郎瑞卿，閆澍旺，趙棟

(1.天津城建大學(xué) 土木工程學(xué)院，天津 300384；2. 邢臺(tái)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程系，河北 邢臺(tái) 054000；3.天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院，天津 300072)

作為剛性樁網(wǎng)復(fù)合地基的重要組成部分，加筋碎石墊層能夠有效調(diào)節(jié)樁土應(yīng)力比，使剛性樁承擔(dān)較多填土荷載。土工格柵鋪設(shè)的層數(shù)及位置等會(huì)影響加筋墊層的力學(xué)性能，從而影響剛性樁復(fù)合地基承載特性。因此，為保證工程的經(jīng)濟(jì)性和安全性，對加筋層數(shù)和鋪設(shè)位置進(jìn)行理論研究具有重要意義。

近年來，已有學(xué)者從調(diào)節(jié)樁土應(yīng)力比、格柵拉力等角度對加筋墊層的工作性狀和作用進(jìn)行了研究，但對加筋墊層整體剛度的研究較少：Sun等[1]、Lu等[2]、錢勁松等[3]、閆澍旺等[4]通過理論推導(dǎo)，研究了加筋墊層對樁土應(yīng)力比的影響，并開展了影響樁土應(yīng)力比的因素研究，提出了相關(guān)影響規(guī)律和工程建議；Ariyarathne等[5]、Rowe等[6]和曹文昭等[7]通過數(shù)值模擬方法，研究了加筋墊層對剛性樁網(wǎng)復(fù)合地基荷載傳遞特性的影響；Xing等[8]和Cao等[9]通過現(xiàn)場試驗(yàn)，研究了加筋墊層對樁土應(yīng)力比的影響；Liyanapathirana等[10]研究了格柵蠕變效應(yīng)對加筋墊層工作性狀的影響。關(guān)于格柵拉力計(jì)算方法，主要有英國BS8006法[11]、德國EBGEO法[12]、北歐手冊法[13]和日本細(xì)則法[14]等。在此基礎(chǔ)之上，Eekelen等[15]結(jié)合現(xiàn)場試驗(yàn)，對BS8006法進(jìn)行了改進(jìn)，并將計(jì)算結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)對比，驗(yàn)證了改進(jìn)方法的準(zhǔn)確性；Blanc等[16]通過離心機(jī)試驗(yàn)，研究了不同荷載類型下加筋體的變形特性，并運(yùn)用EBGEO法進(jìn)行了分析；魏平等[17]通過數(shù)值模擬，研究了雙層格柵在動(dòng)荷載作用下拉力及其增量大小分布；Haluordson等[18]將筋材假設(shè)為三維索網(wǎng)進(jìn)行分析；Filz等[19]將筋材假設(shè)為板進(jìn)行分析；徐超等[20]通過研制的試驗(yàn)設(shè)備，研究了不同位置的格柵受力特征，并提出了三維模式下拉力的計(jì)算方法；陳仁朋等[21]通過現(xiàn)場試驗(yàn)，研究了動(dòng)靜荷載下土工格柵的拉力特性；鄭俊杰等[22]通過拉拔試驗(yàn)，研究了筋土界面特性。以上成果對認(rèn)識加筋墊層在剛性樁網(wǎng)復(fù)合地基中的重要作用具有較好的參考價(jià)值，但研究多集中于試驗(yàn)和數(shù)值模擬，而理論研究多適用于單層格柵情況，不能反映加筋層數(shù)和位置等因素對樁土應(yīng)力比及格柵拉力的影響，且數(shù)值模擬中加筋墊層整體剛度的取值差異較大[23]，缺乏合理模擬多層加筋墊層力學(xué)特性的理論研究。

本文將設(shè)置有多層土工格柵的加筋墊層視為大撓度薄板[24]，運(yùn)用層合板理論模擬土工格柵與碎石之間的相互作用，結(jié)合應(yīng)變連續(xù)條件，推導(dǎo)得到加筋墊層的剛度矩陣；結(jié)合加筋墊層真實(shí)邊界條件，建立其撓度方程和應(yīng)力函數(shù)，并利用伽遼金方程進(jìn)行求解。在此基礎(chǔ)上，利用溫克爾地基梁理論對樁土應(yīng)力比進(jìn)行求解，并運(yùn)用大撓度薄板理論對格柵拉力進(jìn)行求解。最后，運(yùn)用兩組現(xiàn)場試驗(yàn)對推導(dǎo)方法進(jìn)行驗(yàn)證，利用提出的理論方法，綜合分析了格柵鋪設(shè)總層數(shù)和位置等因素對樁土應(yīng)力比及格柵拉力的影響。

1 計(jì)算模型和受力分析

1.1 基本假定

選取剛性樁網(wǎng)復(fù)合地基單樁處理范圍內(nèi)的矩形單元作為研究對象。坐標(biāo)原點(diǎn)為左下角樁中心，z=0平面為樁帽頂，剛性樁沿x方向的間距為a，沿y方向的間距為b，加筋墊層任意點(diǎn)撓度為ω(x,y)，如圖1所示。

圖1 計(jì)算狀態(tài)示意圖Fig.1 Schematic diagram of calculation

將加筋墊層視為大撓度薄板，格柵與碎石的界面力學(xué)特性運(yùn)用層合板理論進(jìn)行模擬。主要假定：

1)格柵與碎石變形均較小，分析過程中均處于彈性階段，并且兩者均滿足虎克定律。

2)格柵與碎石墊層之間無縫隙且變形連續(xù)。

3)加筋墊層的撓度與其厚度為同一量級。

加筋墊層由碎石和n層格柵組成，總厚度為h。受到填土荷載作用時(shí)加筋墊層根據(jù)應(yīng)變分為受壓區(qū)和受拉區(qū)。受拉區(qū)由碎石和格柵組成，厚度為hx+hl，其中，第n層格柵距中性面的距離為hl，距加筋墊層下表面距離為hx；受壓區(qū)由碎石組成，厚度為hy。格柵鋪設(shè)間隔均為Δh。如圖2所示。

圖2 加筋墊層結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of reinforce

1.2 加筋墊層受力分析

1.2.1 受拉區(qū)及受壓區(qū)厚度計(jì)算 當(dāng)加筋墊層受到填土荷載作用時(shí)，受壓區(qū)頂面出現(xiàn)最大壓應(yīng)變?chǔ)舖，對應(yīng)最大壓應(yīng)力為σm；受拉區(qū)底部第n層格柵產(chǎn)生的最大拉應(yīng)變?yōu)棣舋n，對應(yīng)最大拉應(yīng)力為Tgn。中性軸O-O應(yīng)力、應(yīng)變均為零。如圖3所示。

圖3 加筋墊層應(yīng)力及應(yīng)變示意圖Fig.3 Schematic diagram of stress and strain

加筋墊層任意橫截面內(nèi)滿足應(yīng)變連續(xù)條件，結(jié)合圖2和圖3，可得各點(diǎn)應(yīng)變關(guān)系為

(1)

根據(jù)虎克定律，可得應(yīng)力關(guān)系如式(2)所示。

(2)

式中：Em為碎石抗壓模量；Eg為格柵抗拉模量。在受拉區(qū)，忽略碎石墊層的抗拉強(qiáng)度，結(jié)合圖3及靜力平衡條件，可得

(3)

將式(2)帶入式(3)，可得

(4)

式中：α=Eg/Em。

根據(jù)圖2，可得幾何關(guān)系

h=hl+hy+hx

(5)

聯(lián)立式(4)、式(5)，可得受壓區(qū)厚度為

(6)

受拉區(qū)厚度為

hl+hx=h+nα-

(7)

(8)

(9)

式中：Ei為彈性模量；μij為泊松比；Gij為剪切模量。

層合板任意橫截面合內(nèi)力矩可按式(10)計(jì)算。

(10)

將式(8)帶入式(10)中，可得彎矩與截面耦合剛度、截面彎曲剛度系數(shù)的關(guān)系為

(11)

式中：Bij為拉伸與彎矩之間的耦合剛度；Dij為彎曲剛度系數(shù)，其值與層和板內(nèi)力矩、曲率及扭曲率有關(guān)。其中，耦合剛度Bij可按式(12)計(jì)算。

(12)

式中：zk為第k層坐標(biāo)。

彎曲剛度系數(shù)Dij可按式(13)計(jì)算。

(13)

(14)

(15)

將式(13)～式(15)帶入式(11)并化簡，可得加筋墊層的剛度矩陣為

(16)

加筋墊層由碎石和土工格柵組成，式(16)中任意元素可按式(17)計(jì)算。

(17)

2 樁土應(yīng)力比計(jì)算

由圖1可知，研究對象的邊界條件為四角點(diǎn)簡支，其余位置自由。結(jié)合大撓度薄板理論，假定該加筋褥墊層的撓度方程ω(x，y)表達(dá)式為

(18)

式中：A、B為與撓度有關(guān)的系數(shù)，其中，A=ωa/a，B=ωb/b，ωa和ωb分別為邊長為a、b的邊上對應(yīng)的最大撓度。

引入該大撓度薄板的應(yīng)力函數(shù)φ(x，y)，則ω(x，y)和φ(x，y)存在關(guān)系

(19)

式中：▽為拉普拉斯算子；E為加筋墊層的復(fù)合彈性模量。

將式(18)帶入式(19)并化簡，可得應(yīng)力函數(shù)φ(x，y)的四階微分方程

(20)

假定微分方程式(20)的特解為φp。結(jié)合邊界條件并通過對比系數(shù)可得其特解φp為

(21)

式中：

(22)

根據(jù)其他學(xué)者的研究可知[25-26]，微分方程式(20)的解可寫成

(23)

式中：Px為x=0和x=a兩邊上中面力的平均值；Py為y=0和y=b兩邊上的中面力平均值。

由于加筋墊層受到均布豎向荷載且無水平荷載作用，故x=0與x=a兩條邊無相對位移，y=0與y=b兩條邊無相對位移，根據(jù)Newton-Leibniz公式可得

(24)

式中：μ為泊松比，可取為碎石泊松比[23]。

對式(24)進(jìn)行積分聯(lián)立求解，可得

(25)

(26)

將Px和Py代入式(23)，可得到φ(x，y)表達(dá)式。

假定外力作用下，大撓度板的內(nèi)力虛功為δU，虛位移對應(yīng)的外力虛功為δW，則根據(jù)虛功原理可得

δU=δW

(27)

式中：內(nèi)力虛功可按式(28)計(jì)算。

(28)

外力虛功為薄板上彎矩、廣義剪力和薄膜力與對應(yīng)轉(zhuǎn)角、位移的乘積和。為了方便計(jì)算，引入伽遼金方程，則式(27)可化簡為

(29)

式中：D為加筋墊層的彎曲剛度，可按式(16)計(jì)算；q為加筋墊層承擔(dān)外荷載。

對式(29)進(jìn)行積分并化簡，可得

(30)

(31)

聯(lián)立式(30)、式(31)求解，可得A和B。將結(jié)果帶入式(18)，則可求得ω(x，y)的表達(dá)式。樁間土反力σs可通過Winkler地基梁理論[27]計(jì)算得到，則樁土應(yīng)力比可按式(32)計(jì)算。

(32)

式中：σp為樁頂平均應(yīng)力；σs為樁間土體平均應(yīng)力；H為路堤填土高度；γ為填土容重；S為單樁處理面積；Sp為剛性樁橫截面積；Ss為單樁處理范圍內(nèi)土體面積；q為加筋墊層承擔(dān)荷載。

3 拉力計(jì)算

碎石墊層的抗拉強(qiáng)度為零，故加筋墊層受到填土荷載時(shí)，x方向拉力之和Tx全部由土工格柵承擔(dān)，即

(33)

根據(jù)薄板理論，拉力可按式(34)計(jì)算。

(34)

將式(23)及式(25)、式(26)帶入式(34)，可得加筋墊層任意截面上x、y方向所有格柵拉力之和Tx、Ty，按式(35)、式(36)計(jì)算。

(35)

(36)

結(jié)合式(1)～式(3)，可得第i層格柵的拉力為

(37)

4 實(shí)例驗(yàn)證

4.1 實(shí)例1

某客運(yùn)專線試驗(yàn)段位于福建，其軟土地基采用剛性樁復(fù)合地基加固[28]，該區(qū)段25 m深度范圍內(nèi)，由上向下依次分布有2 m厚粉質(zhì)粘土，11 m厚淤泥和11 m粉質(zhì)粘土，路基填土高度為6 m。復(fù)合地基樁間距為1.6 m，樁體直徑d=0.5 m；樁頂連接邊長為1.0 m的正方形樁帽，樁帽上為0.4 m厚加筋墊層，加筋墊層由壓縮模量為15.0 MPa的碎石和單層格柵組成；其中，格柵厚度為0.01 m，橫縱向?qū)嶋H屈服強(qiáng)度為80.0 kN/m。計(jì)算得到加筋墊層抗彎剛度為0.35 MN·m2。

利用本文方法及文獻(xiàn)[11]方法計(jì)算得到樁土應(yīng)力比及格柵承擔(dān)最大拉力與實(shí)測值對比，如表1所示。

表1 理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值比較Table 1 Comparison between calculated results and measured results

由表1可知，本文方法計(jì)算得到的樁土應(yīng)力比比實(shí)測值稍大，與文獻(xiàn)[11]相比，更加接近實(shí)測值；文獻(xiàn)[11]計(jì)算得到的拉力值遠(yuǎn)大于實(shí)測值，本文計(jì)算值略小于實(shí)測值。本文方法較合理。

4.2 實(shí)例2

某列車專線試驗(yàn)區(qū)段位于福建，其軟土地基采用PTC管樁復(fù)合地基進(jìn)行加固[28]。該區(qū)段32 m深度范圍內(nèi)，由上向下依次分布有2 m厚粉質(zhì)粘土，8 m厚淤泥和22 m粉質(zhì)粘土，路基填土高度為5.6 m。復(fù)合地基采用正方形布樁，樁間距為2.5 m，樁體直徑d=0.5 m；樁頂連接邊長為1.6 m的正方形樁帽，樁帽上為0.4 m厚加筋墊層，加筋墊層由壓縮模量為15.0 MPa的碎石和雙層格柵組成；其中，格柵厚度為0.01 m，橫縱向?qū)嶋H屈服強(qiáng)度為80.0 kN/m。計(jì)算得到加筋墊層抗彎剛度為0.39 MN·m2。

利用本文方法及文獻(xiàn)[11]方法計(jì)算得到樁土應(yīng)力比及格柵承擔(dān)最大拉力與實(shí)測值對比，如表2所示。

表2 理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值比較Table 2 Comparison between calculated result and measured result

由表2可知，本文方法計(jì)算結(jié)果比文獻(xiàn)[28]計(jì)算值更接近實(shí)測值。綜合兩個(gè)實(shí)例驗(yàn)證可知，將加筋墊層視為大撓度薄板，考慮格柵層數(shù)和位置對樁土應(yīng)力比和拉力的影響，計(jì)算更符合實(shí)際情況，本文計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值更接近，計(jì)算方法較合理。

5 影響因素分析

為了研究加筋墊層中各變量對樁土應(yīng)力比及格柵拉力的影響，改變土工格柵鋪設(shè)層數(shù)、鋪設(shè)間隔和底層格柵位置等參數(shù)，并固定其他參數(shù)不變，研究各因素對樁土應(yīng)力比及格柵拉力的影響。

由于實(shí)際工程中對樁土應(yīng)力比及格柵承擔(dān)的最大拉力比較重視，故本文僅對樁土應(yīng)力比、加筋墊層任意截面x方向所有格柵拉力之和Tx的最大值Tx,sum及該橫截面中單層格柵拉力Tgi的最大值Tgi,max進(jìn)行分析。其中，Tx,sum可按式(35)計(jì)算后對比得到；Tgi,max可按式(37)計(jì)算后對比得到。

5.1 土工格柵層數(shù)

格柵豎向鋪設(shè)間隔均為0.1 m，底層格柵與樁帽上頂面距離為零。不同格柵加筋層數(shù)對應(yīng)的樁土應(yīng)力比如圖4所示。

圖4 樁土應(yīng)力比與土工格柵層數(shù)關(guān)系曲線Fig.4 Relationship between pile-soil stress ratio and total

由圖4可知，隨著加筋層數(shù)的增加，對應(yīng)的樁土應(yīng)力大幅度增大。鋪設(shè)1層格柵時(shí)，樁土應(yīng)力比增長至13，較多的填土荷載通過格柵傳遞給樁體承擔(dān)；鋪設(shè)2層時(shí)，樁土應(yīng)力比與鋪設(shè)1層時(shí)相比，仍有較大幅度增長。但鋪設(shè)層數(shù)超過3層后，該增幅減小。分析其原因?yàn)椋涸黾?～2層抗拉材料，可以明顯增強(qiáng)墊層整體的抗彎剛度；超過3層后，其抗彎慣性矩變化較小，抗彎性能沒有較大增強(qiáng)。

加筋墊層橫截面拉力和最大值Tx,sum及該截面單層格柵最大拉力Tgi,max隨層數(shù)變化如圖5所示。

圖5 Tx,sum和Tgi,max與土工格柵層數(shù)關(guān)系曲線Fig.5 Relationship between Tx,sum, Tgi,max and total

由圖5可知，Tx,sum和Tgi,max均隨著格柵層數(shù)的增大而降低。鋪設(shè)1層格柵時(shí)，全部拉力由該層格柵承擔(dān)，此時(shí)拉力較大；鋪設(shè)2層格柵時(shí)，Tx,sum和Tgi,max均有較大幅度降低，但降低后的拉力并非原來的一半。可見，多層格柵中每層格柵承擔(dān)的拉力并非均勻承擔(dān)，而是與格柵的位置、間距及樁土應(yīng)力比等因素有關(guān)。當(dāng)格柵增加至3層后，Tx,sum和Tgi,max降低幅度降低，其原因?yàn)?，此時(shí)樁土應(yīng)力比增長較少，通過加筋墊層傳遞至樁體的荷載增長較少。

5.2 格柵鋪設(shè)間隔

鋪設(shè)兩層格柵，且底層格柵與樁帽頂面的距離為零，樁土應(yīng)力比隨鋪設(shè)間隔變化如圖6所示。

圖6 樁土應(yīng)力比與格柵間隔關(guān)系曲線Fig.6 Relationship between pile-soil stress ratio

由圖6可知，隨著格柵豎向鋪設(shè)間隔的增大，樁土應(yīng)力比逐漸減小。由于底層格柵與樁帽距離為零，增大格柵間隔即減小了加筋墊層的抗彎慣性矩，此時(shí)，加筋墊層的抗彎剛度降低，造成樁土應(yīng)力比減小。

加筋墊層橫截面拉力和最大值Tx,sum及該截面格柵最大拉力Tgi,max隨格柵間距變化如圖7所示。

圖7 Tx,sum和Tgi,max與土工格柵間隔關(guān)系曲線Fig.7 Relationship between Tx,sum, Tgi,max

由圖7可知，隨著格柵間隔的增大，總拉力Tx,sum和第2層格柵最大拉力Tg2,max增大，但第1層格柵拉力Tg1,max降低。其原因?yàn)?，由于格柵鋪設(shè)間隔的增大，降低了樁土應(yīng)力比，故樁間土承擔(dān)的荷載增大，此時(shí)，加筋墊層的撓度增大，造成格柵拉力增大；由于第2層格柵位置不變，間距的增大使得第1層格柵靠近中性面，故應(yīng)變逐漸減小，進(jìn)而拉力降低。

5.3 底層格柵位置hx

鋪設(shè)兩層土工格柵，且兩層格柵豎向間距為0.1 m，改變第2層格柵距樁帽上表面的距離hx，樁土應(yīng)力比計(jì)算結(jié)果如圖8所示。

圖8 樁土應(yīng)力比與hx關(guān)系曲線Fig.8 Relationship between pile-soil stress ratio and

由圖8可知，隨著hx變大，樁土應(yīng)力比降低。格柵和樁帽的距離變大，意味著格柵與中性面的距離變小，從而慣性矩變小，造成加筋墊層的抗彎剛度減小，傳遞給剛性樁的荷載減小，樁土應(yīng)力比降低。

加筋墊層橫截面拉力和最大值Tx,sum及該橫截面每層格柵最大拉力Tgi,max隨hx變化如圖9所示。

圖9 Tx,sum和Tgi,max與hx關(guān)系曲線Fig.9 Relationship between Tx,sum, Tgi,max and

由圖9可知，隨著底層格柵遠(yuǎn)離樁帽，Tx,sum和第2層格柵的拉力Tg2,max逐漸增大，但第1層格柵的拉力Tg1,max先增大，當(dāng)hx大于0.25 m后，該層格柵拉力降低，此時(shí)，總拉力的增長幅度也隨之降低。樁土應(yīng)力比隨hx增大而降低，此時(shí)，樁間土承擔(dān)的荷載增大，造成加筋墊層撓度變大，進(jìn)而Tx,sum增大。當(dāng)hx大于一定值后，由于格柵間隔和墊層厚度為定值，造成第1層格柵距中性軸的距離較近，此時(shí)，第1層格柵的拉應(yīng)變較小，其拉力降低。

6 結(jié)論

以設(shè)置有多層加筋墊層的剛性樁網(wǎng)復(fù)合地基為研究對象，運(yùn)用層合板理論分析格柵與碎石的相互作用，基于大撓度薄板理論，對加筋墊層撓度方程進(jìn)行求解。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出剛性樁網(wǎng)復(fù)合地基樁土應(yīng)力比及格柵拉力的計(jì)算方法。運(yùn)用現(xiàn)場試驗(yàn)對提出的方法進(jìn)行了驗(yàn)證，并綜合分析了格柵總層數(shù)、鋪設(shè)間隔和位置等因素對樁土應(yīng)力比及格柵拉力的影響。主要結(jié)論如下：

1)基于層合板理論，對加筋墊層中多層格柵與碎石之間的相互作用進(jìn)行了模擬，推導(dǎo)了其抗彎剛度矩陣計(jì)算方法。

2)建立了設(shè)置有多層加筋墊層的剛性樁復(fù)合地基的樁土應(yīng)力比和格柵拉力的計(jì)算方法，并運(yùn)用現(xiàn)場試驗(yàn)對計(jì)算方法進(jìn)行了驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果與實(shí)測結(jié)果較為吻合。

3)隨著格柵層數(shù)的增加，樁土應(yīng)力比增大而格柵拉力減小，鋪設(shè)2～3層格柵對提高樁土應(yīng)力比并降低格柵拉力的效率最高；隨著鋪設(shè)格柵間隔和底層格柵距樁帽距離的增大，樁土應(yīng)力比降低而格柵總拉力和單層格柵承擔(dān)的最大拉力增大。