3+20π2t4+2π2t5+5π2t4)sin(πx)sin(πy)-(t5sin(πx)sin(πy))2+u2.

計(jì)算采用Matlab語(yǔ)言進(jìn)行編程,Einf表示最大模誤差,EL2表示離散的L2模誤差.計(jì)算T=1時(shí)的空間收斂階,計(jì)算結(jié)果如表2所示.

表2 T=1時(shí)的空間收斂階

我們從給出的數(shù)值算例可以看出,對(duì)于不同的空間步長(zhǎng)，空間誤差階達(dá)到了四階,證明了格式的有效性.我們通過(guò)數(shù)值算例也可以看出對(duì)于不同大小的常系數(shù),格式是無(wú)條件穩(wěn)定的.