張佳龍,閆建國(guó),肖冰,呂茂隆

(1.西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,710129,西安;2.空軍工程大學(xué)裝備管理與安全工程學(xué)院,710051,西安)

近年來(lái),多無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制問(wèn)題一直屬于研究熱點(diǎn)[1-2],主要包括航跡規(guī)劃、任務(wù)分配、信息融合以及協(xié)同編隊(duì)控制器設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[2-5]中智能體上的測(cè)距傳感器能夠測(cè)量與其相鄰智能體的相對(duì)距離,實(shí)現(xiàn)對(duì)無(wú)人機(jī)編隊(duì)的控制。對(duì)于這種控制方法,智能體局部參考系的定位與全局坐標(biāo)系是一致的,但是對(duì)于單積分、雙積分以及多重積分器系統(tǒng),其局部參考坐標(biāo)系的定位與文獻(xiàn)[6-8]不一致,因此這種基于距離控制的方法簡(jiǎn)單可控,但具有一定的局限性。在多無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制中[9-12],涉及協(xié)同編隊(duì)飛行、避障、航跡規(guī)劃、信息融合、最優(yōu)感知以及信息構(gòu)建等關(guān)鍵技術(shù)。針對(duì)上述學(xué)者研究中存在的不足,本文提出了分布式控制律的設(shè)計(jì)和擴(kuò)展性信息構(gòu)建兩種研究方法,并對(duì)上述兩種方法的收斂性進(jìn)行了充分證明。

在無(wú)人機(jī)協(xié)同編隊(duì)追蹤問(wèn)題中,多無(wú)人機(jī)僅利用局部信息以預(yù)定的空間角度繞運(yùn)動(dòng)障礙物在圓形軌道飛行。對(duì)于已知全局信息的目標(biāo),無(wú)人機(jī)編隊(duì)以特定的隊(duì)形分布在目標(biāo)周圍[13],以實(shí)現(xiàn)追蹤的目的,但是局部信息一般很難獲取,因此這種方法也有一定的不足。近年來(lái),Frew和Lawrence提出了拉氏導(dǎo)引矢量場(chǎng)法來(lái)保持預(yù)定的追蹤半徑[14],但忽略了一個(gè)重要的時(shí)域分離問(wèn)題,即無(wú)人機(jī)航向和追蹤半徑收斂,分析了任意兩架無(wú)人機(jī)以不同的速度完成預(yù)定的空間角度,沒(méi)有完整地證明在運(yùn)動(dòng)目標(biāo)周圍的無(wú)人機(jī)是否收斂。針對(duì)追蹤問(wèn)題,Kingston和Beard也采用了拉式導(dǎo)引矢量場(chǎng)方法,而且僅使用航向控制來(lái)獲得期望的圓形軌道和空間位置[15],但忽略了在有限時(shí)間確保航向收斂。

基于以上研究的不足,本文將進(jìn)一步研究拉式導(dǎo)引矢量場(chǎng)方法引導(dǎo)無(wú)人機(jī)在期望的圓形軌道飛行,通過(guò)解決時(shí)域分離問(wèn)題證明該方法,同時(shí)提出一種航向收斂方法。本文主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下:①在無(wú)風(fēng)且目標(biāo)靜止的情況下,所提出的導(dǎo)引勢(shì)場(chǎng)方法能夠使多無(wú)人機(jī)編隊(duì)在運(yùn)動(dòng)目標(biāo)周圍漸進(jìn)收斂至既定的圓形軌道;②在有風(fēng)且目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的情形下,所提出的自適應(yīng)估計(jì)方法能夠使無(wú)人機(jī)實(shí)現(xiàn)以期望的圓形軌道和空間角度飛行,并應(yīng)用圖論建立多無(wú)人機(jī)編隊(duì)模型以完成分布式控制器的設(shè)計(jì);③所設(shè)計(jì)的速度控制器能夠使不同無(wú)人機(jī)編隊(duì)模型實(shí)現(xiàn)以期望的空間角度飛行。

1 建立數(shù)學(xué)模型

1.1 建立模型

單架固定翼無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如下[15]

(1)

式中:(x,y)為無(wú)人機(jī)慣性坐標(biāo)系下的位置;ψ為航向角;μ1為空速指令;μ2為航向指令。假設(shè)在最大和最小空速約束下,有如下不等式

0<υmin≤μ1≤υmax

(2)

航向角速率峰值約束為

|μ2|≤ωmax

(3)

最大航向角速率約束等效于最小轉(zhuǎn)彎半徑約束,其中rmin=4μ1/ωmax。航向角和空速指令會(huì)導(dǎo)引無(wú)人機(jī)在目標(biāo)周圍的圓形軌道上,而且目標(biāo)在圓心處處于靜止?fàn)顟B(tài)。構(gòu)建拉普拉斯函數(shù),表達(dá)式如下

(4)

(5)

式中μ0表示無(wú)人機(jī)的速度。導(dǎo)引矢量場(chǎng)用極坐標(biāo)表示為

(6)

式中θ表示無(wú)人機(jī)與期望軌跡的圓心連線與x軸正方向的夾角。

(7)

由LaSalle的不變性原理可知,無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)軌跡漸進(jìn)收斂于期望的半徑[14]。事實(shí)上,矢量場(chǎng)是近似解析方法。通過(guò)觀察可知,運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式(6)與θ無(wú)關(guān),由此可得下式

(8)

方程式(8)的解為

(9)

式中r0=r(0),將其代入方程式(6)中,可得到關(guān)于時(shí)間的函數(shù)

(10)

式中θ0是極坐標(biāo)下初始方位角。

在導(dǎo)引勢(shì)場(chǎng)作用下,方程式(9)(10)包含全部的解析解,因此無(wú)人機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡是已知的。通過(guò)方程式(5),可得沿著矢量場(chǎng)的航向角

(11)

對(duì)式(11)求導(dǎo)數(shù),可得

(12)

根據(jù)方程式(11)可知,無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)軌跡將收斂于期望的圓形軌道,從而證明了初始航向與導(dǎo)引勢(shì)場(chǎng)的方向是一致的。然而,在一般情況下無(wú)人機(jī)的初始航向與導(dǎo)引勢(shì)場(chǎng)方向不一致,下面將給出一種無(wú)人機(jī)航向收斂的方法解決此問(wèn)題,并證明此方法的有效性。

1.2 航向收斂證明

Frew和Lawrence提出了一種航向反饋方法獲得快速收斂[14],然而缺少航向收斂和時(shí)間尺度分離的證明。其他研究方法則采用動(dòng)態(tài)滑?？刂破鹘鉀Q無(wú)人機(jī)航向收斂問(wèn)題[16-18],這種不連續(xù)且已知外界因素的情況,則會(huì)導(dǎo)致執(zhí)行機(jī)構(gòu)發(fā)生振顫。

由于x=rcosθ和y=rsinθ,則角度φ定義為

(13)

同時(shí),無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)方程式(5)可改寫(xiě)為

-μ0[sinθcosφ-cosθsinφ]=-μ0sin(θ-φ)

(14)

根據(jù)方程式(11)和(14),可得角度之間的關(guān)系

ψd=θ-φ+π

(15)

假設(shè)無(wú)人機(jī)初始航向誤差定義為

ψe=ψ-ψd

(16)

式中ψd為期望的航向角。假設(shè)航向角速率的輸入u2定義為

(17)

對(duì)于式(17)中的反饋增益k>0,同時(shí)可以獲得快速收斂反饋誤差ψe(t)=ψe0e-kt,其中ψe0=ψe(0)。式(17)中的k控制航向誤差收斂的速度,它的選取直接影響轉(zhuǎn)彎速率。這就需要在反饋和前行反饋環(huán)節(jié)尋求一個(gè)恰當(dāng)?shù)钠胶恻c(diǎn)。聯(lián)立方程式(1)(16),無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)表示為

(18)

由方程式(11)(18)可知,當(dāng)存在期望的航向誤差時(shí),可獲得期望的航向角速率

(19)

無(wú)人機(jī)初始航向所處象限的位置直接影響航向反饋的有界性和收斂性,如圖1所示,曲線表示導(dǎo)引的軌跡,初始值設(shè)定為μ0=20 m/s,rd=300 m,x0=600 m,y0=600 m。期望的航向角與軌跡是相切的,一般情況下,實(shí)際初始航向?qū)⑴c導(dǎo)引矢量場(chǎng)方向不一致,而是指向4個(gè)象限之一的方向。

圖1 無(wú)人機(jī)航向?qū)б壽E圖

2 控制器設(shè)計(jì)

在追蹤運(yùn)動(dòng)目標(biāo)過(guò)程中,由于受到風(fēng)場(chǎng)的影響,運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的前行速度和多無(wú)人機(jī)編隊(duì)追蹤的速度會(huì)發(fā)生變化,這種變化使無(wú)人機(jī)不能準(zhǔn)確定位目標(biāo),從而不能達(dá)到追蹤目標(biāo)的目的,因此有必要考慮風(fēng)場(chǎng)的擾動(dòng),本節(jié)設(shè)計(jì)了給定運(yùn)動(dòng)學(xué)約束的空速控制器解決此問(wèn)題。

2.1 具有自適應(yīng)風(fēng)或運(yùn)動(dòng)目標(biāo)估計(jì)量的可變空速控制器

無(wú)人機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如式(1)所示,它表示相對(duì)于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型,加入風(fēng)影響后的模型為

(20)

式中:(Wx,Wy)表示恒定風(fēng)速在x、y方向的分量;(VxT,VyT)表示目標(biāo)在慣性系下恒定的運(yùn)動(dòng)速度在x、y方向的分量。風(fēng)速和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度都會(huì)影響模型的動(dòng)力學(xué)特性,將兩者對(duì)無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型的影響用一組變量表示為

(21)

式中:Tx和Ty分別是無(wú)人機(jī)在x、y方向的速度。假設(shè)上界可行性,T*滿足下式

max(Tx,Ty)≤T*

(22)

式(22)指無(wú)人機(jī)在風(fēng)速與運(yùn)動(dòng)速度耦合作用下能夠穩(wěn)定飛行的速度變化范圍?？紤]到以下控制器設(shè)計(jì)

(23)

(24)

空速的輸入如下式

(25)

式(24)給定的航向角與已獲得的航向角速率輸入是有區(qū)別的。將方程式(20)(23)聯(lián)立,可得

(26)

(27)

定義誤差信號(hào)為

(28)

同時(shí),響應(yīng)誤差動(dòng)力學(xué)如下式

(29)

由式(29)可知,實(shí)際的軌跡和導(dǎo)引勢(shì)場(chǎng)作用下的軌跡是重合的,它表明rp(0)=r(0)和θp(0)=θ(0),因此在初始時(shí)刻航向角收斂于在拉氏矢量場(chǎng)對(duì)應(yīng)的角度,此時(shí)誤差信號(hào)為0。

2.2 穩(wěn)定性分析

為了確保風(fēng)和運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的估計(jì)量在所給定T*的范圍之內(nèi),定義新的變量如下式

(30)

(31)

考慮拉普拉斯函數(shù),如下式

(32)

(33)

對(duì)于信號(hào)β和正常數(shù)kθ,可知

(34)

式中參數(shù)γ表示一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)速率,它可以控制如何快速適應(yīng)方程式(33)。為了消除式(34)中信號(hào)的不確定性,定義β如下式

(35)

可得

(36)

(37)

(38)

因此,通過(guò)增大學(xué)習(xí)速率參數(shù)γ,運(yùn)動(dòng)目標(biāo)導(dǎo)引軌跡的最大半徑誤差減小。通過(guò)調(diào)整控制器的參數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)無(wú)人機(jī)追蹤目標(biāo)的不確定性,同時(shí)解釋運(yùn)動(dòng)學(xué)約束。

3 編隊(duì)信息架構(gòu)

無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制最基本的任務(wù)就是以最優(yōu)的隊(duì)形分布保持預(yù)設(shè)的編隊(duì)形狀。這一節(jié)主要研究無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形的信息構(gòu)建,以滿足最優(yōu)的無(wú)人機(jī)編隊(duì)。在組合方法理論[19-21]中,圖論中的“剛性”是描述無(wú)人機(jī)編隊(duì)之間信息構(gòu)建以滿足編隊(duì)幾何形狀?；趫D論建立3架對(duì)稱結(jié)構(gòu)無(wú)人機(jī)編隊(duì)模型,如圖2所示。

圖2 3架無(wú)人機(jī)編隊(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)潢P(guān)系圖

3.1 控制律設(shè)計(jì)

目標(biāo)分為靜止的和運(yùn)動(dòng)的,本小節(jié)主要研究無(wú)人機(jī)處于靜止目標(biāo)周圍,通過(guò)設(shè)計(jì)無(wú)人機(jī)編隊(duì)分布式控制律能夠?qū)崿F(xiàn)其期望的空間位置。

以3架無(wú)人機(jī)編隊(duì)和一個(gè)目標(biāo)為研究對(duì)象,以下給出第i架無(wú)人機(jī)在極坐標(biāo)下的動(dòng)力學(xué)模型為

(39)

設(shè)定第n架無(wú)人機(jī)有一個(gè)定常空速

μ1n=μ0

(40)

其余的n-1架無(wú)人機(jī)空速為

(41)

3.2 穩(wěn)定性分析

定義空間角誤差為δ(θi)=θi+1-θi-θd,對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo),然后結(jié)合方程式(41)得到空間角誤差動(dòng)力學(xué)方程

(42)

為了驗(yàn)證無(wú)人機(jī)編隊(duì)分布式控制器的穩(wěn)定性，式(32)可進(jìn)一步改寫(xiě)為

(43)

選擇合適的λi,通過(guò)聯(lián)立方程式(40)(43),可計(jì)算出函數(shù)V的導(dǎo)數(shù)

(44)

其中

tanh(δ(θi))=(tanh(δ(θ1)),…,tanh(δ(θn-1)))

(45)

式(43)可以簡(jiǎn)化為

(46)

矩陣C的正定形式為

C=

(47)

選取

(48)

?i

(49)

可獲得期望圓半徑為

?i

(50)

這樣,可以實(shí)現(xiàn)空間角度控制。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真初值設(shè)置如下:μ0=20 m/s,rd=300 m,ΔVmax=5 m/s,x10=500 m,y10=500 m,ψ10=0,x20=-800 m,y20=-600 m,ψ20=π/2,x30=-500 m,y30=500 m,ψ30=π,x40=700 m,y40=-100 m,ψ10=-π/4。仿真曲線如圖3～6所示。

圖3 無(wú)人機(jī)編隊(duì)相對(duì)靜止目標(biāo)的距離誤差

圖4 兩架無(wú)人機(jī)在靜止目標(biāo)周圍相對(duì)距離誤差

圖5 兩架無(wú)人機(jī)在運(yùn)動(dòng)目標(biāo)周圍保持圓形軌道和空間距離的空速指令曲線

圖6 兩架無(wú)人機(jī)在運(yùn)動(dòng)目標(biāo)周圍的軌跡

圖3采用3架無(wú)人機(jī)編隊(duì)作為一個(gè)控制體,并給出了無(wú)人機(jī)編隊(duì)相對(duì)靜止目標(biāo)的距離誤差,隨著時(shí)間的變化,曲線呈現(xiàn)一種快速下降后趨于水平的趨勢(shì)。從圖4可知,無(wú)人機(jī)編隊(duì)由長(zhǎng)機(jī)和兩架僚機(jī)組成,它們以正三角形編隊(duì)接近目標(biāo)。在15 s之前,3架無(wú)人機(jī)以長(zhǎng)機(jī)在前且前行速度均大于兩僚機(jī),它們之間的幾何形狀始終保持三角形,但非全等;在15 s之后,3架無(wú)人機(jī)處于以目標(biāo)為圓心、以它們之間的相對(duì)距離為半徑的球形表面上,同時(shí)它們以相同的姿態(tài)和位置漸進(jìn)靠近目標(biāo)。這是由于在接近目標(biāo)之前,無(wú)人機(jī)以最快的速度和最優(yōu)化的路徑追蹤目標(biāo)點(diǎn),當(dāng)快接近目標(biāo)時(shí),以三角形編隊(duì)協(xié)同追蹤目標(biāo)。

圖4和圖5均采用兩架無(wú)人機(jī)作為控制體。圖4給出了任意兩架無(wú)人機(jī)相對(duì)距離誤差隨時(shí)間的變化,曲線呈現(xiàn)一種先迅速減小后緩慢增大、之后趨于水平的趨勢(shì)。在多無(wú)人機(jī)近距編隊(duì)追蹤運(yùn)動(dòng)目標(biāo)過(guò)程中,無(wú)人機(jī)翼尖因氣流影響產(chǎn)生渦旋效應(yīng)使得無(wú)人機(jī)前行阻力減小,從而使無(wú)人機(jī)前行速度增大。6.5 s時(shí)渦旋效應(yīng)最強(qiáng)烈,此時(shí)無(wú)人機(jī)編隊(duì)之間會(huì)產(chǎn)生一種相互排斥的作用(等效于兩架無(wú)人機(jī)帶同種電荷,產(chǎn)生排斥作用)。7 s后在引導(dǎo)矢量場(chǎng)作用下,兩架無(wú)人機(jī)的相對(duì)距離誤差保持恒定不變,呈三角形編隊(duì)追蹤目標(biāo)。

圖5給出了無(wú)人機(jī)編隊(duì)在運(yùn)動(dòng)目標(biāo)周圍的圓形軌道飛行對(duì)應(yīng)的空速控制指令曲線。兩架無(wú)人機(jī)呈現(xiàn)一種協(xié)同飛行的趨勢(shì),但是存在一定的遲滯現(xiàn)象。在設(shè)計(jì)協(xié)同追蹤控制器過(guò)程中,每架無(wú)人機(jī)安裝控制指令傳感器,當(dāng)無(wú)人機(jī)編隊(duì)飛行過(guò)程中,存在接收信息有偏差的現(xiàn)象。

圖6給出了任意兩架無(wú)人機(jī)在運(yùn)動(dòng)目標(biāo)周圍漸進(jìn)收斂的曲線圖。在無(wú)人機(jī)快速追蹤運(yùn)動(dòng)目標(biāo)過(guò)程中,為了保證編隊(duì)的隊(duì)形無(wú)人機(jī)會(huì)隨時(shí)改變航向;在引導(dǎo)矢量場(chǎng)作用下,兩架無(wú)人機(jī)按照設(shè)計(jì)的控制律,漸進(jìn)收斂在期望的圓形軌道上。

5 結(jié) 論

針對(duì)無(wú)人機(jī)協(xié)同追蹤目標(biāo)問(wèn)題,設(shè)計(jì)了一種控制律并證明了其穩(wěn)定性,同時(shí)無(wú)人機(jī)能夠以最優(yōu)軌跡追蹤運(yùn)動(dòng)目標(biāo)。針對(duì)單架無(wú)人機(jī)的航跡規(guī)劃,提出一種航向角收斂方法,解決之前忽略的時(shí)域分離問(wèn)題。在多無(wú)人機(jī)編隊(duì)協(xié)同追蹤目標(biāo)過(guò)程中,可變空速控制器能實(shí)現(xiàn)兩架無(wú)人機(jī)以期望的圓形軌道飛行。此外,采用圖論建立無(wú)人機(jī)編隊(duì)之間信息交互的模型,有利于編隊(duì)的全局控制,從而實(shí)現(xiàn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

本文研究?jī)H限于智能控制方面,還有較多潛在的方向需要研究:①隨著編隊(duì)中無(wú)人機(jī)的數(shù)量增加,無(wú)人機(jī)相互之間的動(dòng)力學(xué)耦合作用比較復(fù)雜;②自適應(yīng)控制技術(shù)可以擴(kuò)展到更一般的運(yùn)動(dòng)目標(biāo),并且需要在實(shí)際工程中進(jìn)行驗(yàn)證;③分布式編隊(duì)控制與圖論結(jié)合起來(lái),這將有助于對(duì)一般非對(duì)稱編隊(duì)隊(duì)形進(jìn)行控制研究。針對(duì)多約束下的無(wú)人機(jī)編隊(duì)信息構(gòu)建,分布式控制具有較好的容錯(cuò)性和適應(yīng)性,更有利于編隊(duì)結(jié)構(gòu)的實(shí)現(xiàn)和維護(hù)。