劉東東， 程衛(wèi)東， 溫偉剛

(北京交通大學 機械與電子控制工程學院， 北京 100044)

滾動軸承是旋轉(zhuǎn)機械最關(guān)鍵的部件之一，由于其常處于變載荷﹑變轉(zhuǎn)速的工況中，工作環(huán)境惡劣，極易發(fā)生故障[1-2]。階比跟蹤技術(shù)是最常用的處理時變工況下振動信號的方法[3]。階比分析中鑒相時標的確定需要轉(zhuǎn)速信息，轉(zhuǎn)速可以通過轉(zhuǎn)速計測取，也可以在信號中提取[4]。由于測取轉(zhuǎn)速受到安裝成本以及安裝空間的限制，如何提取轉(zhuǎn)速引起學者的研究。文獻[5]提出了基于多尺度線調(diào)頻基的稀疏信號分解方法，自適應地選取適當尺度對振動信號投影分解，提取齒輪包絡信號的瞬時頻率。但是處理滾動軸承振動信號時，高幅值的故障特征頻率(Fault Characteristic Frequency, FCF)會干擾轉(zhuǎn)頻的提取。文獻[6]使用FCF代替轉(zhuǎn)頻對信號重采樣，根據(jù)故障特征階比模板判斷軸承故障。文獻[7]根據(jù)估計轉(zhuǎn)頻的范圍構(gòu)造一組帶通濾波器對特征頻率進行濾波，根據(jù)依靠等效轉(zhuǎn)頻采樣得到的故障相角域判斷軸承狀態(tài)。雖然根據(jù)等效轉(zhuǎn)頻進行階比分析可以恢復信號的周期性，但是等角度重采樣過程復雜，計算效率較低[8]。文獻[9]也證明階比分析存在包絡畸變現(xiàn)象。

廣義解調(diào)時頻分析算法[10]可以將時頻分布為傾斜、非線性的頻率分量轉(zhuǎn)換成平行于時間軸的頻率。由于其非常適用于處理非穩(wěn)態(tài)的調(diào)幅-調(diào)頻信號，已經(jīng)開始應用于振動信號的處理。文獻[11]使用廣義解調(diào)時頻分析，將齒輪振動信號分解為若干個單分量信號，再對各個單分量信號進行包絡分析，得到包絡階次譜。文獻[12]通過對齒輪振動信號進行基于多尺度線調(diào)頻基的稀疏信號分解，估計嚙合頻率，再對信號進行廣義解調(diào)和FFT變換，得到齒輪的FCF。然而，在軸承的振動信號中，由于調(diào)制轉(zhuǎn)頻分量太小，因此很難直接提取，用于估計相位函數(shù)。文獻[13]將廣義解調(diào)算法應用到滾動軸承的故障診斷中，但是相位函數(shù)的估計以實測轉(zhuǎn)速為基礎，在實際工況中，會受到安裝成本以及安裝位置的制約，此算法的應用也會受到限制。

從以上分析可知，以階比分析為基礎的軸承故障診斷法會有效率以及誤差等問題，而廣義解調(diào)算法的使用會依賴轉(zhuǎn)速計等輔助設備。當工況變化時，軸承故障引起的高頻共振不僅會調(diào)制FCF，而且FCF也會調(diào)制轉(zhuǎn)頻。因此，理論上在包絡時頻譜(Time-Frequency Representation, TFR)中會有轉(zhuǎn)頻分量，但是，轉(zhuǎn)頻的幅值一般較小，很難直接提取[14]。瞬時故障特征頻率(Instantaneous Fault Characteristic Frequency, IFCF)具有幅值優(yōu)勢[15]，一般容易提取。文獻[16]提出了線調(diào)頻小波路徑追蹤(Chirplet Path Pursuit, CPP)算法，該算法與常用提取頻率的峰值搜索算法相比，抗噪聲能力強，擬合精度較高。文獻[17]使用CPP算法估計齒輪嚙合倍頻和軸承IFCF，判斷含有齒輪振動下的軸承運行狀態(tài)。文獻[18]根據(jù)CPP算法估計的IFCF和轉(zhuǎn)頻對應關(guān)系，判斷軸承故障位置，但是該算法以實測轉(zhuǎn)速為參考。

本文利用CPP算法的優(yōu)良特性，使用該算法在降采樣的包絡信號中估計IFCF趨勢線，據(jù)此計算IFCF的相位函數(shù)。然而，僅僅依靠IFCF在解調(diào)頻譜中的峰值，無法判斷故障位置，甚至出現(xiàn)誤判。為此，本文利用估計的IFCF，根據(jù)軸承各部分故障特征因子，采用重復估計轉(zhuǎn)頻的方式，計算潛在的轉(zhuǎn)頻。根據(jù)IFCF和轉(zhuǎn)頻的相位函數(shù)，構(gòu)造逐步解調(diào)濾波算法，對信號各頻率進行逐步解調(diào)和濾波。通過對仿真信號和試驗信號的處理，證明了該算法的有效性。

1 算法部分

為了在不使用轉(zhuǎn)速測量設備的情況下，對軸承故障位置進行辨別，應對軸承信號的特點進行分析，以提取必要瞬時頻率，估計相位函數(shù)。若滾動軸承出現(xiàn)局部故障，故障點與配合面會形成一系列沖擊，該沖擊會激起系統(tǒng)的高頻共振。轉(zhuǎn)速不變時，沖擊間隔相等，間隔的倒數(shù)就是故障特征頻率[19]。理論上FCF只與轉(zhuǎn)速、故障位置和軸承參數(shù)相關(guān)，外圈、內(nèi)圈和滾珠存在故障時的故障特征頻率fo,fi和fb的公式

(1)

(2)

(3)

式中:fr為轉(zhuǎn)速，N為滾動體個數(shù)，D為節(jié)圓直徑，d為滾動體直徑，φ為接觸角。

1.1 線調(diào)頻小波路徑追蹤

CPP算法是近年提出的一種檢測瞬時頻率的算法, 它的原理是將信號劃分為一系列的動態(tài)時間支撐區(qū)，從建立的Chirplet原子庫中，按照相關(guān)性最大的原理，選擇各支撐區(qū)間的原子，根據(jù)最佳路徑連接原則對選定原子進行連接，依據(jù)各個支撐區(qū)間的原子的頻率估計信號的瞬時頻率。

建立Chirplet原子庫

(4)

式中:I為動態(tài)時間支撐區(qū)間，I=[kN2-j,(k+1)N2-j]×Δt；k為區(qū)間的序號，k=0,1,…,2j-1；N為采樣長度；j為區(qū)間尺度系數(shù)，j=0,1,…,log2N-5；1I(t)為矩形窗函數(shù)，即t∈I時，1I(t)=1；t?I時，1I(t)=0；aμ為線調(diào)頻小波的調(diào)頻率系數(shù)；bμ為頻率的偏置系數(shù)；按照采樣定理，aμt+bμ應小于fs/2.

定義信號的chirplet變換為信號與原子庫中所有原子的內(nèi)積

(5)

式中：t=n×Δt，n為t時刻點數(shù)，Δt為采樣時間間隔。

在原子庫中挑選一組原子進行連接，使分析信號y(t)在時間支撐區(qū)I上的具有最大投影系數(shù)

(6)

設時間支撐區(qū)I內(nèi)的最大投影系數(shù)kI表示的信號分量為dI(t)

dI(t)=|kI|exp[-i(at2/2+bt)]1I(t)

(7)

連接投影系數(shù)kI表示的信號分量dI(t)，使得信號d具有最大的總能量

(8)

式中：Π包含信號的整個時間長度，而且不重疊。

該算法的具體連接方法如下：

(1) 初始化，設置e(i)=0，pred(i)=0，其中，e(i)為選擇的i-1個動態(tài)時間支撐區(qū)的信號的總能量，pred(i)為第i個時間支撐區(qū)的前置支撐區(qū)的序號。

(2) 對動態(tài)時間支撐區(qū)集合{Ii|i∈z}，尋找相鄰的下一個動態(tài)支撐區(qū)的集合{Ik|k∈z}，如果e(i)+d(i)>e(k)，則有

(9)

該連接算法能保證Chirplet原子的組合與原信號的相似度最高。因此，CPP算法是通過連接各個支撐區(qū)的瞬時頻率為線性的原子逼近信號的瞬時頻率。

1.2 廣義解調(diào)算法

由于轉(zhuǎn)速的變化使軸承故障引起的沖擊失去了周期性，信號的頻譜出現(xiàn)頻率模糊現(xiàn)象，因此，有必要將時變頻率轉(zhuǎn)化為周期頻率。廣義解調(diào)算法是一種新的處理時變信號的方法，可以根據(jù)相位函數(shù)將非周期的瞬時頻率轉(zhuǎn)換為周期頻率。該算法的本質(zhì)為廣義傅里葉變換，對于信號x(t)，其廣義傅里葉變換的定義為

(10)

式中：s0(t)為與時間t相關(guān)的實值函數(shù)，這實際是對x(t)e-2πjs0(t)做標準的傅里葉變換。

2 軸承的故障診斷方法

對于某一特定時變頻率，廣義解調(diào)算法可以根據(jù)該頻率的相位函數(shù)將其轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷陬l率。因此，在頻譜中該頻率由模糊轉(zhuǎn)化為突出的峰值。利用CPP算法可以在包絡信號中估計IFCF，因此，根據(jù)估計的IFCF可以實現(xiàn)對其解調(diào)。但是僅僅依靠該峰值，無法判斷軸承故障及其位置。這是因為轉(zhuǎn)子失衡或者安裝原因也會產(chǎn)生隨轉(zhuǎn)速變化的頻率，如果利用CPP算法估計的瞬時頻率為該頻率，對其解調(diào)也會出現(xiàn)峰值。因此，如果判斷該頻率是軸承故障引起的，還要辨別故障位置，必須需要借助參考頻率。

在變轉(zhuǎn)速的工況下，高頻共振不僅會調(diào)制FCF，而且FCF還會調(diào)制轉(zhuǎn)頻。由于轉(zhuǎn)頻的幅值較低，一般很難在信號中直接估計。假設估計的IFCF是外圈故障引起的，根據(jù)FCF與轉(zhuǎn)頻的比例fr=fcf/Co(Co為外圈故障特征系數(shù))，可以計算潛在轉(zhuǎn)頻。如果在解調(diào)濾波后的轉(zhuǎn)頻位置不出現(xiàn)峰值，那么該故障就不是外圈故障，然后再假設內(nèi)圈故障，對轉(zhuǎn)頻進行估計。為了減少FCF以及幅值較小的轉(zhuǎn)頻被噪聲污染，可以對解調(diào)后的信號進行帶通濾波，濾除背景噪聲和解調(diào)造成的頻率干擾。這里將根據(jù)CPP算法估計的軸承IFCF，依據(jù)特征系數(shù)計算其他頻率，根據(jù)得到的頻率對信號進行逐步解調(diào)，恢復各頻率的周期性，然后通過帶通濾波濾除噪聲，這種處理方式稱為逐步解調(diào)濾波算法。該算法主要包括：① 使用CPP算法估計IFCF；② 利用估計的IFCF計算諧頻及轉(zhuǎn)頻；③ 根據(jù)各頻率估計相位函數(shù)；④ 根據(jù)相位函數(shù)對信號進行解調(diào)；⑤ 對解調(diào)信號逐步帶通濾波。

為了直觀描述算法原理，圖1給出了一個仿真信號的處理實例。假設f(t)為IFCF，fr(t)為轉(zhuǎn)頻，通過提取的IFCF趨勢線可以估計IFCF的相位函數(shù)，假設外圈故障，便可以通過式(1)計算轉(zhuǎn)頻，進而估計出轉(zhuǎn)頻的相位函數(shù)。使用帶通濾波器對解調(diào)后信號進行濾波，然后對濾波信號求和，便可以求得IFCF和轉(zhuǎn)頻解調(diào)濾波信號。如果假設正確，在頻譜的fo和fr的位置會出現(xiàn)峰值。

(a) 原始信號時頻譜

(b) 解調(diào)信號的時頻譜

(c) 解調(diào)信號f′(t)的時頻譜

(d) 解調(diào)濾波信號的時頻譜

(e) 解調(diào)濾波信號f′(t)的時頻譜

(f) 逐步解調(diào)濾波信號時頻譜

(g) 原始信號的頻譜

(h) 逐步解調(diào)濾波信號的頻譜

圖1 逐步解調(diào)濾波算法流程圖

Fig.1 Flowchart of stepwise demodulation filter algorithm

基于CPP和逐步解調(diào)濾波的滾動軸承故障診斷方法的具體步驟如下：

步驟1根據(jù)軸承的幾何參數(shù)，結(jié)合式(1)～式(3)，計算軸承各個部分的故障特征系數(shù)Co=fo/fr，Ci=fi/fr，Cb=fb/fr。

其中，Co,Ci和Cb分別表示外圈、內(nèi)圈和滾動體的故障特征系數(shù)。

步驟2對原始信號進行Hilbert變換得到包絡信號，使用CPP算法在降采樣包絡信號中估計IFCF，并使用多項式對其進行擬合f1(t)，計算IFCF的倍頻

(11)

其中，f1(t)為IFCF的擬合方程，an,…,a1,a0均為常數(shù)。

步驟3假設外圈、內(nèi)圈和滾動體出現(xiàn)故障，并估計對應轉(zhuǎn)頻fro1(t)=f1(t)/Co，fri1(t)=f1(t)/Ci和frb1(t)=f1(t)/Cb以及倍頻。

其中，fro1(t),fri1(t)和frb1(t)分別表示外圈、內(nèi)圈和滾動體出現(xiàn)故障時的轉(zhuǎn)頻。

步驟4構(gòu)造解調(diào)函濾波的相位函數(shù)

(12)

并求得解析信號y(t)=x(t)+jH[x(t)]，其中H[x(t)]是x(t)的Hilbert變換，對y(t)進行廣義解調(diào)后得到解析濾波分量dk(t)=yk(t)e-2πjsk(t)。其中：fk(t)為f1(t)及其倍頻；fro1(t),fri1(t)和frb1(t)及其倍頻；fk(0)為對應頻率的初始值。

步驟5以擬合函數(shù)fk(t)的初始值fk(0)為中心頻率，fwidth為帶寬，構(gòu)造窄帶帶通濾波器。使用該濾波器對解調(diào)后的信號濾波，得到解調(diào)濾波信號mfk(t)。對濾波后的解調(diào)信號mfk(t)求和便可以得到逐步解調(diào)濾波的信號

mf(t)=∑mfk(t)

(13)

步驟6對逐步解調(diào)濾波信號mf(t)進行FFT變換得到解調(diào)濾波信號的頻譜，根據(jù)頻譜完成故障診斷。

3 仿真分析

為了驗證算法的有效性，構(gòu)造了變轉(zhuǎn)速軸承仿真模型x(t)并對其進行分析。仿真模型x(t)由軸承故障引起沖擊x1(t)和高斯噪聲n(t)構(gòu)成

x(t)=x1(t)+n(t)

(14)

故障軸承的沖擊成分x1(t)的表達式

(15)

式中：N為沖擊數(shù)量，Am為第m個沖擊的幅值，由于軸承轉(zhuǎn)速越大，沖擊幅值越大，設置Am隨著轉(zhuǎn)速線性增加，β為結(jié)構(gòu)衰減系數(shù)，u(t)為單位階躍函數(shù)，wr為軸承故障激發(fā)的系統(tǒng)的共振頻率，tm表示第m個沖擊出現(xiàn)的時間，tm由遞推公式(16)確定

(16)

式中：f(t)為滾動軸承轉(zhuǎn)頻；τ為滾動體的滑移引起的沖擊間隔誤差，一般為0.01～0.02；n代表軸承轉(zhuǎn)動一周產(chǎn)生的沖擊數(shù)。

設置軸承轉(zhuǎn)速變化規(guī)律為f(t)=10t+5(r/s)，設置外圈和內(nèi)圈故障特征因子為Co=3.5和Ci=5，其他參數(shù)如表1所示。

表1 仿真信號參數(shù)表

處理軸承外圈發(fā)生故障的仿真數(shù)據(jù)，截取3～6 s的數(shù)據(jù)進行分析。根據(jù)設置轉(zhuǎn)速f(t)=10t+5(r/s)，該時間段內(nèi)轉(zhuǎn)速線性增加，變換范圍為35～65 Hz。

圖2為仿真信號的時域波形圖，觀察可知，隨著轉(zhuǎn)速升高，波形幅值變大。圖3為仿真信號頻譜。使用CPP算法在降采樣的包絡信號中估計，如圖4所示的IFCF趨勢線。按照逐步解調(diào)濾波算法的步驟，對信號進行處理，得到如圖5所示的頻譜。根據(jù)相位函數(shù)的構(gòu)造方式，如果是外圈故障，解調(diào)頻譜理論出現(xiàn)峰值的位置應該為轉(zhuǎn)頻的初始值35 Hz，外圈FCF的初始值35×Co=122.5 Hz及其倍數(shù)處。如果是內(nèi)圈故障，則在轉(zhuǎn)頻，內(nèi)圈FCF的初始值35×5=175 Hz及其倍數(shù)

圖2 仿真信號的時域波形圖

圖3 仿真信號的頻譜

出現(xiàn)峰值。 觀察解調(diào)頻譜，出現(xiàn)峰值位置符合理論計算的外圈出現(xiàn)故障的位置，由此可判斷軸承外圈出現(xiàn)故障。在如圖6所示的包絡頻譜中無突出的峰值，證明了該算法的可以提高頻譜質(zhì)量。

圖4 提取的IFCF趨勢線

圖5 逐步解調(diào)濾波信號的頻譜

圖6 原始信號的包絡頻譜

4 試驗驗證

利用振動試驗臺測取變轉(zhuǎn)速工況下的振動信號，通過處理試驗信號，對算法的有效性進一步驗證。其中，為了模擬軸承故障，使用電火花對軸承的外圈和內(nèi)圈加工裂紋，試驗使用軸承如圖8所示。試驗臺的結(jié)構(gòu)如圖7所示。軸承的參數(shù)見表2。

圖7 試驗臺的結(jié)構(gòu)

根據(jù)試驗滾動軸承的具體參數(shù)得到試驗軸承的外圈、內(nèi)圈以及滾動體的故障特征系數(shù)分別為Co=2.55，Ci=4.45和Cb=1.7。

圖8 試驗滾動軸承

軸承型號滾珠數(shù)n滾珠直徑d/mm節(jié)圓直徑D/mm接觸角α600074.817.650

對升速狀態(tài)下外圈故障滾動軸承信號進行處理，圖9為振動信號的時域波形圖。圖10為根據(jù)轉(zhuǎn)速計測得脈沖擬合的轉(zhuǎn)頻。使用CPP算法在如圖11所示的降采樣的包絡信號中，估計IFCF趨勢線如圖12所示。利用多項式擬合IFCF趨勢線，并按照逐步解調(diào)濾波算法的步驟處理包絡信號，得到逐步解調(diào)濾波信號。對逐步解調(diào)濾波信號進行FFT變換，得到了如圖13所示的頻譜圖。觀察可知，峰值位置符合試驗軸承的外圈故障出現(xiàn)故障時的計算值，因此外圈存在故障。原始包絡信號的頻譜如圖14所示。圖14無突出峰值，通過對比證明該算法的有效性。

圖9 試驗信號的波形圖

圖10 試驗測得轉(zhuǎn)速

圖11 包絡信號

圖12 提取的IFCF趨勢線

圖13 逐步解調(diào)信號頻譜

圖14 包絡頻譜

為了進一步驗證提出算法的有效性，對降速狀態(tài)下內(nèi)圈故障滾動軸承信號進行分析。時域波形如圖15所示。圖16為逐步解調(diào)濾波頻譜圖。觀察可知，頻譜峰值位置與試驗軸承內(nèi)圈出現(xiàn)故障計算值吻合，由此便可判斷軸承內(nèi)圈出現(xiàn)故障。通過試驗信號的處理證明了提出算法的有效性。

圖15 試驗信號的波形圖

5 結(jié)論

(1) 針對變轉(zhuǎn)速工況下，共振頻帶不僅會調(diào)制FCF，而且FCF也會調(diào)制轉(zhuǎn)頻這一現(xiàn)象，根據(jù)軸承不同位置的故障特征系數(shù)不同，以FCF為基礎，轉(zhuǎn)頻為參考的方式判斷軸承故障位置。

圖16 逐步解調(diào)濾波信號的頻譜

(2) 針對變轉(zhuǎn)速工況下滾動軸承振動信號中缺少易于提取的轉(zhuǎn)頻成分，使得解調(diào)算法依賴于轉(zhuǎn)速測量設備這一問題，利用CPP估計的IFCF重復計算轉(zhuǎn)頻，對潛在的轉(zhuǎn)頻解調(diào)，實現(xiàn)了對轉(zhuǎn)頻相位的估計，擺脫了對轉(zhuǎn)速計的依賴。

(3) 軸承振動信號中轉(zhuǎn)頻分量幅值較小，容易被噪聲淹沒，逐步解調(diào)濾波算法不僅可以恢復時變信號周期性，還可以有效的濾除噪聲的干擾。