王羅勝斌，徐振海，劉興華，董 瑋，王國玉

(國防科技大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院 電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖南 長沙 410073)

位于同一距離單元、角度單元和多普勒單元內(nèi)，在任何一維度，利用常規(guī)線性處理方法都難以分辨的多個(gè)目標(biāo)集合稱為群目標(biāo)[1]，學(xué)術(shù)界也稱為不可分辨目標(biāo)。在雷達(dá)探測(cè)領(lǐng)域，尤其在遠(yuǎn)程預(yù)警中，群目標(biāo)現(xiàn)象普遍存在。在防空背景下，編隊(duì)飛機(jī)可構(gòu)成群目標(biāo)；在精確制導(dǎo)背景下，飛機(jī)和拖曳式誘餌也可構(gòu)成群目標(biāo)；在反導(dǎo)背景下，彈道導(dǎo)彈突防時(shí)釋放的有源或無源誘餌、箔條以及分離過程中產(chǎn)生的碎片等亦可構(gòu)成群目標(biāo)。群目標(biāo)特性復(fù)雜，嚴(yán)重影響雷達(dá)探測(cè)。精確測(cè)量群目標(biāo)角度是跟蹤、識(shí)別群目標(biāo)的前提。

單脈沖技術(shù)具有測(cè)角精度高、工程易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但在群目標(biāo)條件下，測(cè)量的角度與任一目標(biāo)均不對(duì)應(yīng)，并隨著目標(biāo)間相對(duì)幅度和相位劇烈“抖動(dòng)”，甚至超出雷達(dá)角度范圍，這種測(cè)量誤差可能導(dǎo)致跟蹤丟失[2]。針對(duì)此問題，Sherman等[2]、Lee等[3]將群目標(biāo)單脈沖比作為確定量，提出利用兩個(gè)脈沖的和、差信號(hào)求解雙目標(biāo)角度的方法，但此方法需要兩個(gè)獨(dú)立的脈沖。Zheng等[4]在此基礎(chǔ)上提出利用四象限單脈沖分辨群內(nèi)雙目標(biāo)方法，并推導(dǎo)了矩形陣列的雙目標(biāo)角度閉式解。Blair等[5-8]將群目標(biāo)單脈沖比作為隨機(jī)量，重點(diǎn)分析其統(tǒng)計(jì)特性，針對(duì)兩個(gè)瑞利目標(biāo)提出了基于瞬時(shí)匹配的角度估計(jì)方法。在此基礎(chǔ)上，Sinha等[9]推導(dǎo)了Swerling Ⅰ型和Swerling Ⅲ型目標(biāo)的似然函數(shù)，用柵格搜索得到角度的極大似然估計(jì)，但計(jì)算量巨大。最近，Glass等[8]提出利用相鄰距離采樣提高分辨精度。然而，單脈沖雷達(dá)處理自由度少，大多數(shù)方法需要多個(gè)脈沖增加時(shí)間上的處理維度，難以拓展至多個(gè)目標(biāo)情況，嚴(yán)重限制了群目標(biāo)的測(cè)角性能。

另一種思路是利用陣列雷達(dá)多樣式、多維度的信號(hào)處理方法實(shí)現(xiàn)群目標(biāo)測(cè)角。眾多方法中參數(shù)法[10](極大似然估計(jì))因?yàn)榫哂懈鼜?qiáng)的魯棒性而應(yīng)用廣泛。早在20世紀(jì)70年代，White[11]針對(duì)海面低角目標(biāo)出現(xiàn)鏡面反射時(shí)難以跟蹤的問題，基于極大似然估計(jì)原理提出了陣列雙零點(diǎn)單脈沖技術(shù)，并給出了該技術(shù)應(yīng)用至空間多目標(biāo)的思路與應(yīng)用框架，但沒有進(jìn)一步的研究報(bào)道。文獻(xiàn)[12]將雙零點(diǎn)單脈沖技術(shù)進(jìn)行完善，只需較少的計(jì)算量就能實(shí)現(xiàn)低角目標(biāo)跟蹤。文獻(xiàn)[13]將此技術(shù)應(yīng)用至空間雙目標(biāo)情況，獲得了良好的分辨效果。

1 信號(hào)模型與估計(jì)方法

1.1 群目標(biāo)回波模型

N元均勻半波長線型陣列雷達(dá)主瓣內(nèi)存在M個(gè)目標(biāo)，接收信號(hào)為多個(gè)目標(biāo)回波的線性疊加。經(jīng)過信號(hào)放大、變頻、采樣等處理，群目標(biāo)回波模型可表示為：

(1)

下標(biāo)i表示第i個(gè)目標(biāo)；Ai表示回波復(fù)幅度；s(ui)表示陣列導(dǎo)向矢量，

(2)

j表示純虛數(shù)；ui=sinθi為目標(biāo)角度的正弦空間坐標(biāo)，θi為目標(biāo)與陣面法向的夾角，ui∈[-u3 dB/2,u3 dB/2]，u3 dB為雷達(dá)主瓣波束寬度；n∈CN×1表示陣列接收機(jī)熱噪聲矢量，服從零均值高斯分布，熱噪聲功率為σ2。當(dāng)M=1時(shí)，信號(hào)模型退化為單目標(biāo)情況。

1.2 極大似然估計(jì)

將群目標(biāo)回波模型改寫為矩陣形式：

x=Sa+n

(3)

p(x|u1,…,uM,A1,…,AM)

(4)

當(dāng)回波數(shù)據(jù)與假設(shè)模型之間的均方誤差最小時(shí)似然函數(shù)最大，所以極大似然估計(jì)可表示為：

(5)

復(fù)幅度a的極大似然估計(jì)實(shí)際上是最小二乘問題[14]，估計(jì)值為：

(6)

目標(biāo)函數(shù)Q關(guān)于u1,…,uM分別求偏導(dǎo)，得到方程組：

(7)

式中，dH(ui)=ds(ui)/dui為信號(hào)矢量關(guān)于角度的導(dǎo)數(shù)，與導(dǎo)向矢量正交，即dH(ui)s(ui)=0。

式(7)為非線性方程組，難以直接求解，必須通過迭代逼近求解[11]。一種求解思路是利用凸優(yōu)化方法求解目標(biāo)函數(shù)Q的極小點(diǎn)，但此類方法需要求解梯度，計(jì)算量巨大，并且迭代步長難以控制；另一種思路是利用多維單脈沖測(cè)量[15]估計(jì)目標(biāo)角度，這種方法是陣列單脈沖處理的一種多維擴(kuò)展，計(jì)算量小。本文將采取第二種思路，實(shí)現(xiàn)群目標(biāo)的角度估計(jì)。

2 群目標(biāo)角度估計(jì)方法

2.1 自適應(yīng)多零點(diǎn)單脈沖測(cè)量

將式(7)可改寫為：

(8)

由于dH(ui)s(ui)=0，式(7)可以進(jìn)一步寫為：

(9)

將式(6)代入式(9)可得：

Re{dH(ui)[I-S(SHS)-1SH]x}

=Re{dH(ui)PS⊥x}=0

(10)

利用數(shù)字波束形成技術(shù)生成M套單脈沖系統(tǒng)，分別指向ub1,ub2,…,ubM。令

(11)

(12)

(13)

(14)

其中，Sb=[s(ub1)s(ub2)…s(ubM)]。

每套單脈沖系統(tǒng)和、差接收波束的方向圖分別為：

(15)

(16)

由式(13)～(16)可以推出：

Σi(ubj)=0j≠i；j=1,2,…,M

(17)

Δi(ubj)=0j=1,2,…,M

(18)

式(17)、式(18)說明每套單脈沖系統(tǒng)會(huì)在其他系統(tǒng)的波束指向處自適應(yīng)形成零點(diǎn)，保證和波束輸出能量最大，抑制其他目標(biāo)信號(hào)的影響，故將此類單脈沖測(cè)量稱為自適應(yīng)多零點(diǎn)單脈沖測(cè)量。

2.2 迭代優(yōu)化——步長加權(quán)法

根據(jù)自適應(yīng)多零點(diǎn)單脈沖的測(cè)量結(jié)果無法直接測(cè)量目標(biāo)角度。以第一套單脈沖系統(tǒng)為例，輸出的群目標(biāo)單脈沖比為：

(19)

式中，K1表示第一套單脈沖系統(tǒng)的鑒角斜率?？梢钥闯觯嗑S單脈沖系統(tǒng)輸出的角度實(shí)際上是群目標(biāo)的復(fù)指示角[2]，不能像傳統(tǒng)單脈沖一樣“一步”測(cè)角，只能通過更新迭代波束指向不斷逼近目標(biāo)角度，所以這是一種次優(yōu)估計(jì)[17]。

當(dāng)目標(biāo)數(shù)為2時(shí)，根據(jù)單脈沖系統(tǒng)測(cè)量的角度，文獻(xiàn)[12-13]提出如式(20)所示角度迭代方式。

(20)

雙目標(biāo)條件下，用復(fù)指示角直接更新波束指向能夠迅速收斂于目標(biāo)角度，主要原因?yàn)椋簩?duì)于第一套單脈沖系統(tǒng)，和、差波束接收的主要能量來自第一個(gè)目標(biāo)，自適應(yīng)零點(diǎn)抑制了第二個(gè)目標(biāo)的干擾，更新后的波束指向更逼近于第一個(gè)目標(biāo)，使得接收到第二個(gè)目標(biāo)的能量越來越弱。然而，對(duì)于多個(gè)目標(biāo)，更新后的波束指向無法鎖定同一目標(biāo)，導(dǎo)致迭代不收斂。

從優(yōu)化的角度來看，迭代步長過大導(dǎo)致雙零點(diǎn)測(cè)角無法直接擴(kuò)展至多個(gè)目標(biāo)，必須自適應(yīng)調(diào)整迭代步長。當(dāng)波束指向偏離目標(biāo)時(shí)，各單脈沖系統(tǒng)形成的零點(diǎn)也偏離目標(biāo)，無法起到抑制的效果，此時(shí)更新步長應(yīng)該較小；當(dāng)波束指向接近目標(biāo)時(shí)，抑制效果明顯，復(fù)指示角度接近真值，此時(shí)更新步長應(yīng)該較大。

通過以上分析，提出一種步長加權(quán)的方式改善迭代過程，其思路為：用目標(biāo)函數(shù)Q反映波束指向偏離目標(biāo)的程度，從而確定權(quán)值w的大小。此處，令調(diào)整步長的權(quán)值w與目標(biāo)函數(shù)的數(shù)量級(jí)lgQ成正比關(guān)系，即目標(biāo)函數(shù)每下降一個(gè)數(shù)量級(jí)，步長權(quán)值相應(yīng)地線性增加。步長權(quán)值的表達(dá)式為：

(21)

式中，Q0表示用波束指向初值計(jì)算得到的目標(biāo)函數(shù)取值，ε為收斂誤差，w0為權(quán)值初始點(diǎn)。權(quán)值w是關(guān)于Q的函數(shù)，Q越小，波束指向越接近目標(biāo)。w0與信噪比有關(guān)，信噪比越高，w0越大。

利用加權(quán)的方式在式(20)的基礎(chǔ)上改進(jìn)波束指向更新：

(22)

2.3 群目標(biāo)角度估計(jì)算法流程

根據(jù)以上對(duì)自適應(yīng)多零點(diǎn)單脈沖以及波束指向迭代更新的分析，提出自適應(yīng)多零點(diǎn)單脈沖群目標(biāo)測(cè)角算法，算法流程如圖1所示。

圖1 算法流程圖Fig.1 Flowchart of algorithm

圖2給出了自適應(yīng)多零點(diǎn)單脈沖測(cè)角算法、交替投影法[18]、步長回溯法[19]三種方法在三個(gè)目標(biāo)條件下(u1=-0.2u3 dB,u2=0.1u3 dB,u3=0.45u3 dB)的迭代過程。由圖可知，多零點(diǎn)單脈沖測(cè)角算法只需300次左右的迭代就能實(shí)現(xiàn)高精度的角度估計(jì)，而交替投影法需要4000次左右的迭代，步長回溯法雖然能迅速收斂，但估計(jì)值與真值存在明顯偏差。相比之下，自適應(yīng)多零點(diǎn)單脈沖測(cè)角迭代次數(shù)更少，并且只需計(jì)算單脈沖比，計(jì)算量遠(yuǎn)小于梯度的計(jì)算。因此，該測(cè)角算法更易于工程實(shí)現(xiàn)。

(a) 自適應(yīng)多零點(diǎn)單脈沖測(cè)角算法(a) Angular estimation of adaptive multi-null monopulse

(b) 交替投影法(b) Alternating projection method

(c) 步長回溯法(c) Step backtracking method圖2 迭代收斂過程Fig.2 Iterative convergence process

3 仿真分析

設(shè)最大迭代次數(shù)為1000，收斂誤差ε=10-12，圖4給出了多種信噪比下不同目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的步長權(quán)值。

定義角度估計(jì)均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)為：

(23)

式中，E[·]表示取均值。

進(jìn)行1000次Mont Carlo仿真，分析算法性能。在假設(shè)已知準(zhǔn)確群目標(biāo)數(shù)的條件下，將本文方法與前后空間平滑的多重信號(hào)分類法(Front Back

(a) 和波束方向圖(a) Sum beampattern

(b) 差波束方向圖(b) Difference beampattern

(c) 單脈沖比鑒角曲線(c) Monopulse ratio curve圖3 自適應(yīng)多零點(diǎn)單脈沖和、差方向圖以及單脈沖比鑒角曲線Fig.3 Sum/difference beampattern and monopulse ratio curve of adaptive multi-null

圖4 步長權(quán)值曲線Fig.4 Weighted step

Spatial Smoothing MUltiple SIgnal Classfication, FBSS-MUSIC)[14](空間平滑預(yù)處理的MUSIC算法)以及交替投影法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

3.1 測(cè)角精度與信噪比的關(guān)系

在該實(shí)驗(yàn)中，設(shè)定三個(gè)目標(biāo)的角度分別為u1=-0.2u3 dB、u2=0.1u3 dB、u3=0.45u3 dB，復(fù)幅度分別為A1=1、A2=0.9ejπ/4、A3=ej3π/2。圖5給出了三種算法的RMSE與SNR關(guān)系曲線。

可以看出：隨著信噪比的增大，三種算法的測(cè)角精度提高，這是普遍規(guī)律；在高信噪比條件下，本文方法的測(cè)角性能與交替投影法相近，測(cè)角誤差約為0.15u3 dB；在低信噪比條件下，本文方法測(cè)角性能更優(yōu)，并且精度遠(yuǎn)高于FBSS-MUSIC，說明本文方法的魯棒性更強(qiáng)；FBSS-MUSIC在低信噪比條件下性能很差，其主要原因是MUSIC等子空間方法不適用于相干源，在單次快拍條件下需要空間平滑預(yù)處理，但這種處理損失了空間分辨率，難以精確估計(jì)信號(hào)協(xié)方差矩陣。

3.2 測(cè)角精度與角度間隔的關(guān)系

在該實(shí)驗(yàn)中，設(shè)定三個(gè)目標(biāo)關(guān)于陣列法向?qū)ΨQ分布，角度分別為u1=-Δu、u2=0、u3=Δu，復(fù)幅度分別為A1=1、A2=0.9ejπ/4、A3=ej3π/2，信噪比SNR=30 dB。圖6給出了三種算法RMSE與Δu的關(guān)系曲線。

可以看出：隨著目標(biāo)角度間隔的減少，測(cè)角精度下降，這是群目標(biāo)測(cè)角的特有規(guī)律；當(dāng)目標(biāo)角度間隔低于0.25u3 dB時(shí)，三種方法都無法精確測(cè)角；實(shí)際上，若目標(biāo)角度間隔非常小，群目標(biāo)可作為單個(gè)目標(biāo)處理。

圖6 測(cè)角精度與角度間隔的關(guān)系Fig.6 Performance of angular estimation versus Δu

3.3 測(cè)角精度與相對(duì)復(fù)幅度的關(guān)系

在該實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)群內(nèi)存在一個(gè)大目標(biāo)與兩個(gè)小目標(biāo)，設(shè)定三個(gè)目標(biāo)角度分別為u1=-0.2u3 dB、u2=0.1u3 dB、u3=0.45u3 dB；信噪比SNR=30 dB；三目標(biāo)的相對(duì)復(fù)幅度分別為A1=1、A2=pejΔφ、A3=pej-Δφ。令ρ=pejΔφ，只考慮FBSS-MUSIC與本文方法，圖7給出了兩種算法RMSE與ρ的關(guān)系?？梢钥闯觯弘S著目標(biāo)幅度差異的增大，F(xiàn)BSS-MUSIC的測(cè)角精度降低，但對(duì)目標(biāo)的相對(duì)相位影響不大；而本文方法恰好相反，在目標(biāo)相對(duì)相位為0時(shí)測(cè)角精度最低，在目標(biāo)幅度差異較大時(shí)仍能保持較高的測(cè)角精度。

對(duì)于單次快拍，運(yùn)用子空間方法之前需要進(jìn)行空間平滑得到滿秩的協(xié)方差矩陣，這種預(yù)處理消除了目標(biāo)之間的相位信息，測(cè)角精度只與目標(biāo)幅度有關(guān)。當(dāng)目標(biāo)幅度差異較大時(shí)，小目標(biāo)極易被大目標(biāo)“遮掩”，在空間譜上難以分辨，嚴(yán)重影響測(cè)角精度。而運(yùn)用參數(shù)法時(shí)，所有的參數(shù)均由極大似然估計(jì)得到，大目標(biāo)對(duì)小目標(biāo)的“遮蔽”影響得到極大的弱化。所以，當(dāng)目標(biāo)幅度相差較大時(shí)，參數(shù)法具有比子空間方法更好的測(cè)角性能。

(a) 對(duì)比算法(a) Algorithm for comparison

(b) 本文算法(b) Proposed algorithm圖7 測(cè)角精度與相對(duì)復(fù)幅度的關(guān)系Fig.7 Performance of angular estimation versus relative complex amplitude

3.4 測(cè)角精度與目標(biāo)數(shù)的關(guān)系

在該實(shí)驗(yàn)中，考慮目標(biāo)數(shù)從1增至5。設(shè)定多個(gè)目標(biāo)關(guān)于陣列法向?qū)ΨQ分布，回波功率相同，信噪比均為SNR=30 dB，相鄰目標(biāo)的角度間隔均為Δu=0.25u3 dB，相位差均為Δφ=π/6。圖8給出了本文方法RMSE與目標(biāo)數(shù)的關(guān)系曲線。

可以看出：隨著目標(biāo)數(shù)的增多，測(cè)角精度急劇降低；當(dāng)目標(biāo)數(shù)為1時(shí)，自適應(yīng)多零點(diǎn)單脈沖退化為陣列幅度和、差單脈沖，測(cè)角精度非常高；當(dāng)目標(biāo)數(shù)超過4時(shí)，估計(jì)誤差接近于半個(gè)波束寬度。這是由于目標(biāo)數(shù)增多，需要估計(jì)的參數(shù)更多，估計(jì)精度下降，當(dāng)群目標(biāo)數(shù)目較多時(shí)，只有在非常高的信噪比條件下才能實(shí)現(xiàn)精確測(cè)角。

圖8 測(cè)角精度與群目標(biāo)數(shù)的關(guān)系Fig.8 Performance of angular estimation versus unresolved target number

4 結(jié)論

仿真結(jié)果表明：在較高信噪比條件下，本文所提算法可以精確測(cè)量三個(gè)目標(biāo)角度，測(cè)角精度約為0.15倍波束寬度；但當(dāng)群目標(biāo)數(shù)較多或者目標(biāo)相位差接近于0時(shí)，算法性能嚴(yán)重下降。在目標(biāo)幅度相差較大的條件下，本文方法具有比子空間方法更好的測(cè)角性能。

無論是子空間方法還是參數(shù)化方法，都需要目標(biāo)數(shù)目的先驗(yàn)信息，當(dāng)目標(biāo)數(shù)目估計(jì)不準(zhǔn)時(shí)，測(cè)角性能將急劇下降。在群目標(biāo)數(shù)目估計(jì)方面，參數(shù)化方法可以與目標(biāo)參數(shù)模型匹配方法[15]相結(jié)合，通過估計(jì)的目標(biāo)參數(shù)修正估計(jì)的目標(biāo)數(shù)，以獲得更好的目標(biāo)數(shù)估計(jì)性能。