徐 琎，段曉君，王正明，晏 良

(1. 國(guó)防科技大學(xué) 文理學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073； 2. 國(guó)防科技大學(xué) 前沿交叉學(xué)科學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

幾乎所有的計(jì)算機(jī)試驗(yàn)都存在多種精度的情況，如何將這多種試驗(yàn)結(jié)合起來(lái)并充分利用所有數(shù)據(jù)信息是十分關(guān)鍵的問(wèn)題。多種精度的試驗(yàn)有許多的應(yīng)用，如飛行器設(shè)計(jì)相關(guān)試驗(yàn)等[6]。基于多種精度試驗(yàn)的建模方法也層出不窮，如貝葉斯修正方法[7]、貝葉斯分層建模[8]和計(jì)算機(jī)試驗(yàn)與實(shí)體試驗(yàn)的聯(lián)合建模[9]等。在多種精度試驗(yàn)的設(shè)計(jì)選點(diǎn)部分，文獻(xiàn)[10]提出了一種方法：嵌套拉丁方設(shè)計(jì)(Nested Latin Hypercube Designs, NLHD)。該設(shè)計(jì)保證了所有高精度的試驗(yàn)點(diǎn)在低精度試驗(yàn)中進(jìn)行了同樣的試驗(yàn)，這對(duì)后續(xù)試驗(yàn)的建模有很好的幫助[11]，同時(shí)不同精度下的試驗(yàn)點(diǎn)集均為L(zhǎng)HD。然而，SLHD及其若干后續(xù)研究(例如文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13])均限制低精度試驗(yàn)的試驗(yàn)次數(shù)必須是高精度的倍數(shù)。這就導(dǎo)致在具體的試驗(yàn)中，試驗(yàn)次數(shù)會(huì)有諸多限制。文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[15]介紹了結(jié)構(gòu)靈活的設(shè)計(jì)，分別為序貫設(shè)計(jì)(Sequential Designs, SD)和廣義嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)(General Nested Latin Hypercube designs, GNLH)，但SD方法的均勻性不夠，其較低精度的試驗(yàn)點(diǎn)在大多數(shù)情況下不是LHD，而GNLH只能構(gòu)造兩層的嵌套設(shè)計(jì)。因此，對(duì)于三種或三種以上精度的計(jì)算機(jī)試驗(yàn)，現(xiàn)有工作無(wú)法給出結(jié)構(gòu)靈活的嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)。

本文介紹一種結(jié)構(gòu)靈活的多層嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)(Multi-layer Nested Latin hypercube Designs, MND)，其試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)數(shù)可以靈活選取，同時(shí)每類(lèi)精度試驗(yàn)的試驗(yàn)點(diǎn)均有很好的一維投影均勻性。

1 MND的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)

1.1 MND的構(gòu)造方法

下面對(duì)MND構(gòu)造算法中使用到的符號(hào)進(jìn)行說(shuō)明。Zn表示整數(shù)集合{1,…,n}。對(duì)于向量v，v(i)表示其第i個(gè)元素。對(duì)于矩陣A，A(i,j)為第i行j列元素。

對(duì)于給定的整數(shù)u≥3,0m，Mm,n為

對(duì)于j=1,…,u-1，vj為lj維隨機(jī)向量，其中vj(1)服從Zlj+1/lj上的離散均勻分布；對(duì)于i=2,…,lj，vj(i)=Mlj+1/mj+1,lj+1/lj(ri,vj(i-1))，其中ri服從Z(lj+1/lj)-(lj+1/mj+1)+1上的離散均勻分布。

容易看出，該算法有效需滿(mǎn)足的條件是：對(duì)于i=1,…,u-1，mi+1是mi的倍數(shù)或mi+1≥li。由于實(shí)際應(yīng)用中，高精度與低精度試驗(yàn)的試驗(yàn)點(diǎn)一般差距較大，故大多數(shù)的試驗(yàn)可以滿(mǎn)足上述兩個(gè)條件。同時(shí)，對(duì)于j=1,…,u-1，根據(jù)lj維向量vj的定義可知，其元素均屬于Zlj+1/lj。再由τ1的元素均屬于Zm1可以得出τj+1的元素均屬于Zlj+1，因

算法1 構(gòu)造MND

此，算法1步驟8中元素vj(τj(k))對(duì)任意的j=1,…,u-1均存在。下面用一個(gè)例子來(lái)更好地說(shuō)明該算法的流程。

例1對(duì)于u=3,m1=2,m2=5,m3=13,p=1，隨機(jī)生成τ1=(2,1)T，且v1來(lái)自矩陣M2,5。隨機(jī)構(gòu)造后得向量v1=(4,2)T，則

τ2(1)=5(τ1(1)-1)+v1(τ1(1))=7

同理，τ2(2)=4。由算法1步驟10隨機(jī)生成τ2剩余的3個(gè)元素，得τ2=(7,4,9,2,6)T。v2來(lái)自矩陣M10,13。隨機(jī)構(gòu)造后得向量v2=(1,13,10,8,6,4,2,2,12,9)T。則

τ3(1)=13(τ2(1)-1)+v2(τ2(1))=80

同理，得到

τ2=(80,47,116,26,69,124,31,95,15,90,105,60,3)T

則嵌套向量d=(τ3-ε)/130。圖1顯示了嵌套向量d，即MND的一維投影均勻性。由圖可知，對(duì)任一層，其均可滿(mǎn)足在任一區(qū)間中有且僅有一個(gè)點(diǎn)。

圖1 MND的一維均勻性Fig.1 One-dimensional uniformity of MND

1.2 MND的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

進(jìn)一步，對(duì)于MND的性質(zhì)有如下定理。

定理1對(duì)于給定的整數(shù)u≥3，0

1)對(duì)于任意的k=1,…,u及i,j=1,…,mu且i≠j，有

「τ(i)mk/l?≠「τ(j)mk/l?

2)對(duì)于i=1,…,mu，a=1,…l，有

P{τu(i)=a}=1/(mul)

證明：類(lèi)似文獻(xiàn)[15]中命題1的證明，易知該定理成立。

□

關(guān)于MND設(shè)計(jì)D=(d(1),…,d(p))有如下兩個(gè)定理。

定理2對(duì)于i=1,…,u,j=1,…,p，{d(j)(1),…,d(j)(mi)}滿(mǎn)足在任一區(qū)間[0,1/mi),…,[(mi-1)/mi,1)中有且僅有一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)。

證明：由定理1 第1部分可知。

□

定理3對(duì)于i=1,…,mu，{d(1)(i),…,d(p)(i)}服從[0,1)p上的均勻分布。

證明：由定理1 第2部分可知。

□

2 算例

對(duì)于運(yùn)行次數(shù)分別為m1,…,mu的多種精度試驗(yàn)，有四種方法可對(duì)其進(jìn)行處理，依次為：

1)獨(dú)立同分布抽樣(Independent and Identically Distributed sample, IID)：選取mu行的獨(dú)立同分布抽樣，利用其前mi行處理第i個(gè)試驗(yàn)。

2)LHD：選取mu行的拉丁超立方體設(shè)計(jì)矩陣，利用其前mi行處理第i個(gè)試驗(yàn)。

3)文獻(xiàn)[14]的方法SD。

4)多層嵌套設(shè)計(jì)MND。

1)M1：

2)M2：

其中，M1中的函數(shù)h1(x)由文獻(xiàn)[16]提出，M1中h2(x)和h3(x)來(lái)自文獻(xiàn)[17]。M2中h1(x)被稱(chēng)為borehole函數(shù)[18]，在計(jì)算機(jī)試驗(yàn)中經(jīng)常選其作為黑箱函數(shù)[13,16,19]。在M2中代替低精度函數(shù)的h2(x)和h3(x)由文獻(xiàn)[13]構(gòu)造。對(duì)于不同方法生成的設(shè)計(jì)矩陣D，其前m1試驗(yàn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)模型h1(x)，前m2試驗(yàn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)模型h2(x)，整個(gè)設(shè)計(jì)矩陣對(duì)應(yīng)模型h3(x)。圖2和圖3分別為在M1和M2下不同方法估計(jì)μi的均方誤差。其中選定的參數(shù)為m1=2，m2=5，m3=13，每類(lèi)試驗(yàn)進(jìn)行2000次，得出各方法的RMSE后進(jìn)行對(duì)比。從兩圖中可以得到：①I(mǎi)ID方法的均方誤差最大；②在高精度試驗(yàn)中，SD和MND均比LHD表現(xiàn)好，其原因在于這兩者的子矩陣比LHD的子矩陣有更好的均勻性；③在估計(jì)μ1時(shí)， MND與SD有幾乎相同的均方誤差；④在估計(jì)μ2和μ3時(shí)，MND比SD有更小的均方誤差，原因在于MND比SD在整體上有更好的均勻性；⑤在估計(jì)μ3時(shí)，MND和LHD有相同的RMSE，這是因?yàn)镸ND和LHD的全矩陣有相同的均勻性。

(a) M1中模型h1(x)(a) Model h1(x) in M1

(b) M1中模型h2(x)(b) Model h2(x) in M1

(c) M1中模型h3(x)(c) Model h3(x) in M1圖2 M1下各方法RMSE比較Fig.2 RMSE comparison of the different schemes on M1

3 結(jié)論

本文構(gòu)造了靈活的多層嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)，與一般的嵌套設(shè)計(jì)相比，該方法在參數(shù)選取上具有很強(qiáng)的靈活性。與SD相比，該方法各層在一維上均可達(dá)到更好的均勻性，這使得在估計(jì)模型均值時(shí)，其估計(jì)方差更小。兩個(gè)算例也體現(xiàn)了多層嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)的性質(zhì)。雖然第1節(jié)中給出的算法也有其局限性，即對(duì)于i=1,…,u-1，mi+1是mi的倍數(shù)或mi+1≥li需滿(mǎn)足，但由于實(shí)際應(yīng)用中，高精度與低精度試驗(yàn)的試驗(yàn)點(diǎn)一般差距較大，故大多數(shù)的試驗(yàn)可以滿(mǎn)足上述兩個(gè)條件。

(a) M2中模型h1(x)(a) Model h1(x) in M2

(b) M2中模型h2(x)(b) Model h2(x) in M2

(c) M2中模型h3(x)(c) Model h3(x) in M2圖3 M2下各方法RMSE比較Fig.3 RMSE comparison of the different schemes on M2