黃健 李清華

摘 要 求解線(xiàn)性方程組是線(xiàn)性代數(shù)中向量空間及矩陣的初等變換的重要應(yīng)用。求解方程組的方法數(shù)量多，并且都十分重要。如何在授課中讓學(xué)生產(chǎn)生興趣，更好的掌握判定的規(guī)律非常關(guān)鍵。

關(guān)鍵詞 網(wǎng)絡(luò)流模型 線(xiàn)性方程組 解的判定 初等行變換

中圖分類(lèi)號(hào)：O212文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)學(xué)科的教授對(duì)象是理工科的學(xué)生，是他們學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)學(xué)科，他們更關(guān)心的是：（1）每一個(gè)知識(shí)能否應(yīng)用到生活和實(shí)踐當(dāng)中去;（2）如何用更直觀(guān)而快捷的方法掌握和應(yīng)用所學(xué)到的每個(gè)知識(shí)。線(xiàn)性方程組應(yīng)用廣泛。

問(wèn)題的引入：

例1：下圖給出我校西門(mén)單行道上午十點(diǎn)的交通流量（以每半小時(shí)通過(guò)汽車(chē)的數(shù)量度量）.試確定此交通網(wǎng)絡(luò)流量模式。

通過(guò)求解線(xiàn)性方程組，找出變量或者它們之間的關(guān)系，就能合理分配各交叉路口指示燈的設(shè)置時(shí)間。

可以看出，求解線(xiàn)性方程組是我們線(xiàn)性代數(shù)這個(gè)課的一個(gè)重要內(nèi)容，要求線(xiàn)性方程組的解，首先要判斷方程組是否有解，如果有解，有多少解？而對(duì)于解的判定，傳統(tǒng)的理論教授方法平淡，直接求解線(xiàn)性方程組對(duì)他們更有吸引力。從實(shí)例入手，觀(guān)察方程組的不同特點(diǎn)，通過(guò)分析比較，從而總結(jié)出線(xiàn)性方程組在不同的條件下解的規(guī)律。

以上三個(gè)方程組都是非齊次線(xiàn)性方程組AX=b≠ ，求解的方法都是利用消元法，即應(yīng)用線(xiàn)性方程組的增廣矩陣初等行變換來(lái)求，因?yàn)榫仃嚨某醯刃凶儞Q不改變線(xiàn)性方程組的解。所以，我們將所有的增廣矩陣都化為行的階梯形矩陣。

分析：例2中，與原方程組同解的方程組有三個(gè)有效方程，而所有的首非零元都在系數(shù)部分，并且此方程組也只有三個(gè)未知數(shù)，結(jié)論是：，方程組只有一組解.例3中，通過(guò)初等行變換，方程中出現(xiàn)了0=0無(wú)效方程，有效方程只剩兩個(gè)，兩個(gè)方程四個(gè)未知數(shù)，一定會(huì)出現(xiàn)自由未知量，那么就一定會(huì)有無(wú)數(shù)多組解，我結(jié)論是：。例4中，通過(guò)初等變換，與原方程同解的方程中出現(xiàn)了0=1這樣的無(wú)解方程，一個(gè)方程無(wú)解，整個(gè)方程組一定是無(wú)解的，觀(guān)察增廣矩陣的行階梯形矩陣，發(fā)現(xiàn)首非零元有一個(gè)在常數(shù)部分，結(jié)論就是

上圖就是對(duì)線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩的大小作比較，總結(jié)得出的結(jié)論.通過(guò)對(duì)列表的理解記憶，判定方程組的解就顯得非常容易掌握，能夠準(zhǔn)確的判定出方程組得何種解，為下一步求方程組的解打下良好的基礎(chǔ)。

分析：當(dāng)時(shí)，，根據(jù)定理，齊次線(xiàn)性方程組有無(wú)窮解，也就是含非零解;而對(duì)于非齊次線(xiàn)性方程組，如果，只能說(shuō)明它的解是不唯一的，還需與大小比較，當(dāng)=時(shí)，有無(wú)窮解，當(dāng)時(shí)，就是無(wú)解的。綜上所述，無(wú)論是齊次線(xiàn)性方程組還是非齊次線(xiàn)性方程組，當(dāng)方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，它們的解都不可能是唯一的，而其他情況均有可能發(fā)生。

基金項(xiàng)目：煙臺(tái)大學(xué)校級(jí)教學(xué)研究與改革項(xiàng)目：jyxm2017001。

參考文獻(xiàn)

[1] 吳贛昌.線(xiàn)性代數(shù)（理工類(lèi)）（第四版）[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2011.

[2] 丘維聲.高等代數(shù)（第一版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010.