（山東省棗莊市第九中學）

數學中的開放探究題，是指命題中缺少一定的條件或未給出明確的結論，需要經過補充、猜想、推斷，并加以證明的問題.由于這類問題的知識覆蓋面廣，綜合性強，解題方法靈活，再加上題型新穎，要求學生具備扎實的基礎知識和較強的數學能力，從而使數學開放探究題成為考試中的一種常見題型.下面結合幾道例題介紹開放探究題的常見類型及其解題策略.

一、條件開放探究題

條件開放探究題是給出問題的結論，但沒有給出充分的條件，要求給出或補充使問題結論成立的條件.

解題策略是執(zhí)果索因，首先要從結論出發(fā)，考慮結論成立時所要滿足的條件，再結合圖形及其性質逆向推導，把可能成立的條件一一列出，從而尋找出所求條件.

例1已知：如圖1，在菱形ABCD中，點E，O，F分別是邊AB，AC，AD的中點，連接CE，CF，OE，OF.

圖1

（1）求證：△BCE≌△DCF.

（2）當AB與BC滿足什么關系時，四邊形AEOF是正方形？試說明理由.

分析：（1）由兩個三角形的位置，借助四邊形ABCD是菱形，且點E，O，F分別是邊AB，AC，AD的中點，尋找對應相等的邊和角即可.

（2）要使四邊形AEOF是正方形，根據條件可知四邊形AEOF是菱形，因此AB與BC應滿足的條件是AB⊥BC.

證明：（1）略.

（2）當AB⊥BC時，四邊形AEOF是正方形.理由如下.

由已知得AE=OE=OF=AF.

所以四邊形AEOF是菱形.

因為AB⊥BC，OE∥BC，所以OE⊥AB.

所以∠AEO=90°.所以四邊形AEOF是正方形.

【評析】解答條件開放探究題需要運用逆向思維，因此學生要掌握一些基本公式、判定定理、性質定理和重要結論成立的條件，借助數形結合思想將問題合理轉化，尋找需要的條件，從而解決問題.

二、結論開放探究題

結論開放探究題是給出已知條件，根據條件探索相應的結論，符合條件的結論往往呈現多樣性，或者有相應的結論需要進行推斷，或者要求探索條件在變化時的結論.

解決這類問題的一般策略是由因導果，即從分析題意入手，順向推理，或者根據題目提供的信息，通過觀察、計算、聯(lián)想、歸納、合情推理，得出結論.

例2 已知△ABC與△DEC是兩個大小不同的等腰直角三角形.

（1）如圖2（1），連接AE，DB，試判斷線段AE和DB的數量和位置關系，并說明理由；

（2）如圖（2），連接DB，將線段DB繞點D順時針旋轉90°到DF，連接AF，試判斷線段DE和AF的數量和位置關系，并說明理由.

圖2

分析：（1）觀察圖形的特點，根據AE，DB的位置選擇適當的圖形，列出條件，由Rt△ACE≌Rt△BCD，尋找結果；

（2）借助第（1）小題的方法和結果，探索線段DE和AF的數量和位置關系.

解：（1）AE=DB，且AE⊥DB.理由如下.

如圖3，延長DB交AE于點M，

圖3

因為CA=CB，CE=CD，∠ACE=∠BCD=90°，

所以 Rt△ACE≌Rt△BCD.

所以AE=DB，∠AEC=∠BDC.

又因為∠AEC+∠EAC=90°，

所以∠BDC+∠EAC=90°.

在△AMD中，得∠AMD=90°.

所以AE⊥DB.

（2）DE=AF，且DE⊥AF.理由如下.

如圖2（2），設ED與AF相交于點N，

由題意可得BE=AD.

因為∠EBD=90°+∠BDC，∠ADF=90° +∠BDC，

所以∠EBD=∠ADF.

又因為DB=DF，

所以△EBD≌△ADF.

所以DE=AF， ∠E=∠EDC=∠FAD=45°.

所以∠AND=90°，即DE⊥AF.

【評析】解此類問題采用的方法是根據條件做出猜想并加以證明.一般情況下，這類問題對學生的邏輯思維能力要求較高，突出對探索、歸納、推理能力的考查.對于判斷一個結論是否成立的問題，有時需要分情形加以分類討論.若學生對學習過的公式、定理等基礎知識能熟練運用，則有助于解決此類問題.

三、規(guī)律開放探究題

規(guī)律開放探究題的基本特征是給出若干數、式、函數或圖形，以及它們的變化特點等，探究有關對象所具有的規(guī)律性或不變性的結論.

對于此類題，解決問題的策略是根據已知條件提供的信息，通過觀察、歸納、類比、分析，即運用從特殊到一般的推理方法探究更一般的結論，然后再給出證明.

圖4

（1）將矩形OCDE沿AB折疊，點O恰好落在邊CD上的點F處.

①求點F的坐標；

②試直接寫出拋物線的函數表達式；

（2）將矩形OCDE沿著經過點E的直線折疊，點O恰好落在邊CD上的點G處，連接OG，折痕與OG交于點H，點M是線段EH上的一個動點（不與點H重合），連接MG，MO，過點G作GP⊥OM于點P，交EH于點N，連接ON.點M從點E開始沿線段EH向點H運動，至與點N重合時停止，△MOG和△NOG的面積分別表示為S1和S2，在點M的運動過程中，S1·S2（即S1與S2的積）的值是否發(fā)生變化？若變化，直接寫出變化的范圍；若不變，直接寫出這個值.

分析：（1）因為點F的位置是由A，B兩點確定的，A，B兩點的坐標都隱含在拋物線的解析式中，由此先求出m的值，再求點F的坐標即可；

（2）如圖5，觀察圖形的特點，當動點M從點E開始沿線段EH向點H運動，可以發(fā)現∠NGH與∠OMH都是∠MOG的余角，所以∠NGH與∠OMH保持相等.故點G是解題的關鍵點.以點E為圓心，EO為半徑畫弧，交CD于點G.由此探索S1·S2的值的變化情況.

圖5

在Rt△BFK中，因為BK=8，BF=BO=10，

所以FK=6.

所以CF=CK-FK=4.

所以點F的坐標為F(4 ，8).

（2）如圖5，設折痕與OC交于點L，那么EL垂直平分OG.

在Rt△EDG中，因為ED=8，EG=EO=17，

所以GD=15.

在Rt△CGL中，由CG=2，設LG=LO=n，

那么LC=8-n.

因為∠NGH與∠OMH都是∠MOG的余角，

所以∠NGH=∠OMH.

所以MH·NH=OH2=17.

【評析】第（2）小題中，由動點M在不同的位置，尋找不變的數量關系，通過特殊位置探索特殊關系，由探索的過程歸納出一般規(guī)律.根據題意結合特殊點確定S1·S2的值，采用大膽假設、小心求證是解決此題的關鍵，其中不受“點M從點E開始沿線段EH向點H運動，至與點N重合時停止”的約束，使解題擺脫了思維定式.

四、存在性開放探究題

存在性開放探究題一般是在確定的條件下判斷某個數學對象是否存在的問題.這類問題中常常出現“是否存在”“是否有”“是否變化”等疑問句，以示結論有待判斷.

解決這類問題的策略是先假設需要探索的對象存在，從條件和假設出發(fā)進行運算、推理，若出現矛盾，則否定存在；如果不出現矛盾，則肯定存在.

例4 若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們?yōu)橛押脪佄锞€，拋物線C1：y1=-2x2+4x+2與C2：y2=-x2+mx+n為友好拋物線.

（1）求拋物線C2的解析式.

（2）點A是拋物線C2上在第一象限的動點，過點A作AQ⊥Ox，點Q為垂足，求AQ+OQ的最大值.

（3）設拋物線C2的頂點為C，點B的坐標為B( )-1，4，問在C2的對稱軸上是否存在點M，使線段MB繞點M逆時針旋轉90°得到線段MB′，且點B′恰好落在拋物線C2上？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

分析：（1）先求出y1的頂點坐標，然后根據友好拋物線的意義，利用兩條拋物線的頂點坐標相同求m，n的值；

（2）根據（1）中求出的拋物線解析式，設點A的坐標為A(a，-a2+2a+3)，則OQ=a，AQ=-a2+2a+3.可得OQ+AQ與a的函數關系式，然后借助配方法求出OQ+AQ的最值；

（3）假設存在點M在C2的對稱軸上，如圖7，通過畫圖、作輔助線證明△BCM≌△MDB′.由全等三角形的性質可得BC=MD，CM=B′D.設點M的坐標為M( )

1，a，然后用含a的代數式表示點B′的坐標，將點B′的坐標代入拋物線的解析式即可求出a的值，從而得到點M的坐標.

（2）如圖6，設點A的坐標為A(a，-a2+2a+3)，

因為OQ=a，AQ=-a2+2a+3，

圖6

圖7

（3）如圖7，假設存在點M在C2的對稱軸上，連接BM，作B′M⊥BM，且B′M=BM，連接BC，過點B′作B′D⊥CM，垂足為點D.

因為B(-1，4)，C(1 ， 4)，且拋物線的對稱軸為x=1，

所以BC⊥CM，且BC=2.

因為 ∠BMB′=90°，所以 ∠BMC+ ∠B′MD=90°.

因為B′D⊥MC，所以 ∠MB′D+ ∠B′MD=90°.

所以∠MB′D=∠BMC.

所以△BCM≌△MDB′.

所以BC=MD，CM=B′D.

設點M的坐標為M(1 ，a)， 則B′D=CM=| 4-a|，MD=CB=2.

可得點B′的坐標為B′(a-3，a-2).

則-(a-3)2+2(a-3)+3=a-2.

整理，得a2-7a+10=0.

解得a=2或a=5.

當a=2時，M的坐標為M(1 ， 2 )；

當a=5時，M的坐標為M(1 ， 5).

綜上所述，當點M的坐標為(1 ， 2)或(1 ， 5)時，點B′恰好落在拋物線C2上.

【評析】解決此類問題的常用方法是觀察圖形的特征，假設存在結論，通過演繹推理得出結論.而在解題過程中要注意分解知識點，注重問題的本質，如此題中已知函數解析式求坐標，已知坐標求函數解析式等，還要結合數形結合思想探索解題思路.

五、策略開放探究題

策略開放探究題的一般形式是題目的條件和結論是已知的或已知一部分，需要探究解題方法或設計解題方案.這類問題，在考試中一般以閱讀理解題、作圖題或應用題的形式存在.

解題策略是通過模仿、類比、試驗、創(chuàng)新，綜合運用所學知識，合理轉化，建立數學模型，使問題得到解決.

例5為解決中小學大額班問題，某市各縣區(qū)今年將改擴建部分中小學.某縣計劃對A，B兩類學校進行改擴建，根據預算，改擴建2所A類學校和3所B類學校共需資金7 800萬元，改擴建3所A類學校和1所B類學校共需資金5 400萬元.

（1）改擴建1所A類學校和1所B類學校分別需要的資金是多少？

（2）該縣計劃改擴建A，B兩類學校共10所，改擴建資金由國家財政和地方財政共同承擔，若國家財政撥付資金不超過11 800萬元，地方財政投入資金不少于4 000萬元，其中地方財政投入到A，B兩類學校的改擴建資金分別為每所300萬元和500萬元，試問共有哪幾種改擴建方案？

分析：（1）根據題意列方程組解決；

（2）根據題意，設A類學校有a所，則B類學校有( )

10-a所，列出不等式組，確定a的取值范圍，由此可得改擴建方案的所有可能，然后給出結果.

解：（1）設改擴建1所A類學校和1所B類學校所需資金分別為x萬元和y萬元，

答：改擴建1所A類學校需資金1 200萬元，改擴建1所B類學校需資金1 800萬元.

（2）設A類學校有a所，則B類學校有(10-a)所.

根據題意，得

解得3≤a≤5，即a的取值為3或4或5.

所以共有以下3種改擴建方案.

方案1：A類學校有3所，B類學校有7所；

方案2：A類學校有4所，B類學校有6所；

方案3：A類學校有5所，B類學校有5所.

【評析】這類問題要根據題意建立數學模型，將復雜問題條理化，使解題思路清晰，過程簡潔.對于代數問題，根據條件列出變量滿足的方程或不等式（組），解方程或不等式（組），再根據要求給出答案；幾何問題往往利用方程、不等式、三角函數和函數等知識，利用數形結合解決問題.

六、綜合開放探究題

綜合開放探究題的特征是條件、結論、解題方法都不全或未知，僅提供問題情境，需要補充條件，尋找結論，設計方法.

解決這類問題，一般是從基礎知識和基本技能入手，多角度、多層次地分析問題的特點，著力探究一因多果和一果多因，探索問題成立所必須具備的條件，或特定的條件所得到的結論，再加以解答.

例6實驗探究：（1）如圖8（1），對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN，MN.觀察圖8（1），猜想∠MBN的度數是多少？并證明你的結論.

（2）將圖8（1）中的三角形紙片BMN剪下，如圖8（2）所示，折疊該紙片，探究MN與BM的數量關系.寫出折疊方案，并結合方案證明你的結論.

圖8

分析：（1）由圖形的特點，連接AN（如圖9）.根據折疊的性質，可知△ABN是等邊三角形，再由∠NBM，∠ABM，∠ABN之間的關系解決問題；

（2）由于△BMN是直角三角形，由此折疊三角形紙片BMN，使點N落在BM上（如圖10），探究△PBM的形狀，尋找MN與BM的關系.

圖9

圖10

解：（1） ∠MBN=30°.理由如下.

如圖9，連接AN.

因為直線EF是AB的垂直平分線，點N在EF上，所以AN=BN.

由折疊可知BN=AB.

所以△ABN是等邊三角形.所以∠ABN=60°.

折疊方案：如圖10，折疊三角形紙片BMN，使點N落在BM上，并使折痕經過點M，得到折痕MP，同時得到線段PO.

理由：由折疊可知MN=OM，∠MOP=∠MNP=90°.

所以△MBP是等腰三角形.

【評析】綜合開放探究題難度較大，對學生的思維能力要求高，可培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.對于有多重的結論開放的問題，應抓住條件中那些影響結論的因素，或分類討論，或構造不同圖形，全面考慮問題的各個方面，找到正確結果；對于只給出一個特定情境，而問題的條件、結論及推理判斷過程均不確定的開放性問題，就要考慮相近或相似的題型、結論、方法，進行類比，梳理解題思路，尋找解題方法，從而使問題得到解決.

解開放探究題要認真審題，確定目標；更要深刻理解題意，開闊思路，發(fā)散思維，通過采用數形結合的方式，合理轉化問題.解題過程就是合理地轉化問題的過程，而直觀歸納與嚴格推理論證相結合是處理這類問題的基本思路和解題策略.