寧劍茵 馬紅蘭

摘 要 代數(shù)不等式證明在數(shù)學(xué)中有重要地位，具有題型多樣、方法多變，技巧性強等特點。本文首先對證明不等式基本方法的概念進(jìn)行說明，輔以舉例說明方法的應(yīng)用。其次對代數(shù)不等式證明方法的選擇技巧進(jìn)行解釋說明，幫助學(xué)生掌握并靈活應(yīng)用證明方法。再次對函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)性、極值等多方面給予討論。最后就是利用到分析法、歸納法對絕對值不等式的證明。

關(guān)鍵詞 不等式 函數(shù) 代數(shù) 證明技巧

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

0緒論

可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)不等式的證明在數(shù)學(xué)教材中占有很大的比例，不管是在初等數(shù)學(xué)，還是高等數(shù)學(xué)都能得到很好的體現(xiàn)。由于不等式證明方法的錯綜復(fù)雜、千變?nèi)f化以及證明過程中思路不固定，導(dǎo)致學(xué)生對于不等式的研究要遲的多。解數(shù)學(xué)題實質(zhì)上是把數(shù)學(xué)問題經(jīng)過適當(dāng)?shù)募庸?、變換符合一定的模型樣式，從而使問題獲解。代數(shù)不等式的基本證題法包括分析法與綜合法﹑反證法，歸納法。分析法與綜合法是古代希臘數(shù)學(xué)家﹑天文學(xué)家和機械技能的創(chuàng)始人歐多克斯（Eudexus，約公元前370年）創(chuàng)立的證題方法。

1證明不等式的基本方法

證明不等式就是根據(jù)不等式的性質(zhì)，在所給定的數(shù)域內(nèi)，來說明此不等式恒成立的過程。由于不等式的證明方法多種多樣的，這里說的基本方法就是指那些在證明過程中，具有固定的思維程序和書寫格式與步驟的證題方法。

1.1分析法

分析法是執(zhí)果索因，即從結(jié)論出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)和有關(guān)的定理，一直推理到已知的不等式關(guān)系的證明方法（其中每一步均可逆）。

1.2綜合法

綜合法是由因?qū)Ч＜从梢阎獥l件出發(fā)，或從被證明了的不等式出發(fā)，運用不等式的性質(zhì)、法則等，推出所要證明的結(jié)論，稱為綜合法。

1.3比較法

用不等式概念，從兩式的差是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，來決定它們的大小;從兩式的商是大于1還是小于1，來決定它們的大小的方法叫作比較法。即：欲證：只要證;或欲證只要證。

2不等式的證明技巧

由于不等式的證明方法錯綜復(fù)雜，千變?nèi)f化，這里所說的證明技巧是指證明方法，思路不固定，證明時，可根據(jù)已知條件、解析式及不等式的特點，靈活應(yīng)用的證明方法，稱作證明技巧。

2.1放縮法

利用函數(shù)的單調(diào)性，不等式的傳遞性及已知不等式的知識，把不等式適當(dāng)擴大（或縮?。┹^大（或較小）的一邊的證明方法，稱為放縮法。

2.1.1利用函數(shù)的單調(diào)性放縮

2.2代換法

根據(jù)徐利治先生的“關(guān)系映射反應(yīng)原則”可知，解數(shù)學(xué)題實質(zhì)上就是把數(shù)學(xué)問題經(jīng)過適當(dāng)加工、變換成為符合一定的模型樣式，從而使問題獲解。代換如下幾種。

2.2.1和差代換法

對于任意實數(shù)，總有如下不等式成立。

2.2.2滿足常數(shù)項代換法

當(dāng)已知條件是三個或三個以上元素（項）之和時，代換必須應(yīng)盡量滿足常數(shù)。

下面分析不等式等號成立的條件：若個數(shù)，，，中有個數(shù)為零，則原不等式成立顯然。反之若此個數(shù)中，至少有兩個數(shù)異于零，不妨設(shè)，那么顯然有，從而有，把他們帶入的表達(dá)式，導(dǎo)出嚴(yán)格不等式。

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