龐雪晨 楊小明

安清翹(1756-1829)是清中期“兼用中西法”的天文歷算家。[注]張之洞：《張之洞全集》第11冊，河北人民出版社1998年版，第9984頁。當時西學的傳入逐漸式微、幾近隔絕，考據(jù)大興成乾嘉學派。乾嘉學派在研究古算和復興宋元數(shù)學上有過貢獻，但他們借數(shù)學為“明道”“通古”的工具價值和對“西學中源”說的倡導，卻又限制了純粹數(shù)學的發(fā)展?！叭〕讨熘舛鵀槔頂?shù)合一之說”[注]安清翹：《數(shù)學五書》，清嘉慶辛未刊本樹人堂藏版，敘。，安清翹創(chuàng)造性地提出“矩”世界觀；同時，對“西學中源說”有著鮮明的批判態(tài)度。

既往研究論及清中葉數(shù)學活動，無不以乾嘉學者括之，對安清翹的關(guān)注似顯零散。學界對安清翹的研究，始于1935年李儼在其《中算史論叢》“明清算家之割圓術(shù)”中對安清翹“五分取一法”(弧矢割圓求法)的介紹。近年來，安清翹著述的學術(shù)價值被持續(xù)挖掘出來，但受到主要關(guān)注的是其“矩”學和勾股定理[注]參見楊小明、賈爭卉《“矩”哲學觀與安清翹關(guān)于中西學關(guān)系的認知與實踐》，《科學技術(shù)哲學研究》2013年第4期。、割圓五分取一法、歲差成因[注]參見楊小明、李樹雪《安清翹關(guān)于歲差的認識》，《中國科技史雜志》2005年第3期；楊小明、任春光《天旋、歲差與中西之爭——清代科學思想史的一條線索》，《自然科學史研究》2017年第3期。、日月五星視運行的左旋會通[注]參見楊小明、黃勇《日月五星左、右旋之爭：安清翹的左旋會通》，《華僑大學學報(哲學社會科學版》2006年第1期。，以及對“十二平均律”[注]參見賈爭卉、楊小明《十二平均律：從江永和安清翹看朱載堉的思想源流》，《中國音樂》2011年第2期。深化等數(shù)學、歷算、音律科學成就的個案研究[注]林倉億、陳彥宏、田淼、賈爭卉、翁攀峰、劉增強等學者從不同角度論證過《梅氏叢書輯要》是安清翹歷算、樂律研究的參考底本；黃勇、魏屹東也撰文指出，安清翹在中國律學史上第一次明確使用了等比數(shù)列的通項公式，是對朱載堉生律方法質(zhì)的超越；韓琦高度評價安清翹是清后期少數(shù)敢于反對“西學中源說”的代表之一。，而對他思想大成的數(shù)學方法論基礎(chǔ)少有討論。

安清翹利用“矩”中量與序的內(nèi)涵賦予“格物”以“絜矩”的定量化新義，在“理數(shù)合一”的層面上闡明矩是世界的秩序與尺度[注]賈爭卉、楊小明：《“矩”一種獨特的世界觀：安清翹科學思想初探》，《科學技術(shù)哲學研究》2011年第2期。，“窮理之要，不外比例”[注]安清翹：《矩堂語錄》，辛酉春中漢持署1921年版，第30頁。，提煉出矩學研究的方法論。換言之，安清翹認為對于事物秩序與度量的探究，在本質(zhì)上都是在使用一種最為基本的關(guān)系，即“比例關(guān)系”。《矩線原本》(1818)“比例篇”是安清翹以“矩”為基礎(chǔ)討論比例與數(shù)學關(guān)系的主要論著。學界至今尚無把“比例”提升至矩學方法論高度的專題論述，是以本文圍繞“比例篇”的主要內(nèi)容、取材發(fā)揮、思想基礎(chǔ)等幾個問題研究，力圖予安清翹在清代算學乃至科學史以恰當定位。

一、首言九九比例：淺近與深遠的辯證

《數(shù)學五書》19卷，刊行于嘉慶年間，總論天文、歷算、音律知識，是安清翹的主要數(shù)學著作，《矩線原本》4卷為其中一種。那么，安清翹作為傳統(tǒng)學人，如何認識比例、數(shù)學與經(jīng)學的關(guān)系，何以一反當時儒者視數(shù)學為“九九賤技”的論調(diào)？他在《矩線原本》開篇給予解答。他認為儒者務在窮經(jīng)而“未有不習數(shù)學而能通經(jīng)者”[注]安清翹：《數(shù)學五書·矩線原本》，敘。，強調(diào)以數(shù)致用，并指出數(shù)學學習“細其心，靜其氣”的終極目的，亦在《書幾何原本后》[注]安清翹：《寬夫先生文集》，第14頁?！毒靥谜Z錄》[注]安清翹：《矩堂語錄》，第10頁。中反復申明。此外，安清翹還對“比例”和“窮理”“格物”的關(guān)系加以闡釋：“窮理之要，不外比例而已。古注格物之格，為量度，量度者比例之謂也。舊注又云格者，比方思量之意?！盵注]安清翹：《矩堂語錄》，第30頁。由此可見，安清翹認為數(shù)學研習是儒者格物窮理的基本路徑，即認識沿著“量度→比例→格物→窮理”不斷上升，故談道易必先習數(shù)學，習數(shù)學應首言九九、比例。

安清翹關(guān)于比例的運算研究主要出自《矩線原本》“比例篇”。該部分以“比例”為綱，共列19類54條規(guī)則，每條相當于現(xiàn)代數(shù)學中的一條定理或公式。他首先從“九九圖”出發(fā)，定義“矩”的測量意義，探討數(shù)列的性質(zhì)；“凡矩之分數(shù)，自一而二而三而四而五，依次遞加，至于無窮，謂之加減連比例”，即今之等差數(shù)列；“凡矩之位以十為等，自一而十而百而千而萬，以至于無窮，謂之乘除連比例”，即今之等比數(shù)列，“等”相當于“公比”。安清翹通過對照相對簡單、基本的等差數(shù)列的通項規(guī)律，從等差級數(shù)的性質(zhì)依次舉例變換至等比級數(shù)，得到等比數(shù)列的通項公式，并明確指出其原則：加號變乘號，減號變除號，倍數(shù)變次方，分數(shù)變開若干次方。這與今天數(shù)學和物理上經(jīng)常應用的共軛變換有著異曲同工之妙。[注]賈爭卉：《一代學人安清翹——基于樂律、歷算的系統(tǒng)研究》，科學出版社2018年版，第115頁。繼而安清翹對“比例四隅”的闡釋，則是對比例運算分門別類、由淺入深的系統(tǒng)舉例和反復說明。除上述三種“比例”外，安清翹還探討了因數(shù)、倍數(shù)和輾轉(zhuǎn)相減法、利用通分法比較分數(shù)大小，后借用“比例四隅”的直觀表述，又探討了相似三角形的判定及各對應邊成比例，再基于相似三角形性質(zhì)和弧與圓心角、圓周角的關(guān)系，介紹圓的相交弦定理、三角形的角平分線定理，然后說明半圓內(nèi)接直角三角形、半圓內(nèi)接鈍角三角形、圓內(nèi)接銳角三角形，最后利用長方形討論平行線分線段成比例定理?？傮w來看，“比例篇”結(jié)合中西數(shù)學的運算規(guī)律與理論，總結(jié)矩線關(guān)系、比例關(guān)系、平面幾何比例關(guān)系三大部分內(nèi)容。行文結(jié)構(gòu)嚴謹，以圖釋文，借用“率”“分”“左”“右”等固定文字表達符號語言；其利用圖形證明代數(shù)公式、再推演至平面幾何定理的方法，類似于傳統(tǒng)算學中的演段算法。盡管安清翹在表述運算規(guī)律時，語言略顯繁瑣，但按圖索解，使得等差、等比兩種數(shù)列的性質(zhì)及其轉(zhuǎn)換關(guān)系簡明易懂，相當符合他“理易明而便于用”[注]安清翹：《數(shù)學五書·學算存略》，第28頁。的理念。

本文以A(1,2,3…)代表“九九圖”橫向表頭各數(shù)，以a(1,2,3…)代表縱向表頭各數(shù)，n和m為常數(shù)，試用今天的代數(shù)方程、幾何定理，對其進行系統(tǒng)的驗算(見表1)，亦證明了安清翹比例研究的精確性和系統(tǒng)性。

安清翹對比例關(guān)系的透徹討論，為他在《學算存略》中總結(jié)筆算法則、在《樂律心得》中推算十二平均律各率、討論音律問題，奠定了方法論基礎(chǔ)，是視“比例”為“窮理之要”的實踐。

表1 《矩線原本》“比例篇”主要內(nèi)容

平面幾何比例關(guān)系線線;空間坐標軸方向的三種直線及相交關(guān)系;平行線;直角,銳角,鈍角角與弧圓心角(直角、銳角、鈍角)與弧的關(guān)系多邊形內(nèi)角和平行四邊形、三角形內(nèi)角和與圓心角的關(guān)系相似三角形相似三角形各對應邊成比例定理圓心角、圓周角圓周角等于同弧上圓心角的一半;圓內(nèi)接正三角形同弧上圓周角等于圓心角的一半;等弧、同弧上圓周角相等圓內(nèi)相交弦相似三角形與圓內(nèi)相交弦定理角平分線三角形角平分線定理半圓內(nèi)接三角形半圓內(nèi)接三角形(直角、銳角、鈍角)平行線間方形面積平行線分線段成比例定理

注：表中三大部分19類問題，為筆者分類；54條規(guī)則按原文中“凡”字計算。

二、吸菁英發(fā)微言：“比例”知識的再闡釋

我國天文算法之學至清代尤勝，梅文鼎為其開山之祖。安清翹《矩線原本》“比例篇”頗見梅文鼎《數(shù)理精蘊》及當時數(shù)學經(jīng)典中的內(nèi)容，亦是安清翹對中西數(shù)學會通的再發(fā)揮。

1.九九、矩、方、圓與點、線、面、體

安清翹同梅文鼎，開篇取用《周髀算經(jīng)》中的概念定義“矩”，把“九九、矩、方、圓”解釋為西方幾何學中的“點、線、面、體”，指出矩是點線面體衍生關(guān)系的本元，“是故數(shù)學，一矩貫之矣”[注]安清翹：《數(shù)學五書·矩線原本》，第1-2頁。。梅文鼎認為，點線面體為西算根本，安清翹則受梅文鼎“會通”觀念的影響，對應中西方數(shù)學概念，以中法“矩線”詮釋算學。其后他用“九九圖”說明點線面的數(shù)量關(guān)系(見圖1)，與明利瑪竇撰、李之藻譯《同文算指》“九九相乘圖”[注]丁巨：《丁巨算法 同文算指前編》，商務印書館1936年版，第33-34頁。(見圖2)極為相似，借“九九圖”表示加、減、乘、除、開方、連比例、比例四隅、正方、長方等多個概念。

與《數(shù)理精蘊》“矩出于九九八十一”一段和旁圖(見圖3)[注]圣祖敕編：《數(shù)理精蘊》，第9-11頁。相較，可見《矩線原本》對矩的認識是吸收后的再闡釋[注]安清翹：《數(shù)學五書·矩線原本》，第1-2頁。?！稊?shù)理精蘊》指出：“矩之形不外乎二數(shù)相乘。九九者數(shù)之終，而一一乃數(shù)之始?！薄毒鼐€原本》則講“矩，一縱一橫，相因得八十一”，“矩，一也，分之則始于一一，終于九九”。矩之兩股相同為正方，其余皆為長方；《數(shù)理精蘊》的股，在《矩線原本》中表述為“矩之分數(shù)”。

2.求比例算法

《九章算術(shù)》早已提出“今有術(shù)”“衰分”等有關(guān)比例的數(shù)學知識，“衰分”即按比例分配求解遞減等差數(shù)列各項的特殊算法?！锻乃阒浮肪砦褰榻B了西方求解等差、等比數(shù)列以及公差、公比、前n項和、第n項的方法。程大位的《算法統(tǒng)宗》改“衰分”為“差分”，列有“互和減半差分”“遞減挨次差分”等內(nèi)容；朱載堉在音律上創(chuàng)建十二平均律的同時，指出已知等比數(shù)列的首項、末項和項數(shù)求其他各項的解法；《數(shù)理精蘊》討論自然數(shù)性質(zhì)的《算法原本》再次介紹“按數(shù)加減比例”?！毒鼐€原本》基于上述成果，取“九九圖”中的數(shù)位，“依次遞加，至于無窮”，用公差為1的等差數(shù)列定義“遞加連比例”，推導三率、四率、五率算法，并可類推至六率以上。其乘除連比例論證與《數(shù)理精蘊》相似，皆列公比為10的等比數(shù)列，底數(shù)為10，指數(shù)以加代乘、以減代除?！稊?shù)理精蘊》指出：“以加倍代自乘，故折半即開平方；以三因代再乘，故歸即開立方。”[注]圣祖敕編：《數(shù)理精蘊》，第1529頁?！毒鼐€原本》則稱：“言倍者自乘為平方也，三倍者再乘為立方也，四倍者三乘方也；言折半者開平方也，取三分之一者開立方也，取四分之一者開三乘方也?！盵注]安清翹：《數(shù)學五書·矩線原本》，第8-9頁?？梢姡睬迓N雖然指出數(shù)列各率之名可互易對應，并應用等式性質(zhì)創(chuàng)“簡法”，但沒有明示“遞減”的概念以及求公差公比、數(shù)列求和的公式，內(nèi)容所達的程式化與西方數(shù)列公式仍相去甚遠。

圖1《矩線原本》“九九圖”

圖2《同文算指》“九九相乘圖” 圖3《數(shù)理精蘊》圖

安清翹使用“方程”和“立天元一”(即我國宋元的列方程)的方法闡釋“比例四隅”算法?！氨壤痹凇毒耪滤阈g(shù)》中稱“今有術(shù)”，元代為“異乘同除”，今推斷“比例”一詞為徐光啟譯《幾何原本》時引入。在“比例四隅”算法論述中，安清翹把《九章算術(shù)》“今有術(shù)”中的所有率對西法第一率、所求率對西法第二率、所有數(shù)對西法第三率、所求數(shù)對西法第四率。這種對應出自《同文算指》卷一的“三率法”，即從已知三率求第四率的算法。梅文鼎《筆算》指出，三率法與異乘同除法是統(tǒng)一的：“以先有之數(shù)，知今有之數(shù)，兩兩相得，是生比例，莫善于異乘同除，乃古《九章算術(shù)》之樞要也。先有者二，今有者一，是已知者三，而未知者一，用三求一，故西法謂之三率。”[注]吳文俊主編：《中國數(shù)學史大系》第2卷，北京師范大學出版社1998年版，第229-230頁。與之相比，安清翹“比例四隅”算法的不同在于：一是概念符號化，在對應“今有術(shù)”“三率法”的基礎(chǔ)上，將四率轉(zhuǎn)為“右一、右二、左一、左二”四種符號；二是法則抽象化，脫離算學算法依附于生產(chǎn)、交易等實際需求的討論路徑；三是結(jié)論具象化，以面積說明異乘同除。此外，通過文本比較我們發(fā)現(xiàn)，“比例篇”中的“因數(shù)、倍數(shù)與輾轉(zhuǎn)相減法”內(nèi)容，取自《數(shù)理精蘊》上編卷五，兩者均依次討論了“整除性問題”(度盡問題)、互轉(zhuǎn)相減求兩數(shù)的最大公約數(shù)(輾轉(zhuǎn)相減求最大公因數(shù))、約分法、通分法，并列舉有相似實例。[注]陳彥宏：《清代算學家安清翹之<矩線原本>內(nèi)容分析》，臺灣師范大學碩士論文2002年，第36-39頁。但《數(shù)理精蘊》更著重討論自然數(shù)的性質(zhì)，如通過度盡問題介紹素數(shù)。而安清翹在表述方式上有所創(chuàng)新，依然利用“九九圖”的圖形變化具象地分析數(shù)量之間的關(guān)系，如矩上大數(shù)能被兩相同因數(shù)整除為正方形、被不同因數(shù)整除為長方形以及約分中的“比例四隅”關(guān)系。

3.平面幾何中的比例關(guān)系

安清翹在平面幾何比例部分表明矩以線表之可以繪圖制器的觀點。[注]安清翹：《數(shù)學五書·矩線原本》，第19頁。他把線分為東西橫線、南北縱線、高卑立線，三線相較生成斜線(徑線)。他提到的徑線，即《周髀算經(jīng)》中的徑隅。由此循中國古代，就斜線定義兩垂直相交直線的“正”，繼而有斜線與正線相交為“銳角”和“鈍角”。安清翹在三維空間中對平行線、相交線以及角的認識，包含了《墨經(jīng)》“方，柱、隅四權(quán)也”的傳統(tǒng)幾何學概念。

安清翹進一步用圓上弧、角關(guān)系說明銳角、直角、鈍角，又一次采用《幾何原本》卷一的方法，沒有以弧的度數(shù)表示它所對圓心角的度數(shù)，而是以弧長代度數(shù)。《幾何原本》卷一第十條講圓界四分之一者角必直、不足謂之銳角、若過謂之鈍角；[注]圣祖敕編：《數(shù)理精蘊》，第20頁?！毒鼐€原本》則說：“方角所對之弧背，適四分圓周之一；銳角所對之弧背，不及四分圓周之一；鈍角所對之弧背，過四分圓周之一。”[注]安清翹：《數(shù)學五書·矩線原本》，第21頁?？梢哉f，二者同出一轍。接著，安清翹又探討了判定相似三角形、對應邊成比例、平行線分線段成比例等方法，內(nèi)容均出自《幾何原本》。

綜上所述，《矩線原本》“比例篇”既從傳統(tǒng)算學中吸收思想精髓和圖表表述的優(yōu)點，又融合《同文算指》《數(shù)理精蘊》中西方數(shù)學內(nèi)容及公理化形式。其一，圖表被古人推崇為不務虛詞、“關(guān)乎實學”的載體[注]鄭樵：《通志》，中華書局1995年版，第1827頁。，“九九表”自先秦便是傳統(tǒng)計算技術(shù)發(fā)展的典范，安清翹所作“九九圖”的連比例研究，正是發(fā)揮了“表”能使“形勢若指諸掌”的優(yōu)勢[注]梁啟超：《中國歷史研究法》，上海古籍出版社1998年版，第115頁。；其二，傳統(tǒng)算學一般結(jié)合實際應用闡發(fā)，《矩線原本》則作為理論基礎(chǔ)從應用中獨立出來，和《數(shù)理精蘊》先原理后運用異曲同工，因此安清翹得到的是連比例算律而非簡單的算法，進而他將“虛率”概念運用到律學研究中，突破了前人對律呂長度的規(guī)定；其三，“比例篇”內(nèi)容多取材《數(shù)理精蘊》中的《周髀經(jīng)解》《幾何原本》《算法原本》，甚至引述原文，可以說《數(shù)理精蘊》是安清翹矩線比例關(guān)系研究的活水源頭。

三、窮理之要不外“比例”的思想基礎(chǔ)

安清翹“比例篇”思想崇簡務實，內(nèi)容博采中西、自成一體。然而，其抽象性程度和符號化表述為何仍與西方數(shù)學存在差距？其“理易明而便于用”的理念源于中學還是西方公理體系？他又是如何處理中學與西學的關(guān)系，創(chuàng)建其獨特的“矩”學世界觀？

1.基于理學易象對數(shù)理規(guī)律性的認識

一方面，安清翹諳熟程朱理學，形成“理數(shù)合一”的矩學思想。他認為“矩”不僅是數(shù)學之直線，更是世界的秩序和評價萬物的尺度，同朱熹之“理”，具有本體論和方法論意義。[注]賈爭卉：《一代學人安清翹——基于樂律、歷算的系統(tǒng)研究》，科學出版社2018年版，第23頁。安清翹把“數(shù)”提高到與“理”同等地位，言矩不言理、言實不言虛。由程朱理學發(fā)展而來的“理數(shù)合一”的矩學思想，正是安清翹數(shù)學思想、比例方法論的哲學基礎(chǔ)。矩于物外恒久不變又存于萬物之中的“常”，即是他所討論的“虛律”；“矩有變化在”則是算律在生活日用、歷象樂律中的具體應用，如此矩哲學自然能跳脫儒者“玄眇空虛之弊”。[注]安清翹：《矩堂語錄》，第2-10頁。

另一方面，安清翹喜好易學。他曾感嘆：“一部周易，只一矩字?！盵注]安清翹：《矩堂語錄》，第11頁。他把對數(shù)學的理解建立在“一”和“變”上，其最高范疇“矩”承襲于“數(shù)之法出于圓方”的傳統(tǒng)數(shù)學范式，認為河圖洛書即九九之數(shù)。劉徽曾在《九章算術(shù)注》序中表明了周易與數(shù)學的關(guān)系：一是伏羲畫卦用九九之數(shù)表示六爻變化；二是萬物倍增符合數(shù)的運算，反之可以用數(shù)求知萬物的運動規(guī)律。安清翹先繪“九九圖”再討論數(shù)的變化規(guī)律，設(shè)“一”為“生生之元”，這與他重新詮釋《周子太極圖說》[注]安清翹：《寬夫先生文集》，第3頁。安清翹《周子太極圖說》為本文首次引用。該文去道家“無極”為“易有太極”，把“兩儀立焉”改為“兩極動焉”，回避宇宙萬物的時間起源，刪去陰陽二氣聚合生“五行”的段落，強調(diào)萬物生成變化出于“動”，亦體現(xiàn)出他對矩的規(guī)律性的認識。以太極(太一)作為萬物之始的觀點一致，即用太極對應“1”。安清翹又提出“矩之用在絜”[注]安清翹：《矩堂語錄》，第5頁。，認為絜矩之道求的平衡是空間中六方位交會點中心的作用，是八卦之學后天重爻所用“六爻”的意義，其對線及平面圖形的論述正是基于空間坐標說明的。安清翹在處理連比例問題的時候，采用傳統(tǒng)算學中“方程”“立天元一”的方法，亦是易中要求中正平衡的反映；“比例四隅”方法，則是用“象”對方程和“立天元一”的詮釋。他在方程中使用的通分、約分、四則運算與三易思想、卦爻運動轉(zhuǎn)化的具體形式有相似之處，盡管安清翹沒有明確討論過數(shù)理與易學的相互借鑒，但他的《周易比例》題名正是易學與比例的結(jié)合，而其“比例篇”同時容納數(shù)列代數(shù)和幾何的知識，用“比例”溝通的“數(shù)”與“形”體現(xiàn)了易“立象以盡意”的理念。

2.傳統(tǒng)算學與西方數(shù)學的會通

明末清初，儒士反對空談義理，提倡經(jīng)世致用的實學；傳教士把天文歷法、數(shù)學和地理等西方科學傳入中國。中國算學日漸式微，伴隨歷算改革之需，上至皇帝如康熙下至徐光啟、王錫闡、梅文鼎等一批儒士均“取西歷之材質(zhì)，歸大統(tǒng)之型范”[注]王錫闡：《曉庵新法》，中華書局1985年版，自序第4頁。。其中以梅文鼎在傳教士譯稿基礎(chǔ)上匯編的《數(shù)理精蘊》(1690)為著，結(jié)合傳統(tǒng)算學，系統(tǒng)介紹西方數(shù)學知識。適逢其時，后來的安清翹也受到這種風潮的影響。

其一，安清翹借鑒中國傳統(tǒng)數(shù)學思想和方法，綜合明末清初學者的成果，獨有建樹。不僅如前“比例篇”取材來源所述，安清翹還在《矩線原本》后附《矩制考》1篇，從《考工記》到《周髀》，例舉鄭玄注釋《考工記》中誤讀“柯長三尺，專言柄之長短”，申明“矩分十二度，蓋古來相傳之舊法”的觀點。[注]安清翹：《數(shù)學五書·矩線原本》卷四，第12-14頁?！毒刂瓶肌肥前睬迓N對梅氏觀點的商榷；《書幾何原本后》是安清翹深受梅文鼎影響的直接依據(jù)。對這種推測，我們關(guān)于安清翹對梅文鼎歲差的西方解釋特別是“西學中源說”的批判等前期研究可以確證。[注]楊小明、李樹雪：《安清翹關(guān)于歲差的認識》，《中國科技史雜志》2005年第3期；楊小明、賈爭卉：《“矩”哲學觀與安清翹關(guān)于中西學關(guān)系的認知與實踐》，《科學技術(shù)哲學研究》2013年第4期。此外，安清翹還多次評論徐光啟的算學成績，對“比例”“原本”兩詞的借鑒可見一斑。然而，安清翹的數(shù)學研究并非簡單的重復，《數(shù)學五書》內(nèi)容自成一體，《矩線原本》更似其他四書實際應用的運算基礎(chǔ)，甚至把比例運算看作是“窮理之要”；方法上，安清翹實踐了“比例四隅”“以弧度角”等獨特的闡述形式。

其二，安清翹反對“西學中源”說，旨在弘揚中國傳統(tǒng)?！锻撇轿┦恰分?，安清翹指出“西法不必傳自中土”，稱西法同于《周髀》之寒暖五帶與七衡吻合，是因為“理”相同，理的存在不以東海、西海而異；其理相同，不能說明西法出于《周髀》：“天無中西之異，言天者不必存中西之見！”安清翹的“理”和“天”指的是客觀的自然規(guī)律，中法和西法都是對自然合理性的把握和解釋，[注]安清翹：《數(shù)學五書·推步惟是》卷四，第51-53頁?！皵?shù)無中西，惟其是爾！”[注]安清翹：《數(shù)學五書·推步惟是》卷四，敘。所以，安清翹處處對應中西概念，亦體現(xiàn)他的中西會通。需要指出，安清翹反對“西學中源”，卻并非是對西學的褒揚，相反是對中國傳統(tǒng)的近乎偏執(zhí)的堅持，“以中法為主，而參以西法之所長”[注]安清翹：《數(shù)學五書·推步惟是》卷四，第48頁。。在安清翹看來，“西學中源說”之所以不可接受，根本在于它骨子里承認西學較中學要優(yōu)越！[注]楊小明、任春光：《天旋、歲差與中西之爭——清代科學思想史的一條線索》，《自然科學史研究》2017年第3期。為此，安清翹反復論證說：“西法異于中法者既不若中法之善，而西法之善者又不出中法之外！”[注]安清翹：《數(shù)學五書·推步惟是》卷四，第47頁。也就是說，“西學中源說”沒有任何意義！這也是安清翹在中國傳統(tǒng)中尋找“比例”的思想動機。

其三，安清翹作《數(shù)學五書》是復興傳統(tǒng)算學的“會通”實踐。除了批評“西學中源說”，安清翹的會通思想還來自對徐光啟的評價：“自徐文定修《新法算書》，已有偏重西法之意，雖中法勝西法者亦棄而不用，至今兩家言天數(shù)者猶斷斷未已！”[注]安清翹：《數(shù)學五書·一線表用》，序。這也反映出安清翹對傳統(tǒng)算學的眷顧。在《書幾何原本后》[注]安清翹：《寬夫先生文集》，第14頁。中，安清翹指出，徐光啟視西法神奇，不知小九九的知與能，進而修改徐光啟提倡幾何推理的“三至三能”說[注]安清翹《九九贊》：似至虛實至實，故能以其實實天下之至虛；似至晦實至明，故能以其明明天下之至晦；似至繁實至簡，故能以其簡簡天下之至繁；似至難實至易，故能以其易易天下之至難。易由于簡，簡由于明，明由于實，綜其要在實而已。，作《九九贊》，在晦明、繁簡、難易的辯證關(guān)系前又鋪墊“虛實”一層。[注]安清翹：《寬夫先生文集》，第19頁。一則，意在闡明“九九”和《幾何原本》同為“度數(shù)之宗”，只要掌握矩上分數(shù)之比例，就能格物窮理即為自然立法；二則，由實生明、由明生簡、由簡生易，是傳統(tǒng)算學的重要理論特征，即寓理于算，講究算法的確定和推演，以追求實用為目的。安清翹從西方數(shù)學注重公理化的明、簡、易，又回到中國傳統(tǒng)“經(jīng)世致用”實學觀念下對“數(shù)量”認識的局限。在安清翹看來，忽視中法的所謂中西“會通”，其結(jié)果注定是“徒有其說”。這樣，安清翹確立了回歸中學——以中為主、參以西法的方法論基礎(chǔ)。[注]楊小明、任春光：《天旋、歲差與中西之爭——清代科學思想史的一條線索》，《自然科學史研究》2017年第3期。這種方法論，在今天看來不免局促甚至自大，但卻是安清翹獨特的認知。

結(jié) 論

綜上所述，安清翹取《周髀》的“矩”和西法的“線”，會通而得窮理之要——比例。安清翹《矩線原本》“比例”概念出自《幾何原本》，內(nèi)容則循“矩上九九”，視“九九”為數(shù)學本源，取材《數(shù)理精蘊》及當時數(shù)學名著中的相關(guān)知識，然后予以創(chuàng)造。可以說，《矩線原本》是《數(shù)學五書》其他研究的方法論基礎(chǔ)，最終目的即全書敘中所揭示的習數(shù)學可窮經(jīng)致用。從中國傳統(tǒng)的九九、比例出發(fā)，安清翹闡發(fā)了其獨特的“矩”哲學觀，在牛頓之外獨立地發(fā)現(xiàn)了歲差現(xiàn)象的成因，并繼清初江永之后以連比例之法破解了朱載堉“十二平均律”的根本原理和生律規(guī)律[注]賈爭卉、楊小明：《十二平均律：從江永和安清翹看朱載堉的思想源流》，《中國音樂》2011年第2期。。然而，對中國傳統(tǒng)的堅持，使他對西學偏見頗深。安清翹對“西學中源說”的批評，并非是洞見了西學的價值，相反是向中學的回歸，始于反“西學中源說”，又陷入“西學中源說”的泥淖而不自覺，這是安清翹和清代學者無法逾越的時代局限。