殷 森， 趙 波， 李 瑜

(河南理工大學(xué) 機械與動力工程學(xué)院,河南 焦作 454000)

隨著現(xiàn)代工業(yè)的高速發(fā)展，高硬脆材料在航空航天、醫(yī)療、武器裝備制造等諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，而超聲振動加工在加工多種硬脆材料時，均表現(xiàn)出加工效率高、表面質(zhì)量良好等優(yōu)勢，而二維復(fù)合振動加工更是可極大提升單向振動加工的加工質(zhì)量[1]。復(fù)合振動模式主要有縱彎復(fù)合、扭彎復(fù)合[2]、縱扭復(fù)合[3]、雙彎曲復(fù)合[4]及徑扭復(fù)合[5]等。目前，實現(xiàn)縱扭復(fù)合超聲振動的輸出裝置有兩類：①利用縱-扭超聲換能器實現(xiàn)系統(tǒng)的復(fù)合振動，如通過使用兩組不同極化方向的壓電陶瓷，組成縱-扭復(fù)合振動換能器[6]、通過軸向磁致伸縮輸出扭轉(zhuǎn)振動的換能器[7]和通過合理布置傾斜壓電陶瓷的換能器[8]；②在變幅桿上設(shè)計“模式轉(zhuǎn)換器”的結(jié)構(gòu)，對系統(tǒng)輸出的超聲振動進行轉(zhuǎn)換與復(fù)合，如螺旋溝槽式變幅桿[9]、斜槽式變幅桿[10-12]、榫卯式變幅桿[13]。

對于螺旋溝槽式變幅桿，其扭轉(zhuǎn)振動分量較高，縱-扭復(fù)合振動輸出穩(wěn)定[14]，但是影響縱-扭復(fù)合振動輸出的結(jié)構(gòu)參數(shù)眾多，縱-扭模型的建立較為困難，對輸出參數(shù)無法實現(xiàn)較為精確的確定與控制，在實際應(yīng)用中有較大的局限性。本文利用理論推導(dǎo)、有限元分析與實驗驗證相結(jié)合的方法，設(shè)計了螺旋溝槽式縱-扭復(fù)合超聲振動加工系統(tǒng)，并分析了螺旋溝槽參數(shù)對縱向振動分量與扭轉(zhuǎn)振動分量比例的影響，從而優(yōu)化溝槽參數(shù)，為縱-扭復(fù)合超聲加工系統(tǒng)的設(shè)計提供了重要的理論支持。

1 超聲波在螺旋溝槽結(jié)構(gòu)中的傳播特性

1.1 螺旋溝槽處反射橫波的存在性

在一圓錐形傳振桿側(cè)面上均勻開設(shè)螺旋溝槽，溝槽的長度為傳振桿母線長度，結(jié)構(gòu)如圖1所示。聲波由傳振桿L面?zhèn)鬟f到傳振桿T面過程中，在溝槽處發(fā)生波的反射。溝槽的邊界是一條螺旋線，選取其上極小的一段dx，將其視為直線段，在此位置建立坐標(biāo)系，設(shè)半無限彈性介質(zhì)的自由界面為yoz面，z軸與紙面垂直。假定yoz面的右邊為真空，不存在振動傳播的介質(zhì)，即全部入射波在界面上均被反射，無需考慮波的透射，建立如圖2的坐標(biāo)系。設(shè)入射平面簡諧縱波S1為拉伸波，既是質(zhì)點的運動方向與波的前進方向相反。

圖1 螺旋溝槽傳振桿結(jié)構(gòu)

圖2 平面縱波在自由面的反射

波動方程式

(1)

由波動方程式(1)可知，入射縱波S1的質(zhì)點的位移表達式為[15]

(2)

式中：A1為入射縱波的振動幅值;ω為入射縱波的圓頻率;φ1為入射縱波的入射角;vp為入射縱波的波速。

U1=A1sin(ωt+m1x+n1y)

(3)

則縱波S1的質(zhì)點的矢量方向上的位移為

u1x=U1cosφ1

(4)

u1y=U1sinφ1

(5)

假設(shè)縱波S1與自由界面的作用只產(chǎn)生反射縱波S2，則反射縱波S2的位移表達式為

U2=A2sin(ωt-m2x+n2y+ψ1)

(6)

(7)

式中：m2的負(fù)號表示反射縱波相對x軸為正向傳播；Ψ1為相位改變，為一常數(shù)；φ2為反射波的反射角。

反射縱波中質(zhì)點的位移分量為

u2x=-U2cosφ2

(8)

u2y=U2sinφ2

(9)

在自由界面上有入射縱波及反射縱波耦合的位移，只考慮反射縱波時

ux=u1x+u2x

(10)

vy=v1y+v2y

(11)

自由界面應(yīng)力為0，即位移不受約束時，在x=0平面上，任意y與t均有

σx=τxy=τxz=0

(12)

由幾何方程及廣義方程的胡克定律可得

(13)

(14)

(15)

可知，質(zhì)點的位移函數(shù)與z無關(guān)，在z方向的位移分量w=0。

將式(2)～式(12)代入式(13)～式(15)可得

(16)

(17)

當(dāng)y取任意值時，均要保證式(16)成立，則須滿足式(18)、式(19)。

n1=n2

(18)

ψ1=0，A1=-A2或ψ1=π，A1=A2

(19)

由式(18)、式(19)可知，平面簡諧縱波在經(jīng)過溝槽結(jié)構(gòu)的反射之后，位移相位發(fā)生了改變，變化量為π。但是， 若將(18)、式(19)代入到式(17)，式(17)卻不成立。即說明，平面簡諧縱波經(jīng)過自由界面的反射之后，若僅存在一反射縱波，則不能同時滿足邊界上剪應(yīng)力和正應(yīng)力同時為0的條件，必然也存在反射橫波。

1.2 螺旋溝槽結(jié)構(gòu)的振型轉(zhuǎn)換

結(jié)合傳振桿剛度要求及機械加工難度，將螺旋溝槽設(shè)計成漸變式，溝槽的切口形狀為類梯形，溝槽所包絡(luò)為一圓柱，是實心部分，如圖3所示。

圖3 螺旋溝槽切口形狀

因縱波在空氣中傳播發(fā)生了較大的能量損耗，所以當(dāng)縱波傾斜入射螺旋溝槽時，只考慮反射縱波和反射橫波的影響，忽略二次折射所產(chǎn)生的影響[16-17]。在圖1的坐標(biāo)系中，縱波產(chǎn)生的縱向慣性力F在溝槽所包絡(luò)實心圓柱中的力F1將繼續(xù)沿縱向傳遞；在螺旋溝槽結(jié)構(gòu)部分截面上的力F2沿溝槽旋轉(zhuǎn)方向，與F成θ夾角，而F2將分解成兩部分：縱向作用力分量F2L及剪切作用力分量F2T，其中縱向作用力分量沿著傳振桿軸線方向；關(guān)于剪切作用力分量，在截面上任一點的剪切作用力分量垂直于半徑的方向，由剪切作用力分量產(chǎn)生的總力矩是所有剪切作用力在整個截面上扭矩的積分。

由圖4可知，這兩個力分量大小可由下式給出

圖4 縱波在螺旋溝槽中的分解

(20)

F2T=F2sin(θ)

(21)

式中:θ為螺旋溝槽的螺旋角。

根據(jù)振動系統(tǒng)的縱向振動及扭轉(zhuǎn)振動理論，縱向力將驅(qū)使傳振桿產(chǎn)生縱向振動，而剪切作用力將驅(qū)使傳振桿產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動。剪切作用力產(chǎn)生的扭矩M可以表示為：

(22)

由圖3可知，傳振桿任意橫截面面積s為

(23)

式中:r為傳振桿任意橫截面的截面半徑;r1為實心部分，即傳振桿小端半徑；α1為相鄰溝槽間未切除部分對應(yīng)的圓心角;α2為溝槽部分對應(yīng)的圓心角。

(24)

傳振桿任意橫截面上的剪切作用力f為

(25)

將式(24)、式(25)式代入(26)可以得到

(26)

式中,傳振桿大端端面半徑為r2。

化簡并求得

(27)

故由于螺旋溝槽的存在， 可使單向模態(tài)的縱向振動激勵實現(xiàn)超聲縱-扭復(fù)合振動的輸出。

2 縱-扭復(fù)合超聲變幅桿的設(shè)計

2.1 螺旋溝槽變幅桿的設(shè)計

為了同時獲得較大的放大系數(shù)和形狀因素，設(shè)計長度為二分之一波長，過渡段為圓錐形的階梯型復(fù)合變幅桿[18]。如圖5所示，各截面的振動位移微分方程可由式(28)表示，各截面面積方程可表示為S(x)=S1，S(x)=S2(x)，S(x)=S3其中S2(x)是圓錐形的截面積，由截面的波動方程

圖5 復(fù)合變幅桿結(jié)構(gòu)

(28)

式中：k=ω2/c2，k為圓波數(shù)；ω為圓頻率；c為縱波在細(xì)棒中的傳播速度。

設(shè)計工作頻率35 kHz，變幅桿材料選用疲勞強度較高且易加工、價格低廉的45#鋼，設(shè)變幅桿大端半徑R1=15 mm，小端半徑R2=6 mm。經(jīng)計算得L1=30 mm，L2=35 mm，L3=17 mm，放大倍數(shù)m=3.6。

在變幅桿圓錐段均勻開設(shè)四條槽寬為d=8 mm，槽深為h=7.5 mm的螺旋溝槽，槽形結(jié)構(gòu)如上文所示。開設(shè)溝槽后，變幅桿的質(zhì)量及振型均發(fā)生變化，其諧振頻率相對開設(shè)前有少量偏移，對變幅桿的結(jié)構(gòu)尺寸微調(diào)以減小其頻率偏移。利用三維建模軟件PRO-E對變幅桿進行建模，導(dǎo)入有限元分析軟件ANSYS中，對其進行模態(tài)分析[19]。網(wǎng)格劃分時選取20個節(jié)點的solid95單元，采用自由網(wǎng)格劃分，設(shè)精度等級為4，模態(tài)分析提取方法為Subspace，模態(tài)拓展階數(shù)為10，模態(tài)搜索設(shè)置范圍為30～40 kHz，分析結(jié)果如圖6所示。

圖6 螺旋溝槽變幅桿的模態(tài)分析

通過模態(tài)分析的振型向量圖可知，螺旋溝槽結(jié)構(gòu)對變幅桿的振型進行了轉(zhuǎn)換，從而使變幅桿輸出縱-扭復(fù)合振動，與理論推導(dǎo)結(jié)果相吻合。

2.2 扭縱轉(zhuǎn)換比的優(yōu)化調(diào)整

超聲縱扭復(fù)合加工系統(tǒng)的振動軌跡是一個橢圓，不同的扭縱轉(zhuǎn)換比e對橢圓的形狀具有一定的調(diào)整，從而適應(yīng)不同的超聲加工應(yīng)用場合。定義變幅桿端面上不在軸線上的任意點P的扭轉(zhuǎn)振動位移Un與縱向振動位移Uz之比為扭縱轉(zhuǎn)換比e，即:

e=Un/Uz

(29)

由式(27)可知，切向力產(chǎn)生的扭矩M與眾多參量相關(guān)：縱向慣性力F由縱振換能器提供，為定值；r1、r2為復(fù)合變幅桿尺寸，也為確定值。

由圖1可知，α1、α2與螺旋溝槽的槽寬d及槽深h相關(guān)，故扭矩M與溝槽角度θ、溝槽槽寬d及槽深h等變量相關(guān)，即扭縱轉(zhuǎn)換比e與此三個因素的取值有關(guān)。

對于螺旋溝槽變幅桿，其輸出的振動為縱-扭復(fù)合振動，模態(tài)分析中相對位移值是復(fù)合振動中各個振動方向相對位移值的耦合，文中所定義的放大倍數(shù)m是變幅桿輸出端的相對位移值U3與輸入端的相對位移值U4的比值。

m=U3/U4

(30)

采用單因素變量分析方法，分別改變螺旋溝槽角度θ、溝槽槽寬d及槽深h，對變幅桿進行模態(tài)分析，提取相同縱-扭復(fù)合振動模態(tài)，變幅桿放大倍數(shù)m隨溝槽角度θ、溝槽槽寬d及槽深h變化曲線,如圖7所示。

圖7 螺旋溝槽參數(shù)對變幅桿放大倍數(shù)m的影響

由圖7可知，螺旋溝槽角度θ、溝槽槽寬d及槽深h的改變對螺旋溝槽式變幅桿的變幅桿放大倍數(shù)m基本沒有影響。

模態(tài)分析中顯示的位移不是絕對位移，采用相對位移代替絕對位移，從而確定變幅桿的扭縱轉(zhuǎn)換比e。扭縱轉(zhuǎn)換比e隨螺旋溝槽角度θ、溝槽槽寬d及槽深h變化曲線,如圖8所示。

由圖8可知，扭縱轉(zhuǎn)換比e隨螺旋角度的增大而先增大后減小，并在角度為40°時達到扭縱轉(zhuǎn)換比e的峰值。轉(zhuǎn)換比e隨螺旋溝槽的槽深h的增大而增大；當(dāng)槽寬d增加時，扭縱轉(zhuǎn)換比e有少量的增加。

結(jié)合圖7結(jié)論可知，螺旋溝槽結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對振動的“總量”基本沒有改變，只是改變了縱向振動向扭轉(zhuǎn)振動的轉(zhuǎn)換比例?；诼菪郎喜蹍?shù)對扭縱轉(zhuǎn)換比e的影響規(guī)律，通過優(yōu)化螺旋溝槽的各個參量，得到符合設(shè)計要求的縱扭轉(zhuǎn)換比：槽深h的增加會使扭轉(zhuǎn)分量增大，但過大的h會降低變幅桿的剛性及強度；過小的螺旋角度θ使溝槽的螺距變小，會造成變幅桿應(yīng)力集中問題。根據(jù)設(shè)計要求，結(jié)合機械加工難度，綜合考慮以上因素，將螺旋溝槽參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 螺旋溝槽參數(shù)的設(shè)置

圖8 螺旋溝槽參數(shù)對扭縱轉(zhuǎn)換比e的影響

Fig.8 Influence of the helical slots parameters on the torsional-longitudinal conversion ratioe

在此參數(shù)下，縱扭變幅桿的扭縱轉(zhuǎn)換比e為0.61。

2.3 縱-扭復(fù)合超聲變幅桿的動力學(xué)分析

瞬態(tài)動力學(xué)分析稱作時間歷程分析，是確定固體結(jié)構(gòu)在承受隨時間變化的載荷時的動力學(xué)響應(yīng)。而超聲波電源是將交流電轉(zhuǎn)換成超聲頻的簡諧振動信號，因此對設(shè)計的螺旋溝槽變幅桿在簡諧電壓激勵作用時進行瞬態(tài)動力學(xué)分析，以得到變幅桿輸出端X、Y、Z方向位移的大小。

在變幅桿大端節(jié)面輸入正弦縱波激勵信號為5×sin(2πf×TIME)，工作頻率為35 kHz。取20個周期，每個周期分為30個時間段，通過ANSYS有限元分析軟件進行求解，圖9是變幅桿輸出端圓周上質(zhì)點P在X、Y、Z方向的位移-時間曲線，由圖9可知，質(zhì)點P的三個方向都產(chǎn)生了位移，且X、Y、Z方向的位移均呈現(xiàn)出正弦規(guī)律變化。Y方向沿變幅桿軸線，為縱向振動方向，X方向及Z方向為縱向振動的垂直方向，兩個方向的振動耦合成了變幅桿的扭轉(zhuǎn)振動。

利用origin軟件對三個方向的位移數(shù)據(jù)進行擬合，獲得質(zhì)點P的運動軌跡曲線,如圖10所示。該質(zhì)點P在一個周期內(nèi)的運動軌跡為一段螺旋曲線，即變幅桿實現(xiàn)了二維縱-扭復(fù)合振動的輸出。

3 試驗分析

3.1 阻抗特性試驗研究

機械加工出前文設(shè)計的螺旋溝槽式縱-扭變幅桿，

圖9 質(zhì)點P在X、Y、Z方向的位移-時間曲線

Fig.9 The displacement-time curve of the particlePin theX,Y, andZdirections

圖10 質(zhì)點P在一個周期內(nèi)的運動軌跡

將縱-扭變幅桿與縱振超聲換能器相連，采用型號為PV70A阻抗分析儀對所加工后縱-扭超聲振子進行阻抗分析，阻抗測試現(xiàn)場如圖11所示。測試結(jié)果如圖12所示。由圖12可知，變幅桿實測諧振頻率與模態(tài)分析得到的頻率有500 Hz的誤差，究其原因有二：①有限元仿真定義的材料是均勻的，而實際制作變幅桿的材料均勻性不足，存在或多或少的缺陷；②機械加工的變幅桿結(jié)構(gòu)與有限元仿真時所用的三維模型有一定的出入。但誤差在可接受范圍內(nèi)。變幅桿導(dǎo)納圓圓度較好，電導(dǎo)曲線正常,如圖12所示。變幅桿的機械品質(zhì)因數(shù)較高，即其電聲轉(zhuǎn)化效率高，說明所設(shè)計變幅桿的尺寸及其結(jié)構(gòu)均較為合理。

圖11 阻抗分析現(xiàn)場

圖12 阻抗分析結(jié)果

3.2 振幅特性試驗研究

采用自行設(shè)計的型號為Z16的超聲電源對縱-扭振子進行激勵。變幅桿輸出端的是縱-扭復(fù)合振動，其輸出端面的縱向振幅是均勻的，而變幅桿小圓柱端不同直徑的同心圓的上的扭轉(zhuǎn)振幅是不一樣的。所以對變幅桿端面加工出一個微小臺階，如圖13所示。

圖13 變幅桿的加工形狀

前文中有限元分析中質(zhì)點P距變幅桿變幅桿軸線距離為6 μm，在變幅桿加工出的臺階上確定測定點P′，點P′與點P在同一圓周上。通過高精度的KEYENCE LK-G10激光位移傳感器對系統(tǒng)振幅展開測試，采用兩個激光發(fā)射器對系統(tǒng)的縱向振幅與扭轉(zhuǎn)振幅進行同時測試，對于縱向振幅，將激光束集中在變幅桿端面某點以測定縱向振幅Un，將另一激光束集中在測定點P′處以測定扭轉(zhuǎn)振幅Uz。針對每個方向，均在系統(tǒng)穩(wěn)定工作十分鐘后，每隔三分鐘進行一次測試，共測試十次，取十次測試結(jié)果平均值作為該方向振幅值。測試現(xiàn)場如圖14所示。測試結(jié)果如圖15及圖16所示。

縱-扭復(fù)合振動系統(tǒng)的縱向振幅為Uz=7.2 μm，扭轉(zhuǎn)振幅為Un=4.8 μm。變幅桿輸出端質(zhì)點P′的扭-縱轉(zhuǎn)換比

e=Un/Uz=4.8/7.2=0.65

(31)

與有限元分析所得扭-縱轉(zhuǎn)換比e的仿真結(jié)果基本一致。

4 結(jié) 論

本文結(jié)合理論推導(dǎo)及有限元分析，設(shè)計出螺旋溝槽式縱-扭變幅桿，并加工出實體進行實驗分析，實現(xiàn)對

圖14 振幅測定現(xiàn)場

圖15 縱向振幅

圖16 扭轉(zhuǎn)振幅

復(fù)合振動中縱扭振動分量的精確控制，進一步影響輸出端的運動軌跡，從而滿足不同加工場合所需的不同橢圓振動模式，得出以下結(jié)論：

(1) 基于簡諧波傳動理論，論證了螺旋溝槽處反射橫波的存在性，推導(dǎo)了螺旋溝槽結(jié)構(gòu)的振型轉(zhuǎn)換機理，并利用模態(tài)分析結(jié)果進行驗證。

(2) 結(jié)合模態(tài)分析結(jié)果，揭示了螺旋溝槽角度θ、溝槽槽寬d及槽深h對扭縱轉(zhuǎn)換比e的影響規(guī)律，以此優(yōu)化螺旋溝槽參數(shù)，實現(xiàn)了對縱-扭復(fù)合振動中扭縱轉(zhuǎn)換比e的確定與控制，并利用諧響應(yīng)分析擬合出變幅桿輸出端的振動軌跡。

(3) 加工出實體變幅桿，通過阻抗分析表明其尺寸及結(jié)構(gòu)設(shè)計合理性，并將變幅桿端面進行加工，利用激光位移傳感器測量出縱向振幅與扭轉(zhuǎn)振幅，驗證了有限元分析得出的扭縱轉(zhuǎn)換比的正確性。