黃漢斌 楊 業(yè) 梁祿揚(yáng)

1.北京航天自動(dòng)控制研究所，北京100854 2.宇航智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100854

升力式再入飛行器，相對(duì)于傳統(tǒng)再入飛行器，升阻比大，機(jī)動(dòng)能力強(qiáng)，可以快速執(zhí)行天地往返運(yùn)輸和洲際航行任務(wù)等[1]，標(biāo)準(zhǔn)軌跡跟蹤制導(dǎo)是升力式飛行器再入過(guò)程采用最多的制導(dǎo)方法，其中在線軌跡規(guī)劃技術(shù)，可以大大提高標(biāo)準(zhǔn)軌跡跟蹤制導(dǎo)的靈活性以及精度，而在線軌跡規(guī)劃技術(shù)最主要的依據(jù)是對(duì)待飛航程的預(yù)測(cè)[1-3]。針對(duì)待飛航程的在線預(yù)測(cè)，眾多學(xué)者進(jìn)行了廣泛而深入的研究，做出了杰出的成果。其中，Ishizuka[4]定義了能量高度，推導(dǎo)出能量高度與航程的微分方程，進(jìn)而利用龍格庫(kù)塔積分得到待飛航程；文獻(xiàn)[5-7]建立阻力加速度-能量走廊，首先將阻力加速度剖面假定為分段線性函數(shù)，進(jìn)而利用線性函數(shù)的特性求出積分計(jì)算公式;施健峰等[8]建立忽略地球自轉(zhuǎn)的簡(jiǎn)化的縱向運(yùn)動(dòng)模型，利用數(shù)值積分的方法求出待飛航程；曾憲法等[9]將升阻比假定為常數(shù)，推導(dǎo)出待飛航程計(jì)算的解析公式；而崔乃剛等[10]利用匹配漸進(jìn)展開(kāi)的方法推導(dǎo)出縱向運(yùn)動(dòng)方程近似解析解，得到縱向運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行待飛航程計(jì)算；Yang等[11]選取了阻力加速度-能量走廊的一些離散點(diǎn)，利用離散點(diǎn)三次樣條插值獲得走廊的解析描述形式，在推導(dǎo)航程解析預(yù)測(cè)公式時(shí)，采用卡爾丹分解的方法對(duì)公式進(jìn)行分解，推導(dǎo)出待飛航程的解析積分公式，由于卡爾丹分解過(guò)程較復(fù)雜，本文對(duì)此進(jìn)行了省略使得算法進(jìn)一步簡(jiǎn)化。

首先分析飛行器無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)模型，將飛行器過(guò)程約束和平衡滑翔約束轉(zhuǎn)換成阻力加速度走廊約束，選取一系列節(jié)點(diǎn)，將其轉(zhuǎn)換成阻力加速度倒數(shù)節(jié)點(diǎn)信息，利用三次樣條插值建立阻力加速度倒數(shù)平滑走廊，進(jìn)一步推導(dǎo)解析積分公式，實(shí)現(xiàn)對(duì)待飛航程的解析預(yù)測(cè)，省去卡爾丹分解過(guò)程，并利用該公式計(jì)算走廊上下界對(duì)應(yīng)的航程，依據(jù)計(jì)算結(jié)果，推導(dǎo)出與航程相對(duì)應(yīng)的阻力加速度剖面。仿真結(jié)果表明，此方法與龍格庫(kù)塔積分精度誤差在10-4m量級(jí)，具有較高的近似程度，同時(shí)解析設(shè)計(jì)阻力加速度剖面更簡(jiǎn)單、可靠。

1 運(yùn)動(dòng)模型建立

由于飛行終點(diǎn)時(shí)間不固定，需要引入能量的概念，包含高度和速度信息，建立以能量為自變量的無(wú)量綱再入飛行器運(yùn)動(dòng)模型。這里能量的定義為

e=1/R-V2/2

(1)

建立運(yùn)動(dòng)模型之前需要做出一定的假設(shè)：

1)不考慮地球自轉(zhuǎn)影響；

2)地球?yàn)閯蛸|(zhì)圓球，不考慮地球扁率；

3)飛行器為無(wú)動(dòng)力質(zhì)點(diǎn)；

4)再入飛行過(guò)程中，彈道傾角為小量，γ≈0。

以能量為自變量的飛行器無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)模型為：

(2)

其中：λ和φ分別為經(jīng)度和緯度，γ和ψ分別為當(dāng)?shù)貜椀纼A角和航向角，σ表示傾側(cè)角。

2 基于三次樣條函數(shù)描述的阻力加速度倒數(shù)走廊

2.1 建立阻力加速度-能量剖面

飛行器滑翔飛行過(guò)程中需要滿足動(dòng)壓、熱流和過(guò)載約束，同時(shí)為了保證滑翔過(guò)程中高度不發(fā)生跳躍，需要滿足擬平衡滑翔條件。

利用這些約束，以及運(yùn)動(dòng)模型，將其轉(zhuǎn)化成阻力加速度-能量走廊約束，其中，動(dòng)壓、過(guò)載和熱流約束對(duì)應(yīng)阻力加速度走廊上界，擬平衡滑翔約束對(duì)應(yīng)阻力加速度走廊下界。選取n個(gè)節(jié)點(diǎn)，作為走廊的描述點(diǎn)(如圖1)。

圖1 阻力加速度走廊

2.2 三次樣條函數(shù)描述阻力加速度倒數(shù)走廊

利用2.1節(jié)得到的阻力加速度-能量節(jié)點(diǎn)信息，建立阻力加速度倒數(shù)走廊節(jié)點(diǎn)信息(圖2)，然后利用三次樣條函數(shù)擬合，計(jì)算倒數(shù)兩點(diǎn)間的函數(shù)值，得到2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的三次函數(shù)(式(3))以及阻力加速度倒數(shù)走廊(圖3)。

(3)

圖2 阻力加速度節(jié)點(diǎn)倒數(shù)

圖3 三次樣條插值描述阻力加速度倒數(shù)走廊

3 待飛航程解析預(yù)測(cè)

待飛航程定義為當(dāng)前點(diǎn)地心矢徑r和目標(biāo)點(diǎn)地心矢徑rf所形成的大地張角對(duì)應(yīng)的圓弧，式(4)為航程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。

(4)

由于假定彈道傾角為小量，同時(shí)忽略航向角偏差，引入能量概念，得到航程對(duì)能量的導(dǎo)數(shù)公式為：

(5)

由于阻力加速度倒數(shù)剖面可以描述成三次樣條函數(shù)，利用式(3)和式(5)，得到待飛航程解析積分公式為：

(6)

(7)

其中，Smax和Smin分別表示待飛航程的上下邊界。

4 基于航程計(jì)算公式的阻力加速度剖面解析設(shè)計(jì)

根據(jù)以上推導(dǎo)的航程解析公式，可知，在對(duì)阻力加速度倒數(shù)走廊進(jìn)行三次樣條插值后，其所對(duì)應(yīng)的航程與三次樣條擬合出的系數(shù)成線性關(guān)系，由此可以根據(jù)任一在航程邊界內(nèi)的待飛航程S，推導(dǎo)出相應(yīng)的阻力加速度剖面。

首先，利用式(8)計(jì)算與航程上下界之間的關(guān)系：

(8)

由式(8)中的ξ計(jì)算阻力加速度倒數(shù)剖面對(duì)應(yīng)的系數(shù)，如式(9)。

(9)

式(9)得到了阻力加速度倒數(shù)各段的三次函數(shù)系數(shù)，即得到了滿足航程要求的完整且解析的阻力加速度剖面。

5 仿真驗(yàn)證

利用第3節(jié)推導(dǎo)出的公式進(jìn)行待飛航程解析計(jì)算，采用文獻(xiàn)[11]中的飛行器參數(shù)：

質(zhì)量m=1000kg，參考面積Sref=3.5m2。升力系數(shù)和阻力系數(shù)采用簡(jiǎn)化形式，其中升力系數(shù):

阻力系數(shù)：

攻角α采用與速度相關(guān)的固定剖面：

(10)

走廊邊界所對(duì)應(yīng)的約束：

1)駐點(diǎn)熱流約束：

2)動(dòng)壓約束：Q<15000Pa；

3)過(guò)載約束：Nmax<5g。

再入過(guò)程初始和終端信息如表1。

表1 再入初始和終端約束

仿真結(jié)果如圖4～7。

圖4 解析計(jì)算與龍格庫(kù)塔方法對(duì)比

圖5 解析積分與數(shù)值積分偏差

圖6 阻力加速度剖面

圖7 航程-能量剖面

其中,圖4的方形節(jié)點(diǎn)所表示的曲線是本文方法解析積分得到的待飛航程，圓形的是數(shù)值積分得到的待飛航程，兩者基本重合。為了進(jìn)一步比較兩者偏差，在圖5中給出了上下界數(shù)值積分和解析積分的偏差，同時(shí)列出了文獻(xiàn)[11]中的偏差，2種方法與龍格庫(kù)塔積分的誤差在同一水平上，為10-4m級(jí)別，本文采用的方法省去了卡爾丹分解過(guò)程，形式上更加簡(jiǎn)單。

利用本文的解析預(yù)測(cè)航程的方法可以設(shè)計(jì)滿足航程要求的阻力加速度剖面。分別選定待飛航程S=1500km，2000km，3000km及4500km，利用式(8)和(9)進(jìn)行仿真計(jì)算。圖6給出了相應(yīng)的阻力加速度剖面，圖7給出了其所對(duì)應(yīng)的航程，仿真結(jié)果與航程要求一致且滿足阻力加速度走廊約束。

6 結(jié)論

將飛行過(guò)程約束和平衡滑翔約束轉(zhuǎn)換成阻力加速度倒數(shù)-能量的約束，利用三次樣條函數(shù)對(duì)阻力加速度倒數(shù)-能量走廊進(jìn)行擬合，并推導(dǎo)出待飛航程的解析計(jì)算公式，利用解析航程預(yù)測(cè)公式進(jìn)行仿真，與龍格庫(kù)塔積分精度一致，同時(shí)根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果可以解析設(shè)計(jì)阻力加速度剖面，形式更加簡(jiǎn)單，計(jì)算效率較高，有工程應(yīng)用的潛力。