（河南省商丘市第六中學(xué)）

隨著近幾年大數(shù)據(jù)概念的興起和普及，通過數(shù)據(jù)分析，得出一個隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小，從而做出正確判斷，越來越普遍的應(yīng)用在我們的生活當(dāng)中.根據(jù)初中學(xué)段學(xué)生的心理特征，以研究簡單隨機(jī)事件的概率為主，在研究過程中加深學(xué)生對概念的認(rèn)識，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)分析問題、解決問題的意識和能力，從而使學(xué)生學(xué)會做出決策，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、試題命制標(biāo)準(zhǔn)、角度分析

整合2018年全國各地區(qū)中考試卷中與事件的概率相關(guān)的試題，發(fā)現(xiàn)其符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的規(guī)定，主要從五個點進(jìn)行考查，即會區(qū)分不同事件發(fā)生的可能性；會通過直接列舉求不確定事件的概率；會用列表法、畫樹狀圖法求不確定事件的概率；能用頻率估計概率；統(tǒng)計與概率的結(jié)合.試題難度較低，學(xué)生得分率較高.

二、特色試題分析

2018年全國各地區(qū)中考試卷中關(guān)于事件的概率的試題，內(nèi)容突出關(guān)注社會熱點、彰顯數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化、走進(jìn)學(xué)生身邊、趣味游戲、競技體育知識、聯(lián)系實際等.試題有相對集中的內(nèi)在特點.

1.考查概率概念的常識性應(yīng)用，重在理解

例1（四川·南充卷）下列說法正確的是（ ）.

（A）調(diào)查某班學(xué)生的身高情況，適宜采用全面調(diào)查

（B）籃球隊員在罰球線上投籃兩次都未投中，這是不可能事件

（C）天氣預(yù)報說明天的降水概率為95%，意味著明天一定下雨

（D）小南拋擲兩次硬幣都是正面向上，說明拋擲硬幣正面向上的概率是1

答案：A.

例2（山東·淄博卷）下列語句描述的事件中，是隨機(jī)事件的為（ ）.

（A）水能載舟，亦能覆舟

（B）只手遮天，偷天換日

（C）瓜熟蒂落，水到渠成

（D）心想事成，萬事如意

答案：D.

【評析】以上兩道試題主要對事件的分類和概率的意義進(jìn)行考查.對事件的分類需要正確理解隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件等相關(guān)概念.概率的意義主要是大量重復(fù)某實驗，平均每幾次就有一次事件A發(fā)生，則事件A發(fā)生的概率為幾分之一，概率是事件本身所固有的性質(zhì).在學(xué)習(xí)過程中，概率是一個與確定數(shù)學(xué)有明顯差異的不好理解的概念.因此，學(xué)習(xí)過程中一定要注意對概念進(jìn)行有效的思考、討論，千萬不能死記硬背，理解了才能靈活運用.

2.直接列舉求簡單隨機(jī)事件的概率，突出基本技能

例3（湖北·宜昌卷）在“綠水青山就是金山銀山”這句話中任選一個漢字，這個字是“綠”的概率為（ ）.

答案：B.

例4（山東·聊城卷）某十字路口設(shè)有交通信號燈，東西向信號燈的開啟規(guī)律如下：紅燈開啟30秒后關(guān)閉，緊接著黃燈開啟3秒后關(guān)閉，再緊接著綠燈開啟42秒，按此規(guī)律循環(huán)下去.如果不考慮其他因素，當(dāng)一輛汽車沿東西方向隨機(jī)地行駛到該路口時，遇到綠燈的概率是______.

例5（四川·成都卷）漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶.如圖1所示的弦圖中，四個直角三角形都是全等的，它們的兩直角邊之比均為2∶3.現(xiàn)隨機(jī)向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為____.

圖1

【評析】以上三道試題分別涉及時政熱點、身邊安全和傳統(tǒng)文化，讓學(xué)生體會到簡單隨機(jī)事件就在我們身邊，試題背景非常新穎，貼近學(xué)生生活.不管是傳統(tǒng)的幾種問題情境（如摸球、轉(zhuǎn)盤、擲骰子、拋硬幣），還是生活化背景，都旨在考查學(xué)生對簡單隨機(jī)事件概率問題本質(zhì)的理解.使學(xué)生樹立模型思想，學(xué)會用模型去刻畫生活.

3.用列表法、畫樹狀圖法求不確定事件的概率，突出能力

例6（浙江·湖州卷）某居委會組織兩個檢查組，分別對“垃圾分類”和“違規(guī)停車”的情況進(jìn)行抽查.各組隨機(jī)抽取轄區(qū)內(nèi)某三個小區(qū)中的一個進(jìn)行檢查，則兩個組合恰好抽到同一個小區(qū)的概率是（ ）.

答案：C.

例7（江蘇·連云港卷）湯姆斯杯世界男子羽毛球團(tuán)體賽小組賽比賽規(guī)則：兩隊之間進(jìn)行五局比賽，其中三局單打，兩局雙打，五局比賽必須全部打完，贏得三局及以上的隊獲勝.假如甲、乙兩隊每局獲勝的機(jī)會相同.

（1）若前四局雙方戰(zhàn)成2∶2，那么甲隊最終獲勝的概率是_______；

（2）現(xiàn)甲隊在前兩局比賽中已取得2∶0的領(lǐng)先，那么甲隊最終獲勝的概率是多少？

例8（山東·青島卷）小明和小亮計劃暑期結(jié)伴參加志愿者活動.小明想?yún)⒓泳蠢戏?wù)活動，小亮想?yún)⒓游拿鞫Y儀宣傳活動.他們想通過做游戲來決定參加哪個活動，于是小明設(shè)計了一個游戲，游戲規(guī)則是：在三張完全相同的卡片上分別標(biāo)記4，5，6三個數(shù)字，一人先從三張卡片中隨機(jī)抽出一張，記下數(shù)字后放回，另一人再從中隨機(jī)抽出一張，記下數(shù)字，若抽出的兩張卡片標(biāo)記的數(shù)字之和為偶數(shù)，則按照小明的想法參加敬老服務(wù)活動，若抽出的兩張卡片標(biāo)記的數(shù)字之和為奇數(shù)，則按照小亮的想法參加文明禮儀宣傳活動.你認(rèn)為這個游戲公平嗎？試說明理由.

對于古典概型中的簡單概率問題，不管用哪種方法，都要在等可能性的前提之下.

4.用頻率估計概率，揭示頻率和概率的本質(zhì)關(guān)系，重視實驗

例9（江蘇·常州卷）中華文化源遠(yuǎn)流長，圖2是中國古代文化符號的太極圖，圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于圓心中心對稱.在圓內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取黑色部分的概率是________.

圖2

例10（湖南·郴州卷）某瓷磚廠在相同條件下抽取部分瓷磚做耐磨實驗，結(jié)果如表1所示.

表1

則這個廠生產(chǎn)的瓷磚是合格品的概率估計值是____.（精確到0.01.）

答案：0.95.

例11（湖南·永州卷）在一個不透明的盒子中裝有n個球，它們除了顏色之外其他都沒有區(qū)別，其中含有3個紅球，每次摸球前，將盒中所有的球搖勻，然后隨機(jī)摸出1個球，記下顏色后再放回盒中.通過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.03，那么可以推算出n的值大約是________.

答案：100.

【評析】以上三道試題揭示的都是大數(shù)定律，即在大量重復(fù)實驗的情況下，頻率的穩(wěn)定值即為概率值.這是統(tǒng)計與概率之間的紐帶.例9是將幾何概型轉(zhuǎn)化為古典概型，由于這是一個中心對稱圖形，黑色部分占一半，推得取自黑色區(qū)域的概率值.例10隨著實驗次數(shù)的增加，頻率會穩(wěn)定在某一數(shù)值附近，它就是事件發(fā)生的概率.這里還考查了學(xué)生通過圖表獲取信息、分析數(shù)據(jù)的能力.例11還涉及方程思想.對于這類用頻率估計概率的問題，不能靠講，教師不妨選取有代表性的、易于操作的問題，拿出時間讓學(xué)生親自實驗，雖然會花費很多時間，但是學(xué)生在這一過程中體驗了頻率與概率的關(guān)系、激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣、積累了寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗、提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這才是我們真正追求的.

5.統(tǒng)計與概率結(jié)合解決實際問題，旨在應(yīng)用

例12（四川·遂寧卷）學(xué)習(xí)習(xí)近平總書記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)重要講話，牢固樹立“綠水青山就是金山銀山”的科學(xué)觀，讓環(huán)保理念深入到學(xué)校.某校張老師為了了解本班學(xué)生3月植樹成活情況，對本班全體學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果分為三類：A：好；B：中；C：差.

試根據(jù)圖3、圖4中的信息，解答下列問題.

（1）求全班學(xué)生總?cè)藬?shù)；

（2）將如圖3所示的條形統(tǒng)計圖與如圖4所示的扇形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；

圖3

圖4

（3）張老師在班上隨機(jī)抽取了4名學(xué)生，其中A類1人、B類2人、C類1人，若再從這4人中隨機(jī)抽取2人，試用畫樹狀圖或列表法求出全是B類學(xué)生的概率.

答案：（1）40人；

（2）補(bǔ)全圖形分別如如5、圖6所示；

圖5

圖6

【評析】此題是大中國時代的背景，意義深遠(yuǎn).對收集好的數(shù)據(jù)進(jìn)行描述，由部分與整體的關(guān)系可求全班人數(shù).通過兩個統(tǒng)計圖的信息互補(bǔ)，可以計算并補(bǔ)全圖形，重在考查學(xué)生的識圖和繪圖能力，這是考查統(tǒng)計圖的重要形式.第（3）小題通過列表或畫樹狀圖的方式求出共有12種等可能的結(jié)果，這里要注意可能出現(xiàn)16種結(jié)果的錯誤，其實這是模型中的“不放回”抽取，它和“放回”抽取是有嚴(yán)格區(qū)別的，這里可針對“放回”“不放回”做針對性訓(xùn)練，以加深認(rèn)識.

例13（山東·棗莊卷）現(xiàn)今“微信運動”被越來越多的人關(guān)注和喜愛，某興趣小組隨機(jī)調(diào)查了我市50名教師某日“微信運動”中的步數(shù)情況進(jìn)行統(tǒng)計整理，繪制了如表2所示的統(tǒng)計表和如圖7所示的統(tǒng)計圖（不完整）.

表2

圖7

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）寫出a，b，c，d的值，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（2）本市約有37 800名教師，用調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)估計日行走步數(shù)超過12 000步（包含12 000步）的教師人數(shù)有多少？

（3）若在50名被調(diào)查的教師中，選取日行走步數(shù)超過16 000步（包含16 000步）的兩名教師與大家分享心得，求被選取的兩名教師恰好都在20 000步（包含20 000步）以上的概率.

答案：（1）a=0.16，b=0.24，c=10，d=2；

（2）11 340；

例14（湖北·宜昌卷）某校創(chuàng)建“環(huán)保示范學(xué)?！?，為了解全校學(xué)生參加環(huán)保類社團(tuán)的意愿，在全校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查.問卷給出了五個社團(tuán)供學(xué)生選擇（學(xué)生可根據(jù)自己的愛好選擇一個社團(tuán)，也可以不選）.對選擇了社團(tuán)的學(xué)生的問卷情況進(jìn)行了統(tǒng)計.具體情況如表3所示.

表3

（1）填空：在統(tǒng)計表中，這5個數(shù)的中位數(shù)是______.

（2）根據(jù)以上信息，補(bǔ)全如圖8所示的扇形圖和如圖9所示的條形圖；

圖8

圖9

（3）該校有1 400名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計情況，試估計全校有多少名學(xué)生愿意參加環(huán)保義工社團(tuán)；

（4）若小詩和小雨兩名同學(xué)在酵素制作社團(tuán)或綠植養(yǎng)護(hù)社團(tuán)中任意選擇一個參加，試用樹狀圖或列表法求出這兩名同學(xué)同時選擇綠植養(yǎng)護(hù)社團(tuán)的概率.

答案：（1）10；

（2）補(bǔ)全圖形分別如圖10、圖11所示；

圖10

圖11

（3）280名；

【評析】此題潛移默化地樹立了學(xué)生的團(tuán)隊意識、提升了學(xué)生的環(huán)保意識，綜合考查了中位數(shù)、扇形圖、條形圖、樣本與總體和概率計算等知識點.要確定中位數(shù)，需要先排序；根據(jù)扇形圖各百分比之和等于100%，可知“沒選擇”的占10%；根據(jù)部分與整體的關(guān)系，可求“沒選擇”的有5人；由于是隨機(jī)抽取，所以樣本具有代表性，由此可以估計全校愿意參加環(huán)保義工社團(tuán)的學(xué)生；最后是概率問題，這里和前兩道例題不同，它相當(dāng)于是“可放回”模型，學(xué)習(xí)過程中一定注意準(zhǔn)確把握概念，精準(zhǔn)計算.

三、試題解法賞析

例15（浙江·嘉興卷）小明和小紅玩拋硬幣游戲，連續(xù)拋兩次，小明說：“如果兩次都是正面，那么你贏；如果兩次是一正一反，則我嬴.”小紅贏的概率是__________，據(jù)此判斷該游戲_____.（填“公平”或“不公平”）

解：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如表4所示.

表4

因為拋兩枚硬幣，所有機(jī)會均等的結(jié)果為（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

因為二者概率不等，所以游戲不公平.

【評析】這里一定注意是四種等可能結(jié)果，對于古典概型的問題，都是以等可能性為前提的.這里類似的數(shù)學(xué)實驗要舍得花時間讓學(xué)生去做.

例16（廣西·玉林卷）2018年5月13日是“母親節(jié)”，某校開展“感恩母親，做點家務(wù)”活動.為了了解同學(xué)們在母親節(jié)這一天做家務(wù)的情況，學(xué)校隨機(jī)抽查了部分同學(xué)，并用得到的數(shù)據(jù)制成如表5所示的不完整的統(tǒng)計表.

表5

（1）統(tǒng)計表中的x的值為______，y的值為______；

（2）小君計算被抽查同學(xué)做家務(wù)時間的平均數(shù)是這樣的：

第二步：該問題中n=4，x1=0.5，x2=1，x3=1.5，x4=2，

小君計算的過程正確嗎？如果不正確，試計算出正確的做家務(wù)時間的平均數(shù)；

（3）現(xiàn)從C，D兩組中任選2人，求這2人都在D組中的概率（用樹狀圖法或列表法）.

解：（1）抽查的總?cè)藬?shù)為15÷30%=50（人），

x=50×4%=2（人），

y=50×100%=50（人）.

（2）小君的計算過程不正確.

被抽查同學(xué)做家務(wù)時間的平均數(shù)為(15×0.5+30×1+2×1.5+3×2 )÷50=0.93（時）.

故被抽查同學(xué)做家務(wù)時間的平均數(shù)為0.93小時.

（3）C組有兩人，不妨設(shè)為甲、乙，D組有三人，不妨設(shè)為A，B，C，列出樹形圖如圖12所示.

圖12

共有20種情況，其中2人都在D組的按情況有AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6種，

【評析】這里考查了統(tǒng)計中的數(shù)據(jù)的整理和加權(quán)平均數(shù)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.統(tǒng)計與概率密不可分，其作為初中數(shù)學(xué)的四大領(lǐng)域之一，在未來的社會發(fā)展進(jìn)程中，必將起到不可估量的作用.

綜合前面的分析可知，概率是日常生活中的常見現(xiàn)象，但它又是一個與確定數(shù)學(xué)有明顯差異的、較難理解的概念.因此，在日常學(xué)習(xí)過程中，要給予學(xué)生充分的時間進(jìn)行有效的思考、討論，使其理解其中蘊涵的數(shù)學(xué)思想，用思想指導(dǎo)行動，即會用概率的觀點、隨機(jī)觀念來觀察、分析世界.