姜 嬌，陳長征，薄 磊，舒 鑫，王 仲，王遠濤

(1.沈陽工業(yè)大學 機械工程學院，沈陽 110870；2.沈陽城市學院，沈陽 110112；3.沈陽鼓風機集團股份有限公司，沈陽 110869；4.遼寧科技學院，遼寧 本溪 117004；5.遼寧電機職業(yè)技術(shù)學院，遼寧 丹東 118000)

振動篩是一種用于物料顆粒按粒度分級的篩分機械，廣泛應(yīng)用于采礦、冶金、石油、化工、建筑、糧食、垃圾回收等產(chǎn)業(yè)。振動篩的種類繁多，包括直線振動篩、圓振動篩、香蕉篩、復(fù)頻篩、旋振篩、高頻振動篩等[1-4]。在實際農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，廣泛應(yīng)用的直線振動篩一般是由雙機或雙軸反向轉(zhuǎn)動進行驅(qū)動。根據(jù)振動同步理論，雙機或雙軸可以實現(xiàn)振動同步運動，取代傳統(tǒng)齒輪、鏈條等強制同步方式，降低了機械的復(fù)雜程度、結(jié)構(gòu)簡單、制造成本低，節(jié)約了能源[5]。雖然自同步直線振動篩有很多優(yōu)點，但是對于每一臺振動篩而言，其振動參數(shù)與振動形式往往是固定的，不能方便地進行調(diào)節(jié)，容易出現(xiàn)物料阻塞現(xiàn)象。針對上述問題，本文以反向轉(zhuǎn)動雙機驅(qū)動振動篩為研究對象，采用控制同步的方法，方便靈活地改變振動篩的振動形式。

近年來，人們對雙機或多機控制同步理論進行了大量研究。Tomizuka等[6]設(shè)計自適應(yīng)前饋控制器，實現(xiàn)了兩臺直流電機的控制同步。Deng等[7]對永磁同步電機的控制同步進行了研究。Xiao等[8-9]將交叉耦合方法與優(yōu)化策略相結(jié)合，設(shè)計了一種廣義同步控制器，實現(xiàn)了兩臺永磁直線電機的同步控制。Zhao等[10]基于相鄰交叉耦合控制結(jié)構(gòu)，應(yīng)用全滑?？刂撇呗裕瑢崿F(xiàn)了多臺感應(yīng)電動機的速度同步運動。Zhang等[11]研究了多臺感應(yīng)電機的混沌速度控制同步問題。Li等[12]將自適應(yīng)滑?？刂扑惴ㄒ胂噜徑徊骜詈峡刂平Y(jié)構(gòu)實現(xiàn)了多臺感應(yīng)電機的速度追蹤和控制同步運動。張承慧等[13]將具有知識表達和自我學習能力的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步控制器用于四電機的同步控制。但是，在上述研究中，很少涉及振動系統(tǒng)中雙機或多機控制同步理論與方法的研究。

本文研究了反向轉(zhuǎn)動雙機驅(qū)動振動篩控制同步的問題。首先，在考慮感應(yīng)電動機數(shù)學模型的基礎(chǔ)上，建立雙機驅(qū)動振動篩的機電耦合模型。接下來，采用主從控制結(jié)構(gòu)和滑?？刂扑惴ǎO(shè)計主電機的速度控制器和從電機的相位差控制器。對于每臺電機，采用矢量控制策略及PI控制算法，實現(xiàn)電機的快速反應(yīng)?；贚yapunov穩(wěn)定性理論及Barbalat引理，分析并驗證了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后，應(yīng)用Matlab/Simulink仿真分析驗證所設(shè)計控制器的有效性，并討論了系統(tǒng)參數(shù)的影響。

1 反向轉(zhuǎn)動雙機驅(qū)動振動篩數(shù)學模型

反向轉(zhuǎn)動雙機驅(qū)動振動篩的模型，如圖1所示。篩箱由對稱分布的4根彈簧進行支撐，原點o為篩箱質(zhì)心。兩反向轉(zhuǎn)動激振器對稱安裝于篩箱上提供振動篩所需的激振力。篩箱存在三個方向的運動，分別為x方向的振動、y方向的振動及繞質(zhì)心的擺動。再加上偏心轉(zhuǎn)子繞自身電機軸的轉(zhuǎn)動，共5個自由度。選擇x,y,ψ,φ1和φ2為廣義坐標，應(yīng)用Lagrange方程建立振動篩的運動微分方程[14]

(1)

其中，

式中：l1,2為o～o1，o2的距離，m；r為激振器的旋轉(zhuǎn)半徑，m；θ1,2為oo1，oo2與x方向的夾角，°；α為振動方向角，°；m1,2為兩激振器的激振質(zhì)量，kg；mb為篩箱的質(zhì)量，kg；Jb為篩箱繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，kg/m2；le為振動篩的等效轉(zhuǎn)動半徑，m；kx,ky,kψ為振動篩三方向彈簧剛度，N/m；fx,fy為振動篩x，y方向阻尼系數(shù)，N·s/m；fψ為振動篩ψ方向阻尼系數(shù)，N·s/m；J1,2為兩激振器的轉(zhuǎn)動慣量，kg/m2;f1,2為兩激振器的阻尼系數(shù)，N·s/m;Te1,Te2為兩激振器的電磁轉(zhuǎn)矩，N/m；TL1,TL2為負載轉(zhuǎn)矩，N/m。

圖1 反向轉(zhuǎn)動雙機驅(qū)動振動篩Fig.1 Vibrating screen driven by two exciters rotating in the opposite direction

雙機驅(qū)動振動篩是典型的機電耦合系統(tǒng)，對雙機驅(qū)動振動篩的同步問題進行研究，需要建立感應(yīng)電動機的數(shù)學模型。式(1)的最后兩個式子為感應(yīng)電動機的運動方程。對于電磁系統(tǒng)，感應(yīng)電動機在d-q兩相旋轉(zhuǎn)坐標系下的狀態(tài)方程為[15]

(2)

式中：d,q為旋轉(zhuǎn)坐標系的d軸和q軸；φdr,φqr為轉(zhuǎn)子磁鏈，Wb；ids,iqs為定子電流，A；uds,uqs為定子電壓，V；Rs,Rr為定子和轉(zhuǎn)子電阻，Ω；Ls,Lr為定子和轉(zhuǎn)子自感系數(shù)，H；Lm為定子和轉(zhuǎn)子互感系數(shù)，H；Tr為轉(zhuǎn)子時間常數(shù)，Tr=Lr/Rr，s；σ為漏磁系數(shù)，σ=1-(Lm)2/(LsLr)；np為極對數(shù)；ωe為同步角速度，rad/s；ω為機械角速度，rad/s。

根據(jù)感應(yīng)電動機的狀態(tài)方程，獲得電磁轉(zhuǎn)矩為

Te=KTiqs

(3)

式中：KT=(3/2)np(Lm/Lr)φdr。

2 反向轉(zhuǎn)動雙機驅(qū)動振動篩控制器設(shè)計

本文采用主從控制結(jié)構(gòu)，滑?？刂扑惴笆噶靠刂茖崿F(xiàn)兩激振器的同步控制，如圖2所示。選擇電機1為主電機，電機2為從電機。對于主電機1，只需要控制電機角速度等于目標值，對電機的相位不進行控制，利用滑模控制算法設(shè)計控制器1。對于從電機2，需要控制其與電機1的相位差等于目標值，同樣利用滑?？刂扑惴ㄔO(shè)計控制器2。而對每個電機電流環(huán)的控制采用矢量控制算法，提高電機的響應(yīng)速度。

將式(3)代入式(1)的最后兩式，并整理得

(4)

其中,

a1=-f1/J1,b1=KT1/J1,c1=-1/J1,a2=-f2/J2,b2=KT2/J2,c2=-1/J2,L1=c1TL1,L2=c2TL2。

式中：u1，u2為兩電機的轉(zhuǎn)矩電流iqs1,iqs2；L1,L2為有界的不確定量，滿足|L1|<δ1，|L2|<δ2；δ1，δ2為正實數(shù)。

2.1 主電機控制器設(shè)計

(5)

設(shè)角速度目標值為ωd，角速度追蹤誤差為

e1=ω1-ωd

(6)

設(shè)計滑模函數(shù)s1

(7)

式中：β為正實數(shù)；e1(0)為初始速度差，°。

根據(jù)式(5)、式(7)可得

(8)

式中：W1=L1；|W|1<δ1。

(9)

為了抵抗干擾的影響，可設(shè)計魯棒控制器為

usw1=1/b1[-ε1sgn(s1)]

(10)

式中：ε1為正實數(shù)；sgn(·)為符號函數(shù)。

最終，可得滑模控制器為

(11)

定義Lyapunov函數(shù)為

(12)

顯然，V1=0，s1=0和V1>0，s≠0成立。式(12)求導(dǎo)，得

(13)

圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Framework of the controlled system

2.2 從電機控制器設(shè)計

選擇兩電機的相位差作為狀態(tài)變量

Δφ=φ1-φ2

(14)

設(shè)相位差的目標值為Δφd，相位差的追蹤誤差為

e2=Δφ-Δφd

(15)

設(shè)計滑模函數(shù)

(16)

式中：β1,2為正實數(shù)。

根據(jù)式(4)、式(16)，可得

(17)

式中：Δω=ω1-ω2；U=b1u1-b2u2；W2=L1-L2；|W2|=|L1-L2|≤|L1|+|L2|<δ1+δ2。

Ueq=-(a2+β1)Δω-(a1-a2)ω1-
β2(Δφ-Δφd)

(18)

設(shè)計魯棒控制器為

Usw=-ε2sgn(s2)

(19)

式中：ε2為正實數(shù)。

由此可得滑?？刂破鳛?/p>

U=Ueq+Usw

(20)

定義Lyapunov函數(shù)為

(21)

顯然，V2≥0。Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

(22)

最終，從電機的控制器為

u2=1/b2[b1u1+(a2+β1)Δω+(a1-a2)ω1+
β2(Δφ-Δφd)+ε2sgn(s2)]

(23)

為了進一步減弱“抖振”現(xiàn)象，采用飽和函數(shù)sat(·)代替符號函數(shù)sgn(·)，即

sat(si)={1,si>γ
(1/γ)si,|si|≤γ,i=1,2
-1,si<-γ

(24)

式中：γ為正實數(shù)。

最后，兩電機的滑?？刂破鞣謩e為

(25)

2.3 穩(wěn)定性分析

證明：選擇Lyapunov函數(shù)為

(26)

由式(7)，式(16)和式(26)，得

(27)

式(27)滿足ε1>δ1和ε2>δ1+δ2。定義函數(shù)

(28)

對式(28)積分，得

(29)

因為V(0)有界，V(t)有界且非增，可得

(30)

式(28)可整理為

(31)

式(31)對時間求導(dǎo)并整理，得

(32)

由式(32)，得

(33)

(34)

3 仿真實例

本節(jié)應(yīng)用Matlab/Simulink仿真驗證控制方法的有效性。振動篩和兩電機的相關(guān)參數(shù)分別列于表1和表2。矢量控制結(jié)構(gòu)圖見文獻[16]。

表1 振動篩參數(shù)Tab.1 Parameters of the vibrating system

表2 感應(yīng)電動機參數(shù)Tab.2 Parameters of induction motors

3.1 仿真分析

選擇參數(shù)m1=m2=4 kg，l1=l2=0.5 m，驗證所設(shè)計控制器的有效性。目標角速度ωd=95 rad/s，目標相位差Δφd=0°?？刂破鞯南嚓P(guān)參數(shù)為：β=16，β1=16，β2=64，ε1=788，ε2=1 150，γ=1；矢量控制的PI參數(shù)為：kp1=184，ki1=11 474，kp2=223，ki2=7 490。圖3為控制同步的仿真結(jié)果。如圖3(a)所示，目標角速度ωd=95 rad/s，穩(wěn)態(tài)時，兩激振器的角速度基本相同，由于振動的影響，二者均在94.6～95.4 rad/s以近似正弦變化。圖3(b)為兩激振器相位差隨時間的變化曲線。可以看出，在起動階段，兩激振器的相位差達到約-130°；在控制器的作用下，在1 s內(nèi)收斂于Δφ≈0°。通過上述仿真結(jié)果可知，兩激振器實現(xiàn)了控制同步運動。由于系統(tǒng)本身為典型的機電耦合系統(tǒng)，振動篩箱與電機之間是相互作用，相互影響的。在兩激振器未達到零相位差同步運動時，振動篩x-,y- 和ψ-方向的響應(yīng)變化很大，如圖3(c)～圖3(e)所示；穩(wěn)態(tài)時，由于兩激振器的相位差為0°，篩箱所受外激勵方向為y-方向，所以篩箱x-與ψ-方向的響應(yīng)為0，與計算結(jié)果一致。圖3(f)為篩箱質(zhì)心的運動軌跡，由于篩箱作y-方向的直線振動，質(zhì)心的運動軌跡為直線。顯然，應(yīng)用本文所提出的控制同步方法也可以實現(xiàn)反向回轉(zhuǎn)雙機驅(qū)動振動篩的直線振動形式。

圖3 控制同步仿真結(jié)果(m1=m2=4 kg,l1=l2=0.5 m,Δφd=0°)Fig.3 Simulation results of controlled synchronization (m1=m2=4 kg,l1=l2=0.5 m,Δφd=0°)

3.2 參數(shù)影響

首先，討論目標轉(zhuǎn)速ωd的變化對控制系統(tǒng)的影響，其他系統(tǒng)參數(shù)保持不變，即m1=m2=4 kg，l1=l2=0.5 m，Δφd=0°。圖4為控制系統(tǒng)在目標轉(zhuǎn)速發(fā)生變化條件下的仿真結(jié)果。如圖4(a)所示，目標轉(zhuǎn)速ωd在t=5 s時由95 rad/s變?yōu)?0 rad/s。在目標轉(zhuǎn)速發(fā)生變化時，從電機的角速度始終與主電機的角速度保持一致；當系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)時，兩激振器的轉(zhuǎn)速在80 rad/s附近以近似正弦的形式變化。當t=5 s時，兩激振器的相位差始終等于0°，見圖4(b)。在圖4(c)和圖4(d)中，由于激振器角速度的變化，造成篩箱x和y方向的響應(yīng)從穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)；但是，在3 s內(nèi)，x和y方向的響應(yīng)又重新達到穩(wěn)態(tài)。圖4(e)為篩箱ψ方向的響應(yīng)曲線，可以看出：其變化規(guī)律與相位差的變化規(guī)律是基本一致的。由于僅僅轉(zhuǎn)速發(fā)生改變，而兩激振器的相位差未發(fā)生變化，因此篩箱的運動軌跡不發(fā)生變化，仍然為直線，如圖4(e)所示。從上述分析可以看出：控制系統(tǒng)對于目標轉(zhuǎn)速的變化具有很強的魯棒性；同時，采用本文提出控制同步的方法，可以很好地調(diào)節(jié)振動篩的工作頻率。

圖4 不同目標轉(zhuǎn)速條件下控制同步仿真結(jié)果(m1=m2=4 kg,l1=l2=0.5 m,Δφd=0°)Fig.4 Simulation results of controlled synchronization with desired speed changes (m1=m2=4 kg,l1=l2=0.5 m,Δφd=0°)

圖5為Δφd=90°時控制同步的仿真結(jié)果。如圖5(a)所示，穩(wěn)態(tài)時，兩激振器的轉(zhuǎn)速在94.4～96.6 rad/s以近似正弦的形式波動，顯然可以說明兩激振器實現(xiàn)了同步控制。如圖5(b)所示，穩(wěn)態(tài)時，兩臺電機的相位差在90°附近變化，與目標值之間的差值在0.1°以內(nèi)，說明在控制器的作用下兩激振器實現(xiàn)了相位差為90°的同步運動。由于兩激振器相位差的存在，篩箱所受x方向的激振力不恒等于0，造成振動篩在x方向的響應(yīng)的幅值不等于0，如圖5(c)所示；同時，篩箱所受y方向的激振力的幅值與0相位差時相比有所減小，振動篩在y方向的響應(yīng)的幅值相應(yīng)的有所減小，如圖5(d)所示；此外，振動篩存在輕微地擺動，如圖5(e)所示。此時，式(1)的前兩式的解可表示為x=Xsin[(φ1+φ2)/2-φx]，y=Ysin[(φ1+φ2)/2-φy]，依據(jù)參數(shù)進行計算可知φx≈φy，所以篩箱質(zhì)心的運動軌跡仍然近似為直線，與圖5(f)所示結(jié)果是一致的。通過上述結(jié)果可知，采用本文所提出的控制同步方法，可以調(diào)節(jié)振動篩的振動方向角。

圖5 控制同步仿真結(jié)果(m1=m2=4 kg,l1=l2=0.5 m,Δφd=90°)Fig.5 Simulation results of controlled synchronization (m1=m2=4 kg,l1=l2=0.5 m,Δφd=90°)

最后，分析不同激振質(zhì)量對控制同步運動的影響。圖6為m1=3 kg,m2=5 kg時控制同步的仿真結(jié)果。激振質(zhì)量的變化，對于控制系統(tǒng)而言，改變了系統(tǒng)的外部干擾量，但是，由圖6(a)和圖6(b)可知，兩激振器實現(xiàn)了控制同步運動，且相位差仍為0°。但是，由于m1≠m2，振動篩的響應(yīng)為x=X1cos(φ1-φx)，y=Y1sin(φ1-φy)，ψ=Ψ1sin(φ1-φψ)，篩箱存在x，y方向的平動及ψ方向的擺動，且質(zhì)心運動軌跡為橢圓，與圖6(c)～圖6(f)所示仿真結(jié)果一致。上述結(jié)果再次表明，本文所設(shè)計控制系統(tǒng)具有很強的魯棒性；同時說明采用控制同步方法不僅可以實現(xiàn)直線的振動形式，而且可以實現(xiàn)橢圓的振動形式。

圖6 控制同步仿真結(jié)果(m1=3 kg,m2=5 kg,l1=l2=0.5 m,Δφd=0°)Fig.6 Simulation results of controlled synchronization (m1=3 kg,m2=5 kg,l1=l2=0.5 m,Δφd=0°)

4 結(jié) 論

(1)基于滑?？刂扑惴ê褪噶靠刂萍爸鲝目刂平Y(jié)構(gòu)，設(shè)計了兩激振器的轉(zhuǎn)速和相位差控制器，并應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)及Barbalat引理，證明了所設(shè)計同步控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(2)仿真分析發(fā)現(xiàn)：采用本文設(shè)計的控制器，可以實現(xiàn)兩激振器任意相位差的同步運動，說明了所設(shè)計控制系統(tǒng)的有效性。同時，分析了目標轉(zhuǎn)速、目標相位差、激振質(zhì)量等參數(shù)變化對控制同步系統(tǒng)的影響，充分說明了本文所設(shè)計同步控制系統(tǒng)具有很好的魯棒性。

(3)本文所提出控制同步的方法，可以成功地用于反向轉(zhuǎn)動雙機驅(qū)動振動篩，根據(jù)物料篩分情況，通過調(diào)節(jié)兩激振器的相位差、激振質(zhì)量、轉(zhuǎn)速等參數(shù)，可以方便地調(diào)節(jié)篩箱的振動形式，避免篩孔的堵塞現(xiàn)象，獲得理想的篩分效果，提高篩分效率。