（江西省教育廳教學(xué)教材研究室；江西省贛州市贛州中學(xué)）

一、背景分析

自《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）頒布以來，各地區(qū)中考試題從不同角度并以不同方式體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》的理念和學(xué)習(xí)要求，在內(nèi)容、形式與考法方面做了深入、有效地探索，并且正逐步從關(guān)注分析問題、解決問題的能力的立意向關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng)的立意轉(zhuǎn)變.2018年各地區(qū)中考試題的命制比較充分地體現(xiàn)了對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》提出的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)學(xué)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)十個(gè)關(guān)鍵詞的重視，凸顯了考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn).

二、考法分析

《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容有以下幾個(gè)方面的要求：（1）結(jié)合實(shí)際情境，經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決具體問題的方案，并加以實(shí)施的過程，體驗(yàn)建立模型、解決問題的過程，并在此過程中，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題；（2）會(huì)反思參與活動(dòng)的全過程，進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；（3）通過對(duì)有關(guān)問題的探討，了解所學(xué)過知識(shí)（包括與其他學(xué)科知識(shí)）之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和能力.從上述文字中，可以理解“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)容應(yīng)是以實(shí)際情境中自然形成的問題為載體，圍繞問題的發(fā)現(xiàn)、提出、解決與應(yīng)用，突出試題的綜合性、過程性、探究性、應(yīng)用性等主要特征.

結(jié)合對(duì)2018年全國部分地區(qū)中考試卷中“綜合與實(shí)踐”類試題的研究，不難發(fā)現(xiàn)，命題者更加注重從數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面的學(xué)科核心素養(yǎng)出發(fā)，選取一些具有代表性的側(cè)重點(diǎn)進(jìn)行立意，從而呈現(xiàn)出多種形式的典型試題.下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行具體分析.

1.關(guān)注數(shù)學(xué)抽象中的表達(dá)解釋

抽象是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本特征，一切數(shù)學(xué)對(duì)象都是抽象思維的產(chǎn)物.抽象是思維的基礎(chǔ)，只有具備了一定的抽象能力，才能從感性認(rèn)識(shí)中獲得事物的本質(zhì)特征，從而上升到理性認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)抽象就深度而言大體分為三個(gè)層次：（1）把握事物的本質(zhì)，把繁雜問題簡(jiǎn)單化、條理化，能夠清晰地表達(dá)，我們稱其為簡(jiǎn)約階段；（2）去除具體的情境，利用概念、圖形、符號(hào)、關(guān)系表述不同對(duì)象之間的關(guān)聯(lián)，我們稱其為符號(hào)階段；（3）通過假設(shè)和推理建立法則、建構(gòu)模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物，我們稱其為普適階段.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的基礎(chǔ)，是學(xué)生需要具備的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng).在初中階段，對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)要求更多地體現(xiàn)在符號(hào)階段與普適階段，考查自然會(huì)側(cè)重抽象中的表達(dá)與解釋.

例1（臺(tái)灣卷）圖1為O，A，B，C四點(diǎn)在數(shù)軸上的位置圖，其中O為原點(diǎn)，且AC=1，OA=OB，若點(diǎn)C所表示的數(shù)為x，則點(diǎn)B所表示的數(shù)與下列何者相等？（ ）.

圖1

（A） -(x+1) （B） -(x-1)

（C）x+1 （D）x-1

例2（浙江·紹興卷）利用二維碼可以進(jìn)行身份識(shí)別.某校建立了一個(gè)身份識(shí)別系統(tǒng)，圖2是某位學(xué)生的識(shí)別圖案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，將第一行數(shù)字從左到右依次記為a，b，c，d，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級(jí)序號(hào)，其序號(hào)為a×23+b×22+c×21+d×20.圖中第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，序號(hào)為0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示該生為5班學(xué)生，表示6班學(xué)生的識(shí)別圖案是（ ）.

圖2

例3（江西卷）小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)歷了如下過程.

求解體驗(yàn)

（1）已知拋物線y=-x2+bx-3經(jīng)過點(diǎn)(- 1，0)，則b的值為______，頂點(diǎn)坐標(biāo)為______，該拋物線關(guān)于點(diǎn)(0 ，1)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是_____.

抽象感悟

我們定義：對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)，以y軸上的點(diǎn)M(0 ，m)為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的拋物線y′，則我們又稱拋物線y′為拋物線y的“衍生拋物線”，點(diǎn)M為“衍生中心”.

（2）已知拋物線y=-x2-2x+5關(guān)于點(diǎn)(0，m)的衍生拋物線為y′，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求m的取值范圍.

問題解決

（3）已知拋物線y=ax2+2ax-b(a≠0).

①若拋物線y的衍生拋物線為y′=bx2-2bx+a2(b≠0)，兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求a，b的值及衍生中心的坐標(biāo)；

②若拋物線y關(guān)于點(diǎn)(0 ，k+12)的衍生拋物線為y1，其頂點(diǎn)為A1；關(guān)于點(diǎn)(0 ，k+22)的衍生拋物線為y2，其頂點(diǎn)為A2；…；關(guān)于點(diǎn)(0 ，k+n2)的衍生拋物線為yn，其頂點(diǎn)為An；…（n為正整數(shù)），求AnAn+1的長(zhǎng).（用含n的式子表示）

【評(píng)析】以上三道試題在突出綜合性、過程性、探究性的同時(shí)，都體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的考查.例1以數(shù)軸為載體，綜合考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對(duì)應(yīng)、實(shí)數(shù)大小的比較、相反數(shù)，以及用字母表示數(shù)等基本概念.學(xué)生在理解基本概念的基礎(chǔ)上，直接用代數(shù)式加以表達(dá)即可，屬于數(shù)學(xué)抽象的簡(jiǎn)約階段.例2設(shè)計(jì)新穎，利用二維碼的信息構(gòu)造情境，考查學(xué)生對(duì)圖形信息的抽象提取，經(jīng)過了簡(jiǎn)單推理、用算式有序表達(dá)并運(yùn)算的轉(zhuǎn)化過程.此題中，數(shù)學(xué)抽象不再是簡(jiǎn)單表達(dá)一個(gè)結(jié)果，而是要結(jié)合新的概念、圖形的變化，用符號(hào)表述事物內(nèi)在的關(guān)系，已經(jīng)達(dá)到了數(shù)學(xué)抽象的符號(hào)階段.對(duì)于例3，學(xué)生需要通過推理建立模型，在一般意義上解釋具體事物，這顯然屬于數(shù)學(xué)抽象的普適階段.很明顯，從數(shù)學(xué)抽象的簡(jiǎn)約階段向普適階段發(fā)展，是適應(yīng)數(shù)學(xué)命題從知識(shí)立意轉(zhuǎn)向關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)立意的需要，這種命題的趨勢(shì)日益廣泛.

2.注重在問題情境中運(yùn)用邏輯推理（含合情推理）解決問題

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的思維，主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納和類比；另一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.兩類推理在解決問題的過程中有不同的功能，它們相輔相成，前者探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，后者則用于證明結(jié)論.演繹推理一直是推理能力的主要考查形式，在今后的考查中依然會(huì)延續(xù)；而合情推理會(huì)越來越得到重視，在學(xué)生的探究活動(dòng)中，通過猜測(cè)、歸納、想象、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí).在此過程中，學(xué)生的邏輯推理經(jīng)歷了從合情推理到演繹推理的過渡，關(guān)注對(duì)學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神.

例4（臺(tái)灣卷）小柔要榨果汁，她有蘋果、芭樂、柳丁三種水果，且其顆數(shù)比為9∶7∶6，小柔榨完果汁后，蘋果、芭樂、柳丁的顆數(shù)比變?yōu)?∶3∶4，已知小柔榨果汁時(shí)沒有使用柳丁，關(guān)于她榨果汁時(shí)另外兩種水果的使用情形，下列敘述何者正確？（ ）.

（A）只使用蘋果

（B）只使用芭樂

（C）使用蘋果及芭樂，且使用的蘋果顆數(shù)比使用的芭樂顆數(shù)多

（D）使用蘋果及芭樂，且使用的芭樂顆數(shù)比使用的蘋果顆數(shù)多

例5（山東·濱州卷）觀察下列各式：

……

例6（河北卷）如圖3，階梯圖的每個(gè)臺(tái)階上都標(biāo)著一個(gè)數(shù)，從下到上的第1個(gè)至第4個(gè)臺(tái)階上依次標(biāo)著-5，-2，1，9，且任意相鄰四個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和都相等.

圖3

嘗試：（1）求前4個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和是多少？

（2）求第5個(gè)臺(tái)階上的數(shù)x是多少？

應(yīng)用：求從下到上前31個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和.

發(fā)現(xiàn)：試用含k（k為正整數(shù)）的式子表示出數(shù)“1”所在的臺(tái)階數(shù).

例7（黑龍江·伊春卷）如圖4，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個(gè)等邊三角形AB1C1；再以等邊三角形AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個(gè)等邊三角形AB2C2；再以等邊三角形AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個(gè)等邊三角形AB3C3；……記△B1CB2的面積為S1，△B2C1B3的面積為S2，△B3C2B4的面積為S3，如此下去，則Sn的值為_______.

圖4

【評(píng)析】以上四道試題分別從量的關(guān)系、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征和運(yùn)算特點(diǎn)、圖形變化的角度考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探究規(guī)律、表達(dá)規(guī)律的能力.

例4主要考查了比例的性質(zhì)，求出榨汁后蘋果和芭樂的數(shù)量是解題的關(guān)鍵.這道題的亮點(diǎn)在于不僅可以通過計(jì)算得出答案，還可以用邏輯推理找到答案.榨汁前，蘋果∶芭樂∶柳丁=9∶7∶6，榨汁后，蘋果∶芭樂∶柳丁=6∶3∶4，觀察前后的比值會(huì)發(fā)現(xiàn)，芭樂的數(shù)量明顯減少，而蘋果與柳丁的比值前后沒有發(fā)生變化.由已知沒有使用柳丁，所以蘋果也沒有使用，可推出選擇B.對(duì)于此題，學(xué)生通過閱讀，理清關(guān)系之后，不需要運(yùn)算，直接推理即可得到答案.

例5首先觀察根式運(yùn)算結(jié)果的表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征，找到相應(yīng)的表達(dá)規(guī)律，再用裂項(xiàng)相消求和計(jì)算出前三個(gè)代數(shù)式的和，再用合情推理寫出前十項(xiàng)的和.

例6主要考查數(shù)的運(yùn)算規(guī)律及排列規(guī)律.解題的關(guān)鍵是根據(jù)任意相鄰四個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和都相等，得出臺(tái)階上的數(shù)字是每4個(gè)一循環(huán).試題以嘗試、應(yīng)用、發(fā)現(xiàn)為設(shè)計(jì)主線，引導(dǎo)學(xué)生通過前4個(gè)數(shù)的和求出第5個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而求出前31個(gè)數(shù)的和.此題需要運(yùn)用合情推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用代數(shù)式表達(dá)出來，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

例7構(gòu)圖精美，通過一系列的圖形變化，引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)變化的規(guī)律，先用合情推理找到所求的三角形均為相似三角形，再用邏輯推理證明求解，考查了等邊三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，最后也是轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積計(jì)算來解題.

以上四道試題都是在不同的問題情境中，以不同的形式考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理兩個(gè)方面的學(xué)科核心素養(yǎng).同類試題還有很多，如黑龍江齊齊哈爾卷、山東威海卷中存在對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律的探索的試題，山東濰坊卷中存在對(duì)弧長(zhǎng)規(guī)律的探索的試題等.對(duì)于此類試題，學(xué)生只要能正確理解題意，把規(guī)律正確表達(dá)出來，推理嚴(yán)密，運(yùn)算準(zhǔn)確就不會(huì)丟分.一般對(duì)中等偏上難度的試題，學(xué)生的解題障礙主要體現(xiàn)在規(guī)律的發(fā)現(xiàn)上，由于找不到規(guī)律，不能表達(dá)出規(guī)律，從而無從下手，所以要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的歸納概括等合情推理能力的培養(yǎng).

3.重視數(shù)學(xué)建模中的建模過程

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.數(shù)學(xué)建模主要包括：在實(shí)際情境中，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、求解結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)果，并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題.它是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，特別是體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，即利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象并解決問題；反過來，把現(xiàn)實(shí)生活中與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決.綜合與實(shí)踐活動(dòng)作為培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的良好途徑，其建模過程尤其值得重視.

例8（江西卷）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)實(shí)施產(chǎn)業(yè)扶貧，幫助貧困戶承包了荒山種植某品種蜜柚.到了收獲季節(jié)，已知該蜜柚的成本價(jià)為8元/千克，投入市場(chǎng)銷售時(shí)，調(diào)查市場(chǎng)行情，發(fā)現(xiàn)該蜜柚銷售不會(huì)虧本，且每天銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖5所示.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（2）當(dāng)該品種的蜜柚定價(jià)為多少時(shí)，每天銷售獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

（3）某農(nóng)戶今年共采摘蜜柚4 800千克，該品種蜜柚的保質(zhì)期為40天，根據(jù)（2）中獲得最大利潤(rùn)的方式進(jìn)行銷售，能否銷售完這批蜜柚？試說明理由.

圖5

例9（北京卷）圖6是老北京城一些地點(diǎn)的分布示意圖.在圖中，分別以正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，有如下四個(gè)結(jié)論.

圖6

①當(dāng)表示天安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0 ，0)，表示廣安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-6，-3)時(shí)，表示左安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(5 ，-6 )；

②當(dāng)表示天安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0 ，0)，表示廣安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-12，-6)時(shí)，表示左安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1 0 ，-12 )；

③當(dāng)表示天安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1 ， 1)，表示廣安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(- 11，-5)時(shí)，表示左安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1 1 ，-11)；

④當(dāng)表示天安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1 . 5，1.5)，表示廣安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(- 16.5，-7.5)時(shí)，表示左安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1 6 .5，-16.5).

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）.

（A）①②③ （B）②③④

（C）①④ （D）①②③④

例10（江西卷）圖7（1）是一種折疊門，由上下軌道和兩扇長(zhǎng)寬相等的活頁門組成，整個(gè)活頁門的右軸固定在門框上，通過推動(dòng)左側(cè)活頁門進(jìn)行開關(guān).圖7（2）是其俯視圖簡(jiǎn)化示意圖，已知軌道AB=120 cm，兩扇活頁門的寬OC=OB=60 cm，點(diǎn)B固定，當(dāng)點(diǎn)C在AB上左右運(yùn)動(dòng)時(shí)，OC與OB的長(zhǎng)度不變.（所有結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

（1）若∠OBC=50°，求AC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng)60 cm時(shí)，求點(diǎn)O在此過程中運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14.

圖7

【評(píng)析】例8直接考查學(xué)生在實(shí)際情境中理解變量之間的關(guān)系，建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的考查.

例9在給定的地點(diǎn)分布圖中，通過點(diǎn)的平移，考查平面直角坐標(biāo)系的概念，以及原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度等基本要素，要求學(xué)生在不同選項(xiàng)的情境之下，正確建立平面直角坐標(biāo)系，寫出正確的點(diǎn)的坐標(biāo)，這其實(shí)就是建模的過程.對(duì)坐標(biāo)的考查，通常的考法是在平面直角坐標(biāo)系中給定圖形或者求運(yùn)動(dòng)后圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)，而此題卻反過來通過點(diǎn)的坐標(biāo)的不斷變化，重新確定平面直角坐標(biāo)系的位置，考查的角度有創(chuàng)新，更突出對(duì)建模的過程的考查.

例10是實(shí)際情境應(yīng)用問題，要解決這個(gè)問題，需要考查學(xué)生兩次建模的過程.第一次建模是把實(shí)際情境中的折疊門底部邊框之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)圖形，與實(shí)際的門框建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解數(shù)學(xué)圖形中的邊、角關(guān)系，建構(gòu)等腰三角形；第二次建模的過程是在第（2）小題中，尋找點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑是怎樣的圖形，點(diǎn)O隨著點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，變中不變的量是OB的長(zhǎng)度，從而建構(gòu)基本圖形為扇形，只要求出扇形的弧長(zhǎng)即可.

例9和例10在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)建模的考法的基礎(chǔ)上，既強(qiáng)化模型的建立，又強(qiáng)調(diào)其建立的過程，充分體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的考查.

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查更注重對(duì)算法、算理的理解與運(yùn)用

數(shù)學(xué)運(yùn)算主要是指依據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行正確的運(yùn)算，具體表現(xiàn)在理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，形成程序化思維.培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算方法解決問題.

例11（湖北·隨州卷）我們知道，有理數(shù)包括整數(shù)、有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，事實(shí)上，所有的有理數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)形式（整數(shù)可看作分母為1的分?jǐn)?shù)），那么無限循環(huán)小數(shù)如何表示為分?jǐn)?shù)形式呢？請(qǐng)看以下示例.

則10x=7.777….②

根據(jù)以上閱讀，回答下列問題.（以下計(jì)算結(jié)果均用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示.）

基礎(chǔ)訓(xùn)練

能力提升

探索發(fā)現(xiàn)

原式=a2+2ab-(a2-b2)（第一步）

=a2+2ab-a2-b2（第二步）

=2ab-b2（第三步）

（1）該同學(xué)解答過程從第______步開始出錯(cuò)，錯(cuò)誤原因是___________；

（2）寫出此題正確的解答過程.

例13（河北卷）老師設(shè)計(jì)了接力游戲，用合作的方式完成分式化簡(jiǎn).規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化簡(jiǎn)，過程如圖8所示.接力中，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯(cuò)誤的是（ ）.

圖8

（A）只有乙 （B）甲和丁

（C）乙和丙 （D）乙和丁

【評(píng)析】例11通過示例給出循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的算法，要求學(xué)生在理解算法的基礎(chǔ)上完成不同層次的應(yīng)用與拓展.例12和例13分別以整式化簡(jiǎn)、分式化簡(jiǎn)的運(yùn)算過程中常見的錯(cuò)誤類型進(jìn)行逆向設(shè)計(jì)，直接給出錯(cuò)誤的運(yùn)算過程，讓學(xué)生運(yùn)用算法和算理進(jìn)行推理判斷，找到錯(cuò)誤的原因，寫出正確的運(yùn)算過程.這三道題在傳統(tǒng)的直接考查求值運(yùn)算的基礎(chǔ)上有所創(chuàng)新，著重考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算法則的理解及應(yīng)用能力，更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要作用，有正向的教學(xué)導(dǎo)向.

5.體現(xiàn)直觀想象中的幾何直觀

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，借助幾何圖形描述問題，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題.具體表現(xiàn)在通過幾何直觀使問題形象化和直觀化，建立數(shù)與形的聯(lián)系；運(yùn)用空間想象更清晰地認(rèn)識(shí)事物.主要包括借助圖形的位置、形狀變化、運(yùn)動(dòng)規(guī)律，利用圖形描述來分析數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明，進(jìn)而探索解決問題的思路.近幾年中考數(shù)學(xué)試題體現(xiàn)了從圖形變化的角度整體認(rèn)識(shí)圖形的特征，并不斷強(qiáng)化“以形釋數(shù)”的幾何直觀的考查.

例14（浙江·嘉興卷）小紅幫弟弟蕩秋千（如圖9（1）），秋千離地面的高度h（m）與擺動(dòng)時(shí)間t（s）之間的關(guān)系如圖9（2）所示.

（1）根據(jù)函數(shù)的定義，試判斷變量h是否為關(guān)于t的函數(shù)？

（2）結(jié)合圖象回答：

①當(dāng)t=0.7 s時(shí)，h的值是多少？并說明它的實(shí)際意義.

②秋千擺動(dòng)第一個(gè)來回的時(shí)間需要多少？

圖9

例15（臺(tái)灣卷）如圖10為一直棱柱，其底面是三邊長(zhǎng)為5，12，13的直角三角形.若下列選項(xiàng)中的圖形均由三個(gè)矩形與兩個(gè)直角三角形組合而成，且其中一個(gè)為如圖所示的直棱柱的展開圖，則根據(jù)圖形中標(biāo)示的邊長(zhǎng)與直角記號(hào)判斷，此展開圖為何？（ ）.

例16（北京卷）跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目之一.運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運(yùn)動(dòng)員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx+c(a≠0).圖11記錄了某運(yùn)動(dòng)員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離為（ ）.

（A）10 m （B）15 m

（C）20 m （D）22.5 m

圖11

圖12

例17（江西卷）小軍同學(xué)在網(wǎng)格紙上將某些圖形進(jìn)行平移操作，他發(fā)現(xiàn)平移前后的兩個(gè)圖形所組成的圖形可以是軸對(duì)稱圖形.如圖12，現(xiàn)在他將正方形ABCD從當(dāng)前位置開始進(jìn)行一次平移操作，平移后的正方形的頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上，則使平移前后的兩個(gè)正方形組成軸對(duì)稱圖形的平移方向有（ ）.

（A）3個(gè) （B）4個(gè)

（C）5個(gè) （D）無數(shù)個(gè)

【評(píng)析】例14通過直觀化表達(dá)蕩秋千這一過程中高度與時(shí)間的關(guān)系，考查函數(shù)的概念，理解函數(shù)模型，并能根據(jù)模型解釋實(shí)際意義，需要學(xué)生運(yùn)用幾何直觀幫助理解蕩秋千過程與圖形變化之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而理解圖形中的數(shù)量關(guān)系.

例15是考查一個(gè)底面為直角三角形的直棱柱的側(cè)面展開圖，需借助空間想象還原操作.但是底部直角三角形的設(shè)置給直接還原加大了難度，需要結(jié)合底部直角三角形的角和邊的關(guān)系進(jìn)一步推理判斷，考查學(xué)生的幾何直觀與空間想象能力.

例16根據(jù)實(shí)際情境直接給出二次函數(shù)的模型，給出二次函數(shù)圖象上三個(gè)點(diǎn)的位置，考查學(xué)生運(yùn)用函數(shù)的對(duì)稱性和增減性進(jìn)行直觀地推理和判斷并得出結(jié)果，充分體現(xiàn)了利用圖形分析和解決問題的考查目標(biāo).

例17給定的網(wǎng)格紙及正方形頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的條件限制，使得學(xué)生可以根據(jù)軸對(duì)稱的特點(diǎn)直接運(yùn)用幾何直觀，觀察分析得出使平移前后的兩個(gè)正方形組成軸對(duì)稱圖形的平移方向有5個(gè).幾何直觀是進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，直觀想象又在邏輯推理過程中發(fā)揮重要的作用，借助直觀想象觀察圖形、分析問題、發(fā)現(xiàn)解題途徑.理解數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方式，如何在命題過程中使之更好地體現(xiàn)出來，值得我們?nèi)ゲ粩嗟靥剿?

6.突出數(shù)據(jù)分析的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值

數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心，具體表現(xiàn)在收集和整理數(shù)據(jù)，理解和處理數(shù)據(jù)，提取信息與構(gòu)建模型，合情推理和解釋結(jié)論.綜觀2018年中考試題，數(shù)據(jù)分析類綜合試題呈現(xiàn)出弱化計(jì)算、重視對(duì)統(tǒng)計(jì)量意義的理解的特點(diǎn)，更加關(guān)注利用數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行決策、評(píng)估和預(yù)測(cè).

例18（江蘇·南京卷）某排球隊(duì)6名場(chǎng)上隊(duì)員的身高（單位：cm）是：180，184，188，190，192，194.現(xiàn)用一名身高為186 cm的隊(duì)員換下場(chǎng)上身高為192cm的隊(duì)員，與換人前相比，場(chǎng)上隊(duì)員的身高（ ）.

（A）平均數(shù)變小，方差變小

（B）平均數(shù)變小，方差變大

（C）平均數(shù)變大，方差變小

（D）平均數(shù)變大，方差變大

例19（黑龍江·齊齊哈爾卷）我們家鄉(xiāng)的黑土地全國特有，肥沃的土壤、綠色的水源是優(yōu)質(zhì)大米得天獨(dú)厚的生長(zhǎng)條件，因此黑龍江的大米在全國受到廣泛歡迎.小明在平價(jià)米店記錄了一周中不同包裝（10 kg，20 kg，50 kg）的大米的銷售量（單位：袋）如下：10 kg裝100袋；20 kg裝220袋；50 kg裝80袋，如果每千克大米的進(jìn)價(jià)和銷售價(jià)都相同，則米店老板最應(yīng)該關(guān)注的是這些數(shù)據(jù)（袋數(shù)）中的（ ）.

（A）眾數(shù) （B）平均數(shù)

（C）中位數(shù) （D）方差

例20（北京卷）從甲地到乙地有A，B，C三條不同的公交線路.為了解早高峰期間這三條線路上的公交車從甲地到乙地的用時(shí)情況，在每條線路上隨機(jī)選取了500個(gè)班次的公交車，收集了這些班次的公交車用時(shí)（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如表1所示.

表1

早高峰期間，乘坐_____（填“A”“B”或“C”）線路上的公交車，從甲地到乙地“用時(shí)不超過45分鐘”的可能性最大.

例21（江西卷）4月23日是世界讀書日，習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣.”某校響應(yīng)號(hào)召，鼓勵(lì)師生利用課余時(shí)間廣泛閱讀，該校文學(xué)社為了解學(xué)生課外閱讀的情況，抽樣調(diào)查了部分學(xué)生每周用于課外閱讀的時(shí)間，過程如下：

收集數(shù)據(jù)

從學(xué)校隨機(jī)抽取20名學(xué)生，進(jìn)行了每周用于課外閱讀時(shí)間的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下（單位：min）：

30 60 81 50 40 110 130 146 90 100

60 81 120 140 70 81 10 20 100 81

整理數(shù)據(jù)

按如下分段整理樣本數(shù)據(jù)并補(bǔ)全表2.

表2

分析數(shù)據(jù)

補(bǔ)全表3中的統(tǒng)計(jì)量.

表3

得出結(jié)論

（1）用樣本中的統(tǒng)計(jì)量估計(jì)該校學(xué)生每周用于課外閱讀時(shí)間的情況等級(jí)為_______；

（2）如果該?，F(xiàn)有學(xué)生400人，估計(jì)等級(jí)為“B”的學(xué)生人數(shù)有多少？

（3）假設(shè)平均閱讀一本課外書的時(shí)間為160分鐘，試選擇一種統(tǒng)計(jì)量估計(jì)該校學(xué)生每人一年（按52周計(jì)算）平均閱讀課外書的本數(shù)為多少？

例22（四川·綿陽卷）綿陽某公司銷售部統(tǒng)計(jì)了每個(gè)銷售員在某月的銷售額，繪制了如圖13所示的折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.

圖13

設(shè)銷售員的月銷售額為x（單位：萬元）.銷售部規(guī)定：當(dāng)x＜16時(shí)，為“不稱職”；當(dāng)16≤x＜20時(shí)，為“基本稱職”；當(dāng)20≤x＜25時(shí)，為“稱職”；當(dāng)x≥25時(shí)，為“優(yōu)秀”.根據(jù)以上信息，解答下列問題.

（1）補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）求所有“稱職”和“優(yōu)秀”的銷售員月銷售額的中位數(shù)和眾數(shù)；

（3）為了調(diào)動(dòng)銷售員的積極性，銷售部決定制定一個(gè)月銷售額獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)，凡月銷售額達(dá)到或超過這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的銷售員將獲得獎(jiǎng)勵(lì).如果要使得所有“稱職”和“優(yōu)秀”的銷售員的一般人員能獲獎(jiǎng)，月銷售額獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為多少（結(jié)果取整數(shù)）？并簡(jiǎn)述其理由.

【評(píng)析】上述五道試題主要從學(xué)生熟悉的生活，或者社會(huì)經(jīng)濟(jì)背景，或者社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問題等方面進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和處理.例18～例20考查的是平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)、頻數(shù)等概念，考查方式都有新意，不是直接給出幾個(gè)數(shù)據(jù)來求解，而是創(chuàng)設(shè)合理的情境，在具體的情境中正確理解平均數(shù)，方差、眾數(shù)、頻數(shù)的概念及作用，進(jìn)行有效的分析和解決問題，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析的實(shí)際意義及價(jià)值.例21呈現(xiàn)了從調(diào)查抽樣，到收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、應(yīng)用數(shù)據(jù)的完整過程，充分體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)的推斷作用和應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)也真正考查了統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際意義，以及利用樣本估計(jì)總體的思想.例22要求結(jié)合折線圖、扇形圖給出的綜合信息進(jìn)行解答，考查了學(xué)生讀圖、釋圖的能力，更加關(guān)注利用數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行決策，真正體現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)的作用.

三、復(fù)習(xí)建議

通過對(duì)2018年部分地區(qū)中考試題關(guān)于“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容的分析，可以看出，其特點(diǎn)在于重視考查學(xué)生在具體的情境中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析與解決問題的能力，強(qiáng)調(diào)“知識(shí)的形成、應(yīng)用過程，問題方法的解決”和“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”在評(píng)價(jià)中的滲透，更加側(cè)重于對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的強(qiáng)化與培養(yǎng).

展望2019年中考，為了更好地落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》的理念，也為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和發(fā)展考慮，中考應(yīng)更加關(guān)注對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.中考試題呈現(xiàn)出如下特點(diǎn)：從感性到理性，運(yùn)用符號(hào)表達(dá)，逐步體現(xiàn)對(duì)抽象全過程的考查；從簡(jiǎn)單推理，逐步增加合情推理和對(duì)邏輯推理能力的考查；從單純的模型應(yīng)用，逐步向建模過程的綜合應(yīng)用考查；從將運(yùn)算作為工具的考查，逐步向考查算理和算理的應(yīng)用側(cè)重；從簡(jiǎn)單的圖形描述和分析發(fā)展到利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)問題；從統(tǒng)計(jì)量和統(tǒng)計(jì)圖表的考查逐步向注重?cái)?shù)據(jù)分析傾斜.我們可以看到，無論是日常教學(xué)，還是中考，都在完成更深層次的轉(zhuǎn)型，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為目標(biāo)，回歸教育本源，真正實(shí)現(xiàn)對(duì)人的培養(yǎng).

針對(duì)這種情況，為了更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，建議2019年中考備考復(fù)習(xí)過程中應(yīng)注意如下幾個(gè)問題.

1.注重基礎(chǔ)，提升能力

通過平時(shí)的教學(xué)可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)薄弱會(huì)直接導(dǎo)致對(duì)概念分辨不清，基本運(yùn)算出錯(cuò)，以及解題方法失誤.因此，在平時(shí)的教學(xué)及總復(fù)習(xí)中，一定要立足教材，回到基礎(chǔ)之中，加強(qiáng)變式教學(xué)與訓(xùn)練，對(duì)教材中的典型例題和習(xí)題多引申、多研究，引導(dǎo)學(xué)生理清知識(shí)體系，幫助他們建立基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，真正做到落實(shí)基礎(chǔ).中考試題新題倍出，題目對(duì)每名學(xué)生來說都是公平的，而學(xué)生在解答試題時(shí)需要具備豐富的知識(shí)背景、豐富的知識(shí)與問題間的鏈接，甚至要選擇出創(chuàng)造性的鏈接方式.這就要求教師在教學(xué)中的認(rèn)知活動(dòng)必須是全面的，要注重揭示知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程、暴露掌握知識(shí)的思維過程，使學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)真正有機(jī)會(huì)經(jīng)歷基本認(rèn)知過程，在此過程中使學(xué)生的思維得到訓(xùn)練，能力得到發(fā)展.

2.注重實(shí)際，學(xué)用結(jié)合

《標(biāo)準(zhǔn)》特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)背景的現(xiàn)實(shí)性和數(shù)學(xué)化，以學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活為問題的背景，讓學(xué)生從具體的問題情境中抽象出數(shù)量關(guān)系，歸納出變化規(guī)律，并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，最終解決實(shí)際問題.在教學(xué)和復(fù)習(xí)中，若學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)薄弱，教師應(yīng)時(shí)常關(guān)注大環(huán)境和社會(huì)生活實(shí)際這兩個(gè)方面，編擬一些貼近生活、貼近實(shí)際的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，引導(dǎo)學(xué)生在問題解決的過程中，充分體會(huì)數(shù)學(xué)與人類社會(huì)的密切聯(lián)系，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解，啟迪他們平時(shí)關(guān)心生活、關(guān)心社會(huì)，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、感悟、內(nèi)化和概括生活中的現(xiàn)象，形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)能力.

3.注重過程，培養(yǎng)意識(shí)

在教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生探索圖形與空間的性質(zhì)和變化規(guī)律，重視發(fā)展學(xué)生的空間觀念和直覺；在直覺發(fā)現(xiàn)、探究交流和逐步的有條理的思考過程中，自然引導(dǎo)學(xué)生閱讀、觀察、類比、猜想、證明，由特殊到一般，經(jīng)歷自主學(xué)習(xí)、探索研究的過程，體現(xiàn)全面的數(shù)學(xué)觀，體會(huì)證明的必要性；重視知識(shí)的形成、發(fā)展過程，解題思路的探索過程，注重思維；教學(xué)中加強(qiáng)過程教學(xué)，真正做到結(jié)論與過程并重，并能應(yīng)用這種探究思路和類比遷移的數(shù)學(xué)思想，去觀察、發(fā)現(xiàn)錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)世界，提升學(xué)生的探究意識(shí).

4.注重探究，創(chuàng)新實(shí)踐

《標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)，給出證明或舉出反例，這就意味著探究性學(xué)習(xí)內(nèi)容已列入考試評(píng)價(jià).其實(shí)這種新型的學(xué)習(xí)形式已在中考試題中得到充分體現(xiàn).因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究與創(chuàng)新實(shí)踐強(qiáng)化邏輯思維與空間想象力，在操作的過程中還要培養(yǎng)手腦并用的思維習(xí)慣，并注重在動(dòng)態(tài)的操作中進(jìn)一步培養(yǎng)探究數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)變量之間的相互依存關(guān)系和內(nèi)在聯(lián)系，從而找到解決問題的途徑、方法和策略，體驗(yàn)實(shí)踐與探究的樂趣.

四、試題編擬

圖14

（A）0 （B）1

（C）2 （D）5

2.在一個(gè)月的時(shí)間內(nèi)（以30天計(jì)算），小紅統(tǒng)計(jì)自己每天搶紅包的個(gè)數(shù)，得出平均每天搶10個(gè)紅包，統(tǒng)計(jì)其中一天所得紅包具體金額為：0.23，0.25，0.17，0.25，0.03，0.25，0.17，0.25，1.1，0.6（單位：元）.

（1）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量：平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）已知每10 KB的流量費(fèi)為0.01元，其中每搶3個(gè)紅包消耗的流量約為1MB，請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，通過計(jì)算說明該月所搶紅包收益最多時(shí)是否夠支付相應(yīng)的流量費(fèi)用？（溫馨提示：每月以30天計(jì)算，1MB=1024KB.）

圖15

（1）求出k甲的值，并用含m的代數(shù)式表示k乙.

（2）當(dāng)購買總金額m（元）在200≤m＜400的條件下時(shí)，指出甲、乙兩家商場(chǎng)正在采取的促銷方案分別是什么？

（3）品牌、質(zhì)量、規(guī)格等都相同的某種商品，在甲、乙兩家商場(chǎng)的標(biāo)價(jià)都是m( )200≤m＜400元，你認(rèn)為選擇哪家商場(chǎng)購買該商品花錢少些？并說明理由.

4.如圖16（1），在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是正方形內(nèi)兩點(diǎn)，BE∥DF，EF⊥BE.為探索研究這個(gè)圖形的特殊性質(zhì)，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組經(jīng)歷如下過程：

初步經(jīng)驗(yàn)

（1）如圖16（1），若BE=DF，求證：EF與BD互相平分.

規(guī)律探究

（2）在圖16（1）中，(BE+DF)2+EF2=_____AB2；

（3）如圖16（2），若BE≠DF時(shí)，其他條件不變，（2）中的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化？如果不會(huì)，證明你的結(jié)論；如果會(huì)發(fā)生變化，說明理由.

拓展應(yīng)用

圖16

5. 如圖17，在△ABC中，∠A=∠ABC=72°，∠ABA1=∠A1BC.

圖17

發(fā)現(xiàn)證明

引申探索

（2）求AB∶AC的值.

歸納應(yīng)用

（3）設(shè)BC=a，∠ABA1=∠BA1B1=∠A1B1A2=∠B1A2B2=∠A2B2A3=∠B2A3B3=…=36°，依此規(guī)律，求以下問題.

①∠AnBn-1C的度數(shù)為______（n為大于1的整數(shù)）；

②求An-1An的長(zhǎng)（用含a，n的代數(shù)式表示，n為大于1的整數(shù)）.