張志強,孫若斌,徐冠基,楊志勃,陳雪峰

(1.中車青島四方機車車輛股份有限公司,266000,山東青島;2.西安交通大學(xué)機械工程學(xué)院,710049,西安)

滾動軸承是旋轉(zhuǎn)機械重要的支撐部件,也是易損部件,廣泛應(yīng)用于各種大型工業(yè)裝備中,如風(fēng)力發(fā)電機、航空發(fā)動機、高鐵動車組等。滾動軸承故障輕則造成裝備停機影響運行生產(chǎn),重則機毀人亡造成災(zāi)難性事故。因此,進行滾動軸承早期故障監(jiān)測診斷是減少運行維護損失、保證設(shè)備運行安全的有效途徑,具有重要的工程意義[1]。

振動監(jiān)測是軸承故障診斷最有效的途徑之一[2-3]。稀疏表示將振動信號在冗余的波形函數(shù)集合(稱為過完備字典)中展開,增強了信號的表示能力,具有自適應(yīng)、對噪聲魯棒性強的優(yōu)點,適合軸承早期微弱故障特征提取。近幾年來,越來越多的研究采用稀疏表示方法分析機械振動信號,并取得了一定的研究成果。如文獻[4-5]利用小波字典稀疏表示齒輪箱振動信號,成功匹配出瞬態(tài)故障特征成分;文獻[6]在壓縮感知框架下,從信號集合中學(xué)習(xí)冗余字典,提取了軸承振動的沖擊成分;文獻[7]采用K均值奇異值分解訓(xùn)練字典,成功診斷了行星輪系中齒輪的局部和均布式故障。

一個適合于提取故障特征的字典需要滿足兩個條件:首先字典中原子要與待提取的特征相匹配;另外字典要滿足低相關(guān)度要求。字典的相關(guān)度μ定義為原子間內(nèi)積絕對值中的最大值。Tropp等證明了只有μ小于某個特定值時,稀疏系數(shù)才能由算法成功恢復(fù)[8]。從以上研究中可見,固定的參數(shù)化解析字典和字典學(xué)習(xí)方法構(gòu)造的字典中,原子都與故障特征具有較高的匹配度,但不能滿足低相關(guān)度要求。傳統(tǒng)字典學(xué)習(xí)方法,如最大似然法[9]、最優(yōu)方法(MOD)[10]、K-SVD算法[11]等,訓(xùn)練出的字典原子之間具有很強的相關(guān)性,不能夠表現(xiàn)出信號不同的結(jié)構(gòu)特性,不能確保信號準確稀疏重構(gòu),影響了故障特征提取精度。

因而,本文利用文獻[12]提出的非相關(guān)字典學(xué)習(xí)算法(INK-SVD)訓(xùn)練低相關(guān)性字典,稀疏提取軸承微弱故障特征信號。該方法在K-SVD算法的基礎(chǔ)上,加入了解相關(guān)的步驟,迭代地選擇出字典中的高相關(guān)性原子組,并把它們解相關(guān),直到達到給定的相關(guān)性,訓(xùn)練出一個具有低相關(guān)性的自適應(yīng)字典。通過仿真分析及故障模擬實驗表明,與傳統(tǒng)字典學(xué)習(xí)算法相比,該方法更有利于在強噪聲中提取微弱沖擊特征,更適合滾動軸承早期的故障診斷。

1 稀疏表示理論

與在正交基上分析重構(gòu)信號的方法不同,稀疏表示是將信號在一組冗余的基函數(shù)下展開,這組基函數(shù)叫做字典,記為矩陣A∈Rn×m(n

(1)

式中:xγ是對應(yīng)于αγ的表示系數(shù);Γ是原子索引的參數(shù)集合。

由于字典是過完備的,也就是說原子集合是線性相關(guān)的,對y的分解是無窮多的。為了得到唯一解,稀疏模型假設(shè)信號是由少數(shù)幾個原子表示的,即對解引入了稀疏正則化約束,這個問題可以表示為如下優(yōu)化問題

(2)

式中:x∈Rm表示系數(shù)向量,x的l0范數(shù)表示其中的非零項的個數(shù);ε是分解允許的誤差。這個優(yōu)化問題是非確定性多項式問題,可以采用如匹配追蹤(MP)[13-14]、正交匹配追蹤(OMP)[15-16]等貪婪算法求解;或者采用凸松弛方法,用l1范數(shù)替換l0范數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題來求解,即基追蹤去噪(BPDN)[17]方法。

2 滾動軸承故障診斷

2.1 字典學(xué)習(xí)問題與K-SVD算法

在振動信號的稀疏表示中,字典A的選擇是另一個重要問題。解析字典擁有快速算法,但只局限于表示某類振動信號。為了能根據(jù)信號原本的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)建出自適應(yīng)字典,需要采用字典學(xué)習(xí)方法。字典學(xué)習(xí)的本質(zhì)是在稀疏約束下,最小化信號表示誤差,也就是如下優(yōu)化問題

(3)

K-SVD字典學(xué)習(xí)算法采用交替系數(shù)X和字典A的策略,在以下步驟中迭代。

(1)稀疏編碼階段。已知Y和A,用貪婪追蹤算法如OMP估計表示系數(shù)矩陣X;

2.2 INK-SVD算法

用貪婪算法求解稀疏表示系數(shù)時,低相關(guān)性的字典是獲得最優(yōu)表示的保障[18]。低相關(guān)性字典使原子能夠表現(xiàn)出信號不同的結(jié)構(gòu)特性,從而覆蓋大部分信號集空間,利于用信號稀疏表示[19]。INK-SVD算法就是在K-SVD算法的基礎(chǔ)上,加入了原子解相關(guān)的步驟。字典的相關(guān)性定義為不同歸一化原子的內(nèi)積絕對值中的最大值,公式如下

(4)

相關(guān)性μ的取值在0到1之間。當字典是正交時,μ取得最小值0;當字典中包含有兩個原子共線時,μ取得最大值1。

要獲得低相關(guān)性的字典,可以求解如下優(yōu)化問題

(5)

E←?

(i,j)=arg max|AHA-I|

A←A{ai,aj}

E←E∪{ai,aj}

end while

圖1 兩個原子解相關(guān)示意圖

原子在標準正交基下的向量表示分別為

(6)

(7)

可以推導(dǎo)出問題(5)的目標函數(shù)和約束分別為

(8)

(9)

迭代地進行(1)(2)兩步,就可以獲得低相關(guān)性的字典,具體算法如下。

for ?(ai,aj)∈Edo

(ai,aj)解相關(guān)

end for

end while

2.3 故障特征提取

考慮到字典學(xué)習(xí)算法的計算量較大,原子的長度不能過長。在提取軸承沖擊故障特征時,首先將測得的信號按步長Δn,分解成k列長度為n的信號段,組成樣本矩陣Y。原子的長度需要滿足包含一個完整故障沖擊衰減波形的長度,但是過長的原子會帶來過大的計算量,影響算法的使用性。因此,實際中通常原子的長度選擇略大于一個完整故障沖擊衰減的長度。

圖2 基于INK-SVD的滾動軸承故障特征提取算法流程

3 仿真分析

在故障初期,滾動軸承的振動信號常常表現(xiàn)為周期性的沖擊振蕩和其他振動成分的疊加。因此,通過疊加周期沖擊成分和高斯白噪聲,構(gòu)建軸承故障仿真信號,具體數(shù)學(xué)表達式如下

(10)

式中:yi(t)是單邊衰減的沖擊響應(yīng)信號。為了更好模擬實際信號中的不確定性,沖擊衰減信號的波形參數(shù)取為服從均勻分布的隨機量:沖擊幅值A(chǔ)i服從區(qū)間[0.5,1]m/s2的均勻分布,阻尼比ζi服從區(qū)間[0.1,0.15]的均勻分布,無阻尼固有頻率ωn服從區(qū)間[4 000π,6 000π]rad·s-1的均勻分布,沖擊周期T=0.01 s,n(t)是獨立同分布的零均值標準差σ=0.1的高斯隨機信號。數(shù)據(jù)的采樣頻率是20 kHz,采樣點數(shù)為1 024,仿真信號的波形如圖3所示。

(a)周期沖擊成分

(b)沖擊和白噪聲的合成信號圖3 仿真信號的波形

圖4 兩種算法提取特征信號的信噪比對比

4 故障模擬實驗

為了進一步驗證方法在提取滾動軸承早期微弱故障特征時的有效性,進行了如下電機軸承故障模擬實驗。實驗臺由一個2.2 kW的電機連接的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)以及拖動的負載組成。在電機的軸承外圈內(nèi)置了一個微弱故障,如圖5所示。軸承的型號是SKF6203,外圈故障特征頻率計算公式如下

fc=0.5Zfa(1-(d/D)cosα)

(11)

式中:Z是滾動體個數(shù);d是滾動體的直徑;D是節(jié)圓直接;α是滾動體的接觸角。當輸入軸轉(zhuǎn)頻1 Hz時,特征頻率為4.932 Hz。

振動信號是由一個粘貼在電機軸承座上的加速度傳感器采集,經(jīng)由Sony數(shù)據(jù)采集系統(tǒng),最終在電腦上處理并顯示。采樣頻率為12.8 kHz。振動信號測試系統(tǒng)如圖6所示。

(a)實驗臺 (b)外圈預(yù)制微弱故障圖5 故障模擬實驗

圖6 故障模擬實驗振動測試系統(tǒng)

對信號進行希爾伯特變換,再對得到復(fù)數(shù)信號的模值進行快速傅里葉變換,得到信號的包絡(luò)解調(diào)譜。原始信號的時域波形以及包絡(luò)解調(diào)譜如圖7所示。從時域波形中,沒有發(fā)現(xiàn)明顯的沖擊成分,在包絡(luò)解調(diào)譜中,也沒有突出的故障特征頻率,因此不能直接診斷出軸承的故障。

(a)原始信號時域波形

(b)包絡(luò)解調(diào)譜圖7 原始信號波形及包絡(luò)解調(diào)譜

(a)本文算法

(b)K-SVD算法

(c)MOD算法圖8 幾種算法提取特征的包絡(luò)解調(diào)譜比較

采用本文提出方法處理該信號,參數(shù)選擇如下:訓(xùn)練信號段的長度為128,樣本為500,字典冗余度為2,最大相關(guān)性取為0.5。由提取的故障特征波形得到的包絡(luò)解調(diào)譜如圖8a所示。在該電機轉(zhuǎn)速下,對應(yīng)的fc是188.8 Hz,從中可以明顯看到故障特征頻率,及其2、3倍頻成分,說明本文算法成功地診斷出滾動軸承的早期微弱故障。作為對比,用原始的K-SVD算法與MOD算法處理該段信號,得到的故障特征波形包絡(luò)解調(diào)譜如圖8b、8c所示,從中只能看出故障特征頻率及其2倍頻,不能看到明顯的3倍頻,表明其故障特征提取效果不如本文算法。

5 結(jié) 論

采用INK-SVD算法可以得到低相關(guān)性的字典,保證了稀疏表示的求解精度,提高了原子與故障特征信號的匹配程度。通過合理設(shè)定相關(guān)性、訓(xùn)練樣本長度等參數(shù),基于非相關(guān)字典學(xué)習(xí)可以有效提取滾動軸承故障稀疏特征。仿真分析及實驗分析表明,與傳統(tǒng)字典學(xué)習(xí)方法相比,本文算法可以更加精確地恢復(fù)稀疏系數(shù),在重構(gòu)信號的包絡(luò)解調(diào)譜中更有利于故障特征的辨識。