羅金雨，姚凌云，江國期，吳 飛

(西南大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院，重慶 400715)

當(dāng)前，聲子晶體廣泛用于振動(dòng)波的控制，這一領(lǐng)域的形成起源于面向電子波控制的光子晶體概念[1]。聲子晶體是兩種或兩種以上彈性介質(zhì)組成的具有彈性波帶隙的周期復(fù)合性材料[2]。當(dāng)彈性波在聲子晶體中傳播時(shí)，由于散射體的周期性分布，將會(huì)禁止某些頻率的波傳播從而形成帶隙。在過去的二十年間，由于聲子晶體這一特有物理性質(zhì)，彈性波在聲子晶體中的傳播得到了廣泛的關(guān)注和研究[3-7]。研究表明聲子晶體的帶隙形成機(jī)理可分為布拉格散射(Bragg Scattering)機(jī)理和局域共振(Locally Resonant)機(jī)理[8]。布拉格帶隙的調(diào)控依賴于復(fù)合介質(zhì)的材料參數(shù)(密度和彈性常數(shù)等)和結(jié)構(gòu)參數(shù)(晶胞形狀、排列方式和填充比)[9]。局域共振帶隙與空間排列基本無關(guān)，而帶隙寬度與材料參數(shù)密切相關(guān)[10-11]。布拉格聲子晶體獲得的帶隙頻率比較高，但是帶隙內(nèi)的衰減比較大。局域共振聲子晶體獲得的帶隙頻率比較低，但是由于類Fano現(xiàn)象[12]影響，因此，帶隙內(nèi)的衰減較小。

聲子晶體的帶隙特性，對(duì)于減振降噪技術(shù)具有廣泛的應(yīng)用前景。目前對(duì)于聲子晶體在減振降噪方面的應(yīng)用，已經(jīng)做了大量的研究與發(fā)展[13-17]。在工程中，最常見的基本結(jié)構(gòu)單元為梁、板和殼結(jié)構(gòu)，因此研究人員對(duì)于聲子晶體的在工程中的應(yīng)用也集中與對(duì)這三類結(jié)構(gòu)的研究。在梁的振動(dòng)控制研究中，溫激鴻等[18]通過將聲子晶體中的周期結(jié)構(gòu)思想引入到梁中，設(shè)計(jì)構(gòu)造了一種具有振動(dòng)帶隙的細(xì)直梁。Wang等[19]研究了一種局域共振彎曲梁的頻散曲線。在板的振動(dòng)控制研究中，郁殿龍等[20]研究了二維聲子晶體薄板的振動(dòng)帶隙,將聲子晶體應(yīng)用到了板結(jié)構(gòu)中。Song等[21]分析和加強(qiáng)了板的彎曲波帶隙。

相比于梁和板結(jié)構(gòu)，圓柱殼在工程應(yīng)用中具有不同之處，具有更廣泛的應(yīng)用。圓柱殼是各種飛機(jī)，輪船，火箭和精密儀器的基本結(jié)構(gòu)單元，被廣泛應(yīng)用與化工，航空航天，國防等領(lǐng)域。因此研究圓柱殼的減振特性意義重大，且具有巨大的應(yīng)用前景。目前研究人員通過分析或數(shù)值計(jì)算等方法已經(jīng)研究了波在圓柱結(jié)構(gòu)中的傳播[22-23]。由于波在彎曲板和圓柱中傳播的復(fù)雜性，許多對(duì)于彎曲板和圓柱中波的傳播研究都使用了簡化假設(shè)和近似理論。Pany等[24]通過有限元法(Finite Element Method,FEM)研究了軸向波在周期彎曲板中的傳播。Manconi等[25]通過有限元法研究了波在圓柱和彎曲板中的傳播特性。Nateghi等[26]提出了一種局域共振型圓柱殼，利用有限元法對(duì)該模型進(jìn)行了研究，獲得了不同方向的彎曲波頻散曲線并討論了圓柱殼半徑對(duì)帶隙的影響。謝宇晗等[27]通過將吸振器分布在圓柱殼上，使圓柱殼具有了減振降噪效果。

現(xiàn)如今，基于布拉格散射機(jī)理的聲子晶體類圓柱殼還沒有被研究和應(yīng)用。基于此，作者提出了一種布拉格聲子晶體類圓柱殼模型，利用圓柱殼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論和Bloch周期條件，建立其結(jié)構(gòu)有限元模型，并計(jì)算其能帶結(jié)構(gòu)。通過能帶結(jié)構(gòu)分析，給出了圓柱殼類聲子晶體的能帶和帶隙的特點(diǎn)。通過對(duì)比同種材料參數(shù)和同種結(jié)構(gòu)參數(shù)的板和殼的能帶圖，發(fā)現(xiàn)環(huán)頻率會(huì)影響殼的第二能帶曲線。為進(jìn)一步的驗(yàn)證環(huán)頻率對(duì)殼的第二能帶曲線的影響，本文還給出了單一材料圓柱殼的能帶圖，得到的環(huán)頻率與公式計(jì)算的環(huán)頻率基本一致。最后，對(duì)提出的模型的振動(dòng)傳遞進(jìn)行了研究，證實(shí)了圓柱殼類聲子晶體帶隙的正確性。同時(shí)將帶隙外與帶隙內(nèi)的位移場(chǎng)分布進(jìn)行了對(duì)比，可以更加直觀的看出該模型的減振效果?；诓祭裆⑸錂C(jī)理的圓柱殼類聲子晶體的振動(dòng)帶隙研究為圓柱類結(jié)構(gòu)隔振降噪方面的應(yīng)用研究提供了一種新的思路和途徑，具有良好的應(yīng)用前景。

1 周期性結(jié)構(gòu)的圓柱殼模型

1.1 簡單模型

為了更好的描述如圖1所示的周期結(jié)構(gòu)圓柱殼，本節(jié)將笛卡爾坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為圓柱坐標(biāo)，如圖2(a)所示。此時(shí)二維波傳播的波矢在圓柱坐標(biāo)中的表示如圖2(b)所示。

圖1 周期結(jié)構(gòu)圓柱殼及相應(yīng)的晶胞(邊長為0.02 m，圓半徑為0.008 m)Fig.1 The periodic shell and corresponding crystal cell (The side length is 0.02 m and the radius of the circle is 0.008 m)

圖2 坐標(biāo)變換及二維波矢的表示Fig.2 Coordinate conversion &representation of wavenumber vector

此時(shí)波矢k可以表示為

(1)

在對(duì)殼體進(jìn)行分析時(shí)，更習(xí)慣使用環(huán)向坐標(biāo)s，軸坐標(biāo)y和指向圓心的坐標(biāo)z，如圖2(a)所示，即有

Rθ→s,z→y,r→z

(2)

相應(yīng)的位移為

Uθ→U,Uz→V,Ur→W

(3)

1.2 周期結(jié)構(gòu)圓柱殼結(jié)構(gòu)波傳播理論

彈性波在均勻，連續(xù)，線性的介質(zhì)中傳播時(shí)，傳播方程為

(4)

式中：ui=(r,t)為彈性位移場(chǎng)的一個(gè)分量；ρ為密度，r=(s,y,z)；σ為應(yīng)力張量，可以表示成

σij=λtr(ε)δij+2μεij,ij=s,y,z

(5)

式中：tr(ε)為相應(yīng)應(yīng)變張量；δij為克羅內(nèi)克符號(hào)；λ和μ為Lamé常數(shù)，可用彈性模量E和泊松比ν表示，如式(6)所示

(6)

εij為應(yīng)變張量具體可用位移場(chǎng)表示為

(7)

根據(jù)Bloch-Floquet定理[28]有

u(r,f)=U(r,k,f)ek·r

(8)

2 能帶數(shù)值分析

目前有很多方法來計(jì)算周期結(jié)構(gòu)的能帶，本文采取了有限元法(FEM)即利用有限元軟件COMSOL Multiphysics來計(jì)算周期圓柱殼結(jié)構(gòu)的能帶圖。有限元法適合于包含有多種材料的聲子晶體能帶計(jì)算和振動(dòng)分析。

本文利用COMSOL軟件建立有限元模型，然后選擇固體力學(xué)物理場(chǎng)的中的特征頻率模塊進(jìn)行計(jì)算獲得能帶圖。在COMSOL建立如圖1所示的晶胞模型，如圖3所示。

圖3 晶胞模型(邊長為0.02 m，圓半徑為0.008 m)Fig.3 The crystal cell model (The side length is 0.02 m and the radius of the circle is 0.008 m)

對(duì)于圓柱殼晶胞模型，COMSOL軟件中采用笛卡爾坐標(biāo)，而圓周方向波矢ks為環(huán)向波矢，因此在COMSOL軟件中設(shè)置圓柱殼周期性條件時(shí)，需將ks分解到x和y方向。故本計(jì)算中設(shè)置Floquet周期k矢量在x，y，z分別為kscos(a/R)π/a，kssin(a/R)π/a，kyπ/a，而對(duì)周期結(jié)構(gòu)板的x，y，z分別設(shè)置為kxπ/a，0，kzπ/a。其中，a和R分別為晶胞邊長和圓柱殼半徑。為了保證結(jié)果滿足有限元法的收斂性要求，本研究在COMSOL軟件中將模型劃分為7 330個(gè)四面體單元組成的網(wǎng)格，其自由度數(shù)為35 868。

利用COMSOL軟件實(shí)際上是解決以下離散系統(tǒng)的二次特征問題

k2A(φ)+kB(φ)+(C-ω2D)=0

(9)

式中：A(φ),B(φ),C和D是基于式(1)、式(4)和式(8)得到的矩陣；A(φ),B(φ)分別為稱矩陣和非對(duì)稱矩陣；C和D分別為結(jié)構(gòu)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。

圖4 第一布里淵區(qū)Fig.4 The irreducible region of the Brillouin zone

利用有限元法即通過COMSOL商業(yè)軟件計(jì)算了半徑為0.1 m厚度為0.002 m的周期結(jié)構(gòu)圓柱殼的縱向模態(tài)能帶圖。周期結(jié)構(gòu)圓柱殼如圖1所示，基體采用了環(huán)氧樹脂，散射采用了鉛。材料屬性參見表1。獲得的能帶圖如圖5所示。

表1 材料參數(shù)Tab.1 Material parameter

圖5 半徑為0.1 m的周期結(jié)構(gòu)圓柱殼的能帶圖Fig.5 The dispersion curve of periodic structure cylindrical shell with a radius of 0.1 m

利用有限元模型進(jìn)行能帶計(jì)算，得到如圖5所示的能帶結(jié)構(gòu)圖。圖5中帶隙1～帶隙4表示在該頻率內(nèi)沒有振動(dòng)傳播，即振動(dòng)帶隙。如圖5所示在0～80 kHz中存在3個(gè)完全帶隙分別為帶隙1、帶隙3和帶隙4和一個(gè)方向帶隙即帶隙2。第一個(gè)完全帶隙在29～53 kHz，第二個(gè)完全帶隙在60～62 kHz，第三個(gè)完全帶隙在68～73 kHz，表明在這3個(gè)頻率之間振動(dòng)被完全禁止傳播。方向帶隙在54～56 kHz，表明在這個(gè)頻率之間ΓX方向的振動(dòng)被禁止傳播。

為了評(píng)價(jià)圓柱殼與板的能帶結(jié)構(gòu)的差異，本文還計(jì)算了同種材料參數(shù)和同種結(jié)構(gòu)參數(shù)的周期結(jié)構(gòu)板的能帶圖。周期結(jié)構(gòu)板如圖6所示。板能帶圖如圖7所示。

圖6 周期結(jié)構(gòu)板Fig.6 The periodic plate

圖7 周期結(jié)構(gòu)板能帶圖Fig.7 The dispersion curve of periodic structural plates

通過對(duì)比板和殼的能帶圖可以發(fā)現(xiàn)，板和殼的縱向模態(tài)能帶圖帶隙并沒有多大的區(qū)別。但是可以觀察到板和殼的第二能帶有著區(qū)別。板的第二能帶從0開始，而殼的第二能帶從2 095 Hz開始。這個(gè)頻率可以由圓柱殼的環(huán)頻率fr的計(jì)算公式計(jì)算

(10)

由式(10)可知，環(huán)頻率的大小與所選材料和圓柱殼的半徑大小有關(guān)，當(dāng)所計(jì)算模型為平板時(shí)，可看作半徑R為無窮大，此時(shí)環(huán)頻率為0如圖7周期結(jié)構(gòu)板的能帶圖所示。為了進(jìn)一步的證實(shí)環(huán)頻率對(duì)殼的第二能帶的影響，文章還給出了環(huán)氧樹脂為材料的半徑為0.1 m的圓柱殼的能帶曲線，如圖8所示。從圖中可以看出第二能帶從3 253 Hz開始。由式(10)可知此時(shí)fr為3 286.4 Hz，與圖中頻率相符合。

圖8 半徑為0.1 m的圓柱殼能帶圖Fig.8 The dispersion curve of cylindrical shell with a radius of 0.1 m

3 振動(dòng)傳遞研究

如圖5所示的能帶圖盡管很好的說明了帶隙的頻率位置及寬度，但是不能充分的說明周期性圓柱殼的減振特性。為了進(jìn)一步的說明周期結(jié)構(gòu)圓柱殼的減振特性及驗(yàn)證帶隙的正確性，對(duì)多個(gè)周期(根據(jù)隔振要求，一般保證5～10個(gè)周期)結(jié)構(gòu)的圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動(dòng)傳遞分析。如圖9所示給出了5個(gè)周期的振動(dòng)傳遞仿真模型，鉛柱均勻的插入厚度為2 mm的環(huán)氧樹脂圓柱殼中，其晶胞大小與圖1所示一致，材料參數(shù)參見表1。如圖5所示周期結(jié)構(gòu)圓柱殼的帶隙頻率范圍集中20～75 kHz，因此采用有限元COMSOL Multiphysics軟件劃分了44 042個(gè)四面體單元形成了266 364個(gè)自由度來分析其20～75 kHz的振動(dòng)傳遞特性，步長為1 kHz。本文只研究了ΓX方向的振動(dòng)傳遞，在T線上施加了沿著如圖9淺色箭頭所示方向的諧波位移qinc=Qinceiωt，通過COMSOL Multiphysics軟件分析計(jì)算得到了在右端Homogeneous part部分上的位移響應(yīng)qres=Qreseiωt。傳遞系數(shù)就可定義為T=20 lg|Qres/Qinc。在Homogeneous part兩端施加的完美匹配層(Perfectly Matched Layer,PML)是為了防止邊界的散射波，同時(shí)模型的兩側(cè)運(yùn)用了周期性邊界條件。

圖9 振動(dòng)傳遞模型Fig.9 The vibration transfer model

根據(jù)計(jì)算結(jié)果獲得該周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳遞函數(shù)如圖10所示，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，曲線包含4個(gè)較大的衰減區(qū)域，第一個(gè)衰減區(qū)域的頻率為30～51 kHz,第二個(gè)衰減區(qū)域的頻率在54～56 kHz，第三個(gè)衰減區(qū)域的頻率在60～62.5 kHz，第四個(gè)衰減區(qū)域頻率在67～72 kHz。這與圖5所示的帶隙基本匹配，但是也存在誤差。誤差產(chǎn)生的原因是無論是采用有限元法計(jì)算帶隙還是對(duì)振動(dòng)傳遞進(jìn)行仿真，這些都是近似算法，其精度決定于有限元網(wǎng)格的數(shù)量和質(zhì)量，考慮到計(jì)算時(shí)間等問題只能選擇適當(dāng)?shù)木葋碛?jì)算。

圖10 振動(dòng)傳遞Fig.10 The vibration transfer

為了進(jìn)一步直觀的了解圓柱殼類聲子晶體的減振特性，圖11和圖12給出了在帶隙外頻率點(diǎn)的位移場(chǎng)的分布情況，圖13和圖14給出了在帶隙內(nèi)的頻率點(diǎn)的位移場(chǎng)分布情況。由圖11和圖12可以明顯看出當(dāng)頻率為22 kHz，58 kHz處于帶隙之外時(shí)，此時(shí)振動(dòng)傳遞通過了周期結(jié)構(gòu)圓柱殼，此時(shí)的周期結(jié)構(gòu)圓柱殼沒有任何的減振效果。經(jīng)過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，圖13和圖14可以明顯看出當(dāng)頻率為43 kHz，71 kHz處于帶隙內(nèi)時(shí)，此時(shí)振動(dòng)波只向右傳遞了一個(gè)周期，此時(shí)振動(dòng)波的大部分能量都被周期結(jié)構(gòu)反射回去了，因而右邊基本沒有振幅，振動(dòng)傳遞不過去具有良好的減振效果。

圖11 22 kHz的位移場(chǎng)分布Fig.11 The displacement field distribution of 22 kHz

圖12 58 kHz的位移場(chǎng)分布Fig.12 The displacement field distribution of 58 kHz

圖13 43 kHz的位移場(chǎng)分布Fig.13 The displacement field distribution of 43 kHz

圖14 71 kHz的位移場(chǎng)分布Fig.14 The displacement field distribution of 71 kHz

4 結(jié) 論

本文研究了圓柱殼類聲子晶體的振動(dòng)特性，得到了圓柱殼類聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)圖。對(duì)能帶圖進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)了圓柱殼類聲子晶體具有縱向振動(dòng)帶隙。通過將同種材料參數(shù)和同種結(jié)構(gòu)參數(shù)的殼和板的能帶圖進(jìn)行對(duì)比，雖發(fā)現(xiàn)殼和板的帶隙相似，但圓柱殼與板類結(jié)構(gòu)在工程應(yīng)用中具有不同之處，且圓柱殼結(jié)構(gòu)應(yīng)用更加廣泛，同時(shí)發(fā)現(xiàn)了殼和板的第二能帶具有不同之處，故研究圓柱殼類聲子晶體具有重大意義。分析了周期結(jié)構(gòu)圓柱殼的振動(dòng)傳遞，發(fā)現(xiàn)了在帶隙頻率內(nèi)振動(dòng)傳遞具有很大的衰減，具有較好的減振特性。通過帶隙外和帶隙內(nèi)兩個(gè)不同的頻率所對(duì)應(yīng)的位移場(chǎng)分布，可以更加直觀的描述圓柱殼類聲子晶體對(duì)振動(dòng)傳遞的影響。研究表明，圓柱殼類聲子晶體具有良好減振效果，這就為圓柱類結(jié)構(gòu)的隔振降噪技術(shù)提供了實(shí)質(zhì)性的幫助，同時(shí)圓柱殼類結(jié)構(gòu)在工程應(yīng)用廣泛，因此具有振動(dòng)帶隙的周期結(jié)構(gòu)圓柱殼應(yīng)用前景廣闊。