孫瑛琦，曾德平，張春楊，許佳琪，張菁霓，龔 洋，何 倩，高雪梅，楊增濤

(重慶醫(yī)科大學(xué) 生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院 省部共建國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地—重慶市超聲醫(yī)學(xué)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶市生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶市微無(wú)創(chuàng)醫(yī)學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心，重慶 400016)

壓電復(fù)合材料是指由壓電陶瓷和聚合物按一定的連通方式、一定的體積或質(zhì)量比，以及一定的空間幾何分布復(fù)合而成的材料。根據(jù)連通性的不同，兩相壓電復(fù)合材料可分為10種類型，分別為0-0型、0-1型、0-2型、0-3型、1-1型、1-2型、1-3型、2-2型、2-3型和3-3型，其中對(duì)1-3型壓電復(fù)合材料的研究最深入。1-3型壓電復(fù)合材料結(jié)合了壓電陶瓷和聚合物的優(yōu)點(diǎn)，與大多數(shù)壓電陶瓷相比，1-3型壓電復(fù)合材料具有較低的聲阻抗、較高的耦合系數(shù)、較低的機(jī)械品質(zhì)因數(shù)和介電損耗，并且在設(shè)計(jì)方面具有更好的靈活性[1-2]。如今，1-3型壓電復(fù)合材料在生物醫(yī)學(xué)換能器、水下應(yīng)用和微型定位系統(tǒng)等領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用[3-5]。

將1-3型壓電復(fù)合材料設(shè)計(jì)成非均勻厚度壓電片可以增加換能器的工作帶寬，還可以實(shí)現(xiàn)超聲波聚焦[6-11]?；诜蔷鶆蚝穸?-3型壓電復(fù)合材料片的特性，可將其作為一種寬帶超聲換能器，已被應(yīng)用于水浸無(wú)損探傷、聲波測(cè)井以及超聲成像如：多普勒成像、彈性成像、灰度成像等領(lǐng)域，同時(shí)也可以作為聚焦超聲波發(fā)射換能器，實(shí)現(xiàn)在水中及固體材料中的聚焦。

超聲換能器性能參數(shù)的精確模擬在換能器設(shè)計(jì)過(guò)程中尤為重要。目前，換能器的常用分析方法有梅森(Mason)模型、克里姆霍爾茲(KLM)模型、壓電振動(dòng)模型[12-14]以及有限元法[15-16]等。前三種研究方法已被應(yīng)用到分析和優(yōu)化均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料[17]，而無(wú)法直接用于分析非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料換能器，有限單元法可不受結(jié)構(gòu)形狀及材料的限制，但其模擬計(jì)算時(shí)耗時(shí)較長(zhǎng)且無(wú)法解析表達(dá)出各參量之間的關(guān)系。因此，需要建立一種新的分析方法來(lái)分析非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料換能器的性能。

為分析非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料換能器的性能，本文提出了一種并聯(lián)振子等效電路模型，即將非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料換能器看成并聯(lián)的諧振器陣列，采用三維厚度伸縮振動(dòng)模型對(duì)諧振器單元進(jìn)行理論分析，并制作了非均勻厚度壓電換能器的樣品，分析對(duì)比理論及實(shí)驗(yàn)結(jié)果。對(duì)非均勻厚度壓電換能器的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行建模。

1 等效模型建立

非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料片示意圖，如圖1所示。該換能器被設(shè)計(jì)為平凹形狀，其厚度沿徑向逐漸增加，其中凹面的曲率為R，邊緣厚度為H，壓電片的直徑為d。

圖1 非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料片示意圖Fig.1 1-3 piezoelectric composites harvester of gradually varying thickness

對(duì)于1-3型壓電復(fù)合材料，其橫向應(yīng)力被聚合物介質(zhì)吸收，環(huán)氧樹脂相的剪切模量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于壓電相的縱向彈性模量，各個(gè)PZT柱之間的相互耦合很小[18-19]，因此，當(dāng)1-3型壓電復(fù)合材料制作成非均勻厚度壓電片時(shí)，可以認(rèn)為它是由不同厚度的諧振器陣列并聯(lián)組成。在施加超聲壓力時(shí)，這些諧振器陣列可以沿著厚度方向獨(dú)立地進(jìn)行振動(dòng)。因此，在前期建立的1-3型壓電復(fù)合材料厚度伸縮模型[20-23]的基礎(chǔ)上進(jìn)行完善與改進(jìn)，建立并聯(lián)振子等效電路模型對(duì)非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料進(jìn)行理論分析，如圖2所示。

圖2 非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料的等效電路模型Fig.2 The equivalent circuit model of non-uniform thickness 1-3 piezoelectric composite transducers

2 振動(dòng)及阻抗分析

由諧振器陣列并聯(lián)而成的非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料的總阻抗可以表示為

(1)

式中：Zi為單個(gè)振蕩器單元的阻抗。

以厚度為2hi的振蕩器單元為例，其振動(dòng)模型如圖3所示。有研究表明1-3型壓電復(fù)合材料可以作為有效的均勻介質(zhì)處理[24]。因此，提出了一種采用大體積壓電陶瓷板代替1-3型壓電復(fù)合材料的分析模型，該板由x=±hi的兩個(gè)平面界定，并且這兩個(gè)表面之間無(wú)牽引力。極化方向P沿板的縱向，即圖3中x3方向。

圖3 諧振器單元振動(dòng)模型Fig.3 The vibration model of the oscillator unit i

1-3壓電復(fù)合板的三維線性壓電控制方程和界面邊界條件方程可以寫成[25]

(2)

式中：ui為位移矢量；Tij為應(yīng)力張量；Sij為應(yīng)變張量；Ei為電場(chǎng)矢量；Di為電位移矢量；φ為電勢(shì)。cijkl，ekij和εij分別為有效彈性常數(shù)、壓電常數(shù)和介電常數(shù)；ρ為有效的質(zhì)量密度；ω為角速度；V為上下兩個(gè)界面的電勢(shì)差。

對(duì)于在x3方向上極化的1-3個(gè)壓電復(fù)合材料，考慮到板的厚度拉伸振動(dòng)僅取決于u3，位移及電勢(shì)表達(dá)式為

u3=u(x3)eiωt,u1=u2=0,φ=φ(x3)eiωt

(3)

上式描述的模式可由三維線性壓電方程表示，并且可簡(jiǎn)化為一維模型。對(duì)式(2)和式(3)進(jìn)行推導(dǎo)和簡(jiǎn)化，可得到單個(gè)諧振器單元的電阻抗的解析解

(4)

將式(4)代入式(1)，可以得到非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料總阻抗的解析解為

(5)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

為驗(yàn)證模型的正確性，采用鋯鈦酸鉛(PZT-5A)和環(huán)氧樹脂兩種材料，通過(guò)“切割-填充法”[26]制作1-3型壓電復(fù)合材料片，再通過(guò)特殊工藝將壓電復(fù)合材料片中的一面制作成凹面，另一面為平面，制作出非均勻厚度的1-3型壓電復(fù)合材料樣片，如圖4所示。其材料參數(shù)和幾何參數(shù)如表1所示。

對(duì)于如圖4所示的凹球面形狀換能器，通過(guò)簡(jiǎn)單幾何關(guān)系可以得到hi與半徑r之間的關(guān)系

(6)

式中：R為壓電片凹面的曲率半徑；H為壓電片的邊緣厚度；d為壓電片的直徑。

表1 PZT-5A和環(huán)氧樹脂的材料參數(shù)及壓電片的幾何參數(shù)Tab.1 Material parameters for PZT-5A and epoxy,and geometry parameters for non-uniform thickness disc

圖4 非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料樣片F(xiàn)ig.4 Samples of non-uniform thickness 1-3 piezoelectric composite disc

在1-3壓電復(fù)合材料片的厚度伸縮振動(dòng)數(shù)值計(jì)算中，存在黏性阻尼，使用c33(1+iQ)代替有效彈性常數(shù)c33。在建模中，通常使用Q表示整個(gè)結(jié)構(gòu)阻尼的單個(gè)阻尼系數(shù)。對(duì)于該樣本，在理論分析中令Q=0.06以匹配實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

使用阻抗分析儀(Agilent 4294A)對(duì)非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料樣片的阻抗進(jìn)行了測(cè)量，將實(shí)際測(cè)量結(jié)果與理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖5所示。圖5(a)、圖5 (b)分別為幅頻特性曲線和相頻特性曲線。

如圖5所示，實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論結(jié)果之間一致性相對(duì)較好，偏差較小，證實(shí)本文提出的一種采用并聯(lián)振子等效電路模型計(jì)算非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料換能器性能的方法是可行的。

由圖5(a)可知，阻抗的極大值點(diǎn)為反諧振頻率fa，阻抗的極小值點(diǎn)為諧振頻率fr。由式(1)可得，fa和fr分別由換能器內(nèi)最小厚度及最大厚度的振蕩器單元決定。文獻(xiàn)[27-28]表明通過(guò)將諧振頻率接近的多個(gè)諧振器并聯(lián)，可以很大程度上增加換能器的帶寬。依據(jù)電路原理可知，當(dāng)兩個(gè)阻值相差懸殊的電阻并聯(lián)后，并聯(lián)的總阻值更接近于小電阻值。在厚度振動(dòng)模式下，諧振單元的厚度對(duì)諧振頻率及阻抗的影響如式(4)所示。當(dāng)將換能器設(shè)計(jì)成非均勻厚度時(shí)，并聯(lián)的諧振單元的阻抗幅頻曲線的趨勢(shì)是相似的，彼此的諧振頻率不同但阻抗極值接近，因此導(dǎo)致并聯(lián)電路總阻抗頻響曲線在較寬的頻率范圍內(nèi)較為平坦，使其工作帶寬明顯增加，因此該換能器的頻率差Δf(Δf=fa-fr)由換能器的厚度差決定，這與傳統(tǒng)的均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料阻抗特性明顯不同。

圖5 實(shí)測(cè)結(jié)果與理論結(jié)果比較Fig.5 Electrical impedance comparison between theoretical and experimental

如式(1)和式(5)所示，n為換能器半徑長(zhǎng)度范圍內(nèi)諧振單元的個(gè)數(shù)，為使理論計(jì)算中幾何尺寸與樣品實(shí)測(cè)的厚度相吻合，需使n等于換能器半徑長(zhǎng)度范圍內(nèi)PZT柱的個(gè)數(shù)。圖4所示換能器樣品的半徑長(zhǎng)度范圍內(nèi)PZT柱的數(shù)量為10個(gè)，因此在計(jì)算中取n=10。如圖5所示，當(dāng)n=10時(shí)，在fr和fa范圍內(nèi)的理論結(jié)果及實(shí)測(cè)結(jié)果均出現(xiàn)起伏現(xiàn)象，但隨著n值的增加，即當(dāng)換能器PZT柱越密集時(shí)，其阻抗的曲線會(huì)變得更為平滑。因此，換能器的厚度不連續(xù)會(huì)造成其阻抗曲線的起伏。

從圖5(a)可知，理論結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果還存在一定的偏差，主要表現(xiàn)在理論頻率差Δf略大于實(shí)際頻率差，理論阻抗值略小于實(shí)際阻抗值，產(chǎn)生這一現(xiàn)象的主要原因如下：①非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料換能器樣品的PZT柱橫向尺寸為0.8 mm×0.8 mm，PZT柱不夠密，造成厚度不夠連續(xù)；②在設(shè)計(jì)等效模型時(shí)，由于橫向剪切力比較小，沒(méi)有考慮橫向剪切力帶來(lái)的影響；③此外，也沒(méi)有考慮換能器的制作工藝、導(dǎo)線及焊點(diǎn)等因素所帶來(lái)的影響。

4 結(jié) 論

本文提出了一種用于分析非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料換能器性能的方法。采用并聯(lián)振子等效電路模型及三維厚度伸縮振動(dòng)模型，建立了分析非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料換能器性能的方法，得到了非均勻厚度壓電復(fù)合材料阻抗的解析解；設(shè)計(jì)并制作了非均勻厚度壓電換能器，并通過(guò)試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明，理論及試驗(yàn)結(jié)果吻合性較好，并聯(lián)振子等效電路模型可用來(lái)計(jì)算非均勻厚度1-3型壓電復(fù)合材料換能器的阻抗；非均勻厚度換能器的1-3型壓電復(fù)合材料換能器的工作帶寬由其厚度差決定。研究結(jié)果可為非均勻厚度寬帶換能器的設(shè)計(jì)提供參考。