杜爭(zhēng)光

?

具有Holling IV型功能反應(yīng)的分?jǐn)?shù)階捕食者-食餌模型的動(dòng)力學(xué)分析

杜爭(zhēng)光

（隴南師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)學(xué)系，甘肅，成縣 742500）

討論了一類(lèi)具有Holling IV型功能反應(yīng)和Leslie-Gower數(shù)值反應(yīng)的分?jǐn)?shù)階捕食者-食餌模型。利用分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，給出了該系統(tǒng)在平衡點(diǎn)穩(wěn)定的必要條件和充分條件。數(shù)值模擬也體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的復(fù)雜性和豐富性。

分?jǐn)?shù)階；平衡點(diǎn)；穩(wěn)定性；Holling IV型功能反應(yīng)

0 引言

分?jǐn)?shù)階捕食者-食餌模型是一種重要的種群模型，受到諸多學(xué)者的青睞，并且已經(jīng)取得了一系列成果[1-7]。田晶磊[3]對(duì)三種群分?jǐn)?shù)階捕食者-食餌模型進(jìn)行了研究，給出了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的一系列結(jié)論。蒲武軍[4]對(duì)一類(lèi)分?jǐn)?shù)階的廣義捕食者-食餌模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，得到了分?jǐn)?shù)階的捕食者-食餌系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的階有關(guān)系。劉永[8]對(duì)整數(shù)階的廣義Holling IV型捕食者-食餌模型做了研究，并指出，Holling IV型功能反應(yīng)更符合實(shí)際：當(dāng)食餌的數(shù)量超出臨界值時(shí)，食餌會(huì)表現(xiàn)出一種“群體防御”性能，從而抑制捕食者數(shù)量的增加。

本文考慮一類(lèi)食餌具有 Logistic 增長(zhǎng)且?guī)в蠬olling IV型功能反應(yīng)函數(shù)，捕食者具有Lislie型數(shù)值反應(yīng)的分?jǐn)?shù)階捕食者-食餌模型：

1 預(yù)備知識(shí)和引理

首先介紹Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的概念和性質(zhì)。

性質(zhì)[10]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足線(xiàn)性運(yùn)算性：

下面給出分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)在平衡點(diǎn)局部漸進(jìn)穩(wěn)定的一個(gè)結(jié)論。

設(shè)分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)：

2 主要結(jié)果及其證明

這里主要討論系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)的局部漸進(jìn)穩(wěn)定性。在不引起混淆的情況下，后文所言穩(wěn)定是指局部漸進(jìn)穩(wěn)定。

2.1 平衡點(diǎn)的存在性

進(jìn)一步討論平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)。方程(4)的正實(shí)根不僅與方程的系數(shù)有關(guān)，而且與其正極值點(diǎn)的符號(hào)有關(guān)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

2.2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

3 數(shù)值公式及模擬

在數(shù)值模擬時(shí)，需要對(duì)系統(tǒng)(1)的進(jìn)行離散化處理，并采用它的迭代形式[3]。

一般地，分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng):

與其等價(jià)的Volterra積分方程為：

現(xiàn)利用上式對(duì)系統(tǒng)(1)離散化處理，并主要對(duì)于定理4的4.1 和4.2進(jìn)行數(shù)值模擬。

圖1 平衡點(diǎn)E1的軌線(xiàn)，p = 0.065 , α =0.99

圖2 平衡點(diǎn)E3的軌線(xiàn)， p = 0.11 , α=0.9

圖3 平衡點(diǎn)E2的軌線(xiàn)，p = 0.065 , α=0.6

4 進(jìn)一步討論

圖4 平衡點(diǎn)E1的軌線(xiàn)， p = 0.17 , α= 1.27

以上數(shù)值模擬說(shuō)明，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階不僅影響系統(tǒng)收斂到平衡點(diǎn)的速度，還影響該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也說(shuō)明分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)比整數(shù)階微分系統(tǒng)更加復(fù)雜和豐富。

[1] Margarita Rivero, Juan J.rujillo, Luis Vázquez. Fractional dynamics of populations [J]. Applied Mathematics and Computation，2011,218:1089-1095.

[2] 王虎,田晶磊,孫玉琴,等. 具有階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階捕食者-食餌系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2018, 41(1):27-42.

[3] 田晶磊. 分?jǐn)?shù)階捕食者—食餌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究[D].北京:北京交通大學(xué),2015.

[4] 蒲武軍,杜爭(zhēng)光. 一類(lèi)分?jǐn)?shù)階廣義捕食者-食餌模型的動(dòng)力學(xué)分析[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2018, 54(5):10-15.

[5] George Maria Selvam A, Janagaraj R, Dhineshbabu R. Fractional Order Nonlinear Prey Predator Interactions [J]. International Journal of Computational and Applied Mathematics, 2017,12:495-502.

[6] Cruz Vargas-De-Leon, Volterra–type Lyapunov functions for fractional-order epidemic systems[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2015,24: 75-85.

[7] Moustafa El-Shahed1, Ahmed A M, Ibrahim Abdelstar M E. Fractional Order Model in Generalist Predator-Prey Dynamics[J]. International Journal of Mathematics And its Applications, 2016(4):19-28.

[8] 劉永. 廣義Holling Ⅳ型食餌捕食者模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)分析[D].武漢:武漢理工大學(xué),2017.

[9] 趙瑩瑩. 分?jǐn)?shù)階微積分的若干理論及應(yīng)用[D].鄭州:鄭州大學(xué),2013:13-22.

[10] 吳強(qiáng),黃建華. 分?jǐn)?shù)階微積分[M].北京:清華大學(xué)出版社,2017:74-87.

[11] Podlubny I. Fractional Differential Equations[M]. London: Academic Press,1999.

DYNAMICAL ANALYSIS OF A FRACTIONAL-ORDER PREDATOR-PREY MODEL WITH HOLLING IV FUNCTIONAL RESPONSE

DU Zheng-guang

(Department of Mathematics，Longnan Teachers College, Chengxian, Gansu 742500,China)

A fractional-order predator-prey model with Holling IV functional response and Leslie-Gower type numerical responses is investigated. By applying the stability theory of fractional-orderdifferential systems, we give some necessary conditions and sufficient conditions for the stability of the equilibrium point. Moreover, the numerical simulation also shows that the complexity and richness of the fractional-order differential systems.

Fractional-Order；Stability；Equilibrium Point；Holling IV Functional Response

1674-8085(2019)03-0009-05

O157.13

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2019.03.002

2019-02-21；

2019-03-12

杜爭(zhēng)光((1973-），男，甘肅禮縣人，副教授，主要從事應(yīng)用微分方程研究(Email:lnsz_dzg@163.com).