陳明建，龍國(guó)慶，黃中瑞

（國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院，合肥 230037）

0 引言

在陣列信號(hào)處理中窄帶信號(hào)的波達(dá)方向DOA估計(jì)已在雷達(dá)、聲納、無(wú)線通信、無(wú)源定位等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用［1-2］。傳統(tǒng)基于波束形成、相位干涉儀等算法測(cè)角分辨率受瑞利限的限制，這使得傳統(tǒng)的波達(dá)方向估計(jì)方法難以獲得高分辨測(cè)向。為了獲得超高分辨率測(cè)向，空間譜估計(jì)實(shí)現(xiàn)應(yīng)運(yùn)而生，特別是基于子空間的多信號(hào)分類法（MUSIC）［3-4］、旋轉(zhuǎn)子空間不變法（ESPRIT）［5］以及子空間擬合法［6］。然而這些超高分辨的DOA估計(jì)算法應(yīng)用的前提是信源數(shù)準(zhǔn)確已知，若假定信源數(shù)目和真實(shí)的信源數(shù)不等，此時(shí)子空間類DOA估計(jì)將出現(xiàn)較大誤差，算法性能將會(huì)降低甚至完全失效。因此，信源數(shù)目準(zhǔn)確估計(jì)是基于子空間類譜估計(jì)算法需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題。

典型的信源數(shù)估計(jì)方法包括基于AIC準(zhǔn)則［7］和MDL準(zhǔn)則［8-9］的信息論方法、基于特征值一步預(yù)測(cè)法［10］、貝葉斯預(yù)測(cè)密度法［11］以及 Bootstrap 法［12］等。這些方法均假定信源是不相關(guān)或者獨(dú)立的，若空間信源存在一定的相關(guān)性或者完全相干時(shí)，此時(shí)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣將會(huì)出現(xiàn)缺秩，造成信號(hào)子空間的向量泄露到噪聲子空間，導(dǎo)致算法性能下降甚至失效。為了解決相干信源數(shù)估計(jì)問(wèn)題，學(xué)者們提出了很多算法，一般可分為兩大類：一類是空間平滑類算法，主要包括前向空間平滑算法［13］、前后向空間平滑算法［14-16］以及空間差分平滑算法［17-20］?？臻g平滑類算法主要思想是將等距線陣分成若干個(gè)相互重疊的子陣，通過(guò)對(duì)子陣的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣平滑實(shí)現(xiàn)去相干的目的。其中前向空間平滑、前后向空間平滑算法可以分別實(shí)現(xiàn)個(gè)相干信源估計(jì)（M為均勻線陣的陣元數(shù)，符號(hào)表示向下取整）?？臻g平滑算法是以犧牲有效的陣元來(lái)恢復(fù)相干信號(hào)協(xié)方差矩陣的秩，而且無(wú)法區(qū)分相干和非相干源數(shù)目，因此，估計(jì)最大信源數(shù)不超過(guò)陣元數(shù)目?？臻g差分平滑算法將陣列協(xié)方差矩陣分為Toeplize部分和非Toeplize部分，利用差分運(yùn)算得只含相干信源的協(xié)方差矩陣，提高了算法對(duì)信源的過(guò)載能力，但文中沒有討論非相關(guān)信源數(shù)估計(jì)問(wèn)題。另一類是矩陣重構(gòu)法，包括Toeplize矩陣重構(gòu)算法［21-22］、ESPRIT-Like算法等［23-24］，均是利用矩陣重構(gòu)方式解相干。但該類方法需要犧牲一半的陣元恢復(fù)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的秩，估計(jì)信源數(shù)有限。

針對(duì)非相關(guān)信源與相干信源共存時(shí)信源數(shù)估計(jì)問(wèn)題，提出了一種新的基于空間差分平滑的信源數(shù)估計(jì)算法。該方法首先利用SORTE法估計(jì)相互獨(dú)立信源個(gè)數(shù)，并結(jié)合非相關(guān)信源導(dǎo)向矢量、相干信源陣列導(dǎo)向矢量矩陣分布與噪聲子空間正交特性的差異，根據(jù)DOA估計(jì)結(jié)果得到非相關(guān)信源數(shù)估計(jì)，然后通過(guò)空間差分平滑剔除非相關(guān)信源信息，得到只含有相干信源信息的空間平滑差分矩陣，最后利用SORTE法實(shí)現(xiàn)相干信源數(shù)估計(jì)。

1 信號(hào)模型

假設(shè)K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶目標(biāo)信號(hào)入射到M元均勻線陣上，陣元間距為半波長(zhǎng)。不失一般性，假定前Ku個(gè)信源是非相關(guān)的，以角度θk入射，信號(hào)波形為sk（t），功率為，其他的信源為D組Kc個(gè)相干信源，且相干信源組彼此相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，信號(hào)波形為，功率為。第d組相干信源包含了Kd個(gè)多徑信號(hào)，即滿足。假定獨(dú)立信號(hào)組彼此相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則陣列接收信號(hào)可表示為

其中，a（θ）是均勻線陣陣列導(dǎo)向矢量，可表示為

2 信源數(shù)估計(jì)

2.1 非相關(guān)信源數(shù)估計(jì)

SORTE信源估計(jì)法主要思想是利用特征值二階統(tǒng)計(jì)量方差信息構(gòu)造信源數(shù)估計(jì)判決函數(shù)。若定義，則

定義特征值的方差為δk

定義SORTE函數(shù)為［9］

由式（7）可知，SORTE函數(shù)滿足如下關(guān)系

則獨(dú)立信號(hào)（非相關(guān)信號(hào)與相干信號(hào)組之和）信源估計(jì)的判決函數(shù)為

由于Us的列向量張成信號(hào)子空間，即非相關(guān)信源與相干信源導(dǎo)數(shù)矢量矩陣列向量張成同一空間，由于信號(hào)子空間正交于Un的列向量張成噪聲子空間，因此

由式（11）可知，相干信源的導(dǎo)向矢量矩陣 Ac，iρi為范德蒙矩陣列向量的線性組合，因此，無(wú)法等價(jià)為某個(gè)方向?qū)?yīng)的導(dǎo)向矢量a（θ），即利用DOA估計(jì)結(jié)果可實(shí)現(xiàn)非相關(guān)信源數(shù)估計(jì)。

2.2 相關(guān)信源數(shù)估計(jì)

2.2.1 傳統(tǒng)的空間平滑算法

1）前后向空間平滑算法。空間平滑算法利用均勻線陣的平移不變性，將陣列劃分為相互重疊的p個(gè)子陣，其中每個(gè)子陣包含有相同的陣元數(shù)M-p+1。前向空間平滑算法是分別計(jì)算p個(gè)子陣的協(xié)方差矩陣，再求算術(shù)平均，可得等效M-p+1階子陣列協(xié)方差矩陣為

前后向空間平滑算法是同時(shí)對(duì)陣列前后向進(jìn)行平滑得到陣列協(xié)方差矩陣為

通過(guò)FSS、FBSS空間平滑后，陣列數(shù)據(jù)協(xié)方差恢復(fù)為滿秩，此時(shí)可以利用信息論的AIC、MDL等方法即可實(shí)現(xiàn)相干信源數(shù)估計(jì)。

2）空間差分平滑算法?？臻g差分矩陣定義為

考慮非相關(guān)信號(hào)協(xié)方差矩陣RN為Toeplitz矩陣，且滿足，則將式（3）代入到式（14）可得

由式（15）可知，空間差分矩陣中不含非相關(guān)信源信息，然后利用式（12）對(duì)式（15）進(jìn)行前向平滑可得

由式（16）可知，空間差分平滑算法本質(zhì)上是前后向平滑差分算法。

2.2.2 本文算法

假定將均勻線陣劃分為相互重疊的p個(gè)子陣，則第k個(gè)子陣的陣列數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為

定義：對(duì)于M×M維矩陣R，空間差分平滑矩陣為

若非相關(guān)信源和相干信源同時(shí)入射ULA陣列，則Rsd不含有非相關(guān)信源信息。

利用Rsd特征值的絕對(duì)值的方差信息，通過(guò)SORTE法實(shí)現(xiàn)相干信源數(shù)估計(jì)。

綜上所述，本文算法基本步驟可以歸納如下：

2）利用式（11）非相關(guān)信源DOA估計(jì)關(guān)系式，從而得到非相關(guān)信源數(shù)和相干信源組數(shù)估計(jì)；

3）利用式（18）計(jì)算空間差分平滑矩陣Rsd；

4）對(duì)Rsd特征分解得到特征值的絕對(duì)值，利用SORTE算法估計(jì)相干信號(hào)信源數(shù)。

2.3 陣元需求分析

假定有K個(gè)窄帶信號(hào)以平面波入射ULA，其中非相關(guān)信源數(shù)為Ku，D組相干信源總數(shù)為Kc，其中相干信源組中最多含有信源數(shù)為Kmax。若要成功分辨所有入射信號(hào)，對(duì)于FSS、FBSS、SDS算法需要陣元數(shù)分別為、，本文算法需要陣元數(shù)為，由以上分析可知，F(xiàn)SS算法對(duì)陣元需求最高，陣列自由度損失最大，F(xiàn)BSS算法陣列需求小于FSS算法。本文算法所需陣元數(shù)最少，SDS算法性能次之。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)1一組相干信源時(shí)成功檢測(cè)概率與SNR、快拍數(shù)關(guān)系。考慮均勻線陣陣元數(shù)M=11，陣元間距為半波長(zhǎng)。其中3個(gè)非相關(guān)信號(hào)和1組4個(gè)相干窄帶信號(hào)同時(shí)入射到陣列上，非相關(guān)信號(hào)DOA分別為［-21°3°35°］，相干信號(hào) DOA 分別為［-41°-19°5°38°］，假定入射信號(hào)均為等功率信號(hào)，其功率為，陣元噪聲為理想的高斯白噪聲。信噪比定義為。采樣快拍數(shù)為100，Monte Carlo實(shí)驗(yàn)次數(shù)為100。定義成功檢測(cè)概率為正確估計(jì)信源次數(shù)與實(shí)驗(yàn)次數(shù)之比。圖1是采樣快拍數(shù)為100時(shí)成功檢測(cè)概率與SNR關(guān)系曲線。圖2是SNR為10 dB時(shí)成功檢測(cè)概率與快拍數(shù)關(guān)系曲線。

圖1 單組相干信源時(shí)成功檢測(cè)概率與SNR關(guān)系

圖2 單組相干信源時(shí)成功檢測(cè)概率與快拍數(shù)關(guān)系

由前文分析可知，當(dāng)Ku=2，Kc=4時(shí)，此時(shí)FSS、FBSS、SDS以及本文方法所需最少陣元數(shù)分別為10、8、7、6。理論分析可知當(dāng) M=11時(shí)，4 種算法均能實(shí)現(xiàn)信源數(shù)估計(jì)，這與圖1、圖2實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合。其中FBSS算法性能略優(yōu)于FSS算法，SDS算法和本文算法均采用空間差分平滑技術(shù)消除了噪聲，相當(dāng)于提高了SNR，因此，性能優(yōu)于傳統(tǒng)的空間平滑算法，且本文算法性能更好。

實(shí)驗(yàn)2信源角度相近時(shí)成功檢測(cè)概率與SNR、快拍數(shù)關(guān)系。若假定非相關(guān)信號(hào)DOA分別為［-12°-3°45°］，相干信號(hào) DOA 分別為［-11°-2°30°44°］，其他仿真參數(shù)不變。圖1是采樣快拍數(shù)為100時(shí)成功檢測(cè)概率與SNR關(guān)系曲線。圖2是SNR為0 dB時(shí)成功檢測(cè)概率與快拍數(shù)關(guān)系曲線。

由下頁(yè)圖3、圖4可以看出，非相干信源均與相干信源角度間距很近，此時(shí)導(dǎo)向矢量矩陣列向量存在相關(guān)性，傳統(tǒng)FSS、FBSS算法通過(guò)空間平滑后數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣仍然可能是缺秩，因此，無(wú)法正確分辨角度相近的信源，而本文算法和SDS通過(guò)空間差分平滑，將非相關(guān)信源與相干信源分開分辨，因此，分辨性能不受角度間隔的影響。

圖3 信源角度相近時(shí)成功檢測(cè)概率與SNR關(guān)系

圖4 信源角度相近時(shí)成功檢測(cè)概率與快拍數(shù)關(guān)系

實(shí)驗(yàn)3多組相干信源時(shí)成功檢測(cè)概率與SNR關(guān)系。假定M=8，共有6個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，其中2個(gè)非相關(guān)信號(hào)DOA分別為［-20°10°］，2組4個(gè)相干信號(hào)DOA分別為［-40°0°20°30°］。其他仿真參數(shù)同實(shí)驗(yàn)1。圖5是快拍數(shù)為200時(shí)成功檢測(cè)概率與SNR關(guān)系曲線；圖6是SNR為5 dB時(shí)成功檢測(cè)概率與快拍數(shù)關(guān)系曲線。

圖5 兩組相干信源時(shí)成功檢測(cè)概率與SNR關(guān)系

圖6 兩組相干信源時(shí)成功檢測(cè)概率與快拍數(shù)關(guān)系

圖7 信源數(shù)超過(guò)陣元數(shù)時(shí)成功檢測(cè)概率與SNR關(guān)系

圖8 不同子陣數(shù)時(shí)成功檢測(cè)概率與SNR關(guān)系

由圖5、圖6可知，當(dāng)SNR大于15 dB時(shí)4種算法均能實(shí)現(xiàn)信源數(shù)一致估計(jì)；在SNR小于5 dB時(shí)，由于SDS算法采用空間差分消除了高斯白噪聲，因此，SDS算法性能優(yōu)于FBSS算法，但SNR大于5 dB時(shí)，其SNR的優(yōu)勢(shì)不再明顯，此時(shí)FBSS性能優(yōu)于SDS。FSS算法由于有一半的陣列孔徑損失，因此，其性能最差，而本文算法性能最優(yōu)。

實(shí)驗(yàn)4信源數(shù)超過(guò)陣元數(shù)時(shí)成功檢測(cè)概率與SNR關(guān)系。假定M=8，共有10個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，其中4個(gè)非相關(guān)信號(hào)DOA分別為［-40°-20°-10°0°］，3組 6個(gè)相干信號(hào) DOA 分別為［-30°-10°0°20°40° 60°］。其他仿真參數(shù)同實(shí)驗(yàn)3。圖7是信源數(shù)超過(guò)陣元數(shù)時(shí)成功檢測(cè)概率與SNR關(guān)系曲線。

當(dāng) M=8，K=10 時(shí) FSS、FBSS、SDS 以及本文算法可檢測(cè)信號(hào)個(gè)數(shù)分別為 8、9、8、7、10。因此，理論上FSS、FBSS、SDS算法均失效，只有本文算法能夠有效檢測(cè)10個(gè)入射信號(hào)，圖7的仿真結(jié)果與理論分析相一致。

實(shí)驗(yàn)5子陣數(shù)對(duì)成功檢測(cè)概率的影響。假定M=8，2組4個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶相干信號(hào)DOA分別為［-30°-10°15°20°］。其他仿真參數(shù)同實(shí)驗(yàn) 1。圖8是不同子陣數(shù)時(shí)成功檢測(cè)概率與SNR關(guān)系曲線。

由理論分析可知：當(dāng)只有相干信號(hào)入射時(shí)，由于對(duì)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行了空間差分平滑，對(duì)消了高斯白噪聲，因此，檢測(cè)性能基本不受噪聲的影響，這與圖8實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合；當(dāng)子陣數(shù)p在滿足不等式時(shí)，空間差分平滑后的協(xié)方差矩陣恢復(fù)為滿秩矩陣，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)相干信源數(shù)估計(jì)。不同的子陣數(shù)p對(duì)本文算法的檢測(cè)性能有一定影響，若p越大算法信源檢測(cè)性能越優(yōu)。

4 結(jié)論

針對(duì)非相關(guān)和相干信源共存時(shí)信源數(shù)估計(jì)問(wèn)題，本文提出了一種新的空間差分平滑算法。首先利用SORTE法估計(jì)得到非相關(guān)信源和相干信源組數(shù)的聯(lián)合估計(jì)，然后通過(guò)空間差分平滑實(shí)現(xiàn)相干信源數(shù)估計(jì)。相比其他類算法，本文算法具有如下優(yōu)點(diǎn)：1）將非相關(guān)信源和相干信源分開檢測(cè)，提高了算法對(duì)信源檢測(cè)能力，當(dāng)陣元數(shù)超過(guò)6時(shí)，可檢測(cè)信源數(shù)可以超過(guò)陣元數(shù)；2）可以分辨到達(dá)角相近的信源；3）空間差分平滑剔除了高斯白噪聲，且適用于更廣泛的Toeplitz類色噪聲，改善了算法在低信噪比時(shí)信源數(shù)檢測(cè)性能。