季宏偉

“圖形的認(rèn)識(shí)”是數(shù)學(xué)學(xué)科中重要的核心內(nèi)容，是學(xué)習(xí)幾何的基礎(chǔ)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和想象力具有重要的教育價(jià)值。圖形認(rèn)識(shí)的本質(zhì)是抽象。兒童的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)來自于生活，是具體的，把他們頭腦中具體的對(duì)象與數(shù)學(xué)上抽象的圖形建立聯(lián)系便是圖形認(rèn)識(shí)的首要目標(biāo)。然而，學(xué)生是成長中的個(gè)體，不同年齡階段的兒童呈現(xiàn)出不同的思維發(fā)展水平。小學(xué)生的幾何思維水平主要表現(xiàn)為三個(gè)層次。

層次1：直觀化。主要表現(xiàn)是能夠按照外觀來識(shí)別和操作物體的形狀和幾何圖形，在心理上把圖形表示為直觀圖像，不能說出圖形的簡單性質(zhì)，但能把一個(gè)圖形與另一個(gè)圖形相區(qū)別。

層次2：描述/分析。主要表現(xiàn)是能夠通過圖形的性質(zhì)來識(shí)別圖形。但無法解釋圖形某些性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)。

層次3：抽象/關(guān)聯(lián)。主要表現(xiàn)是能夠建立圖形和圖形性質(zhì)之間的關(guān)系，能作一些非正式的說明但還不能作系統(tǒng)的證明。

下面就以蘇教版教材中兩次“三角形的認(rèn)識(shí)”為例，談?wù)剬?duì)教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)以及如何基于兒童的心理逐步實(shí)現(xiàn)圖形的抽象過程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

一、兩次“三角形的認(rèn)識(shí)”的教材內(nèi)容解讀

通過上面的論述，我們不難理解：小學(xué)階段對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維上的抽象不能“一步到位”，需要分學(xué)段循序漸進(jìn)。

1.初認(rèn)三角形，從三維走向二維

史寧中教授認(rèn)為，在三維空間更容易認(rèn)識(shí)二維平面，在二維平面更容易認(rèn)識(shí)一維直線……。一年級(jí)下冊，教材安排“三角形”初次登場便是從學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)的三維物體“三棱柱”上剝離下來。此時(shí)學(xué)生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)處于“直觀化”的水平?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》對(duì)這一學(xué)段提出的要求是“能辨認(rèn)長方形、正方形、三角形、圓”等簡單圖形”（直觀辨認(rèn)）“會(huì)用長方形……和三角形拼圖”（簡單應(yīng)用）“能對(duì)簡單圖形進(jìn)行分類”（直觀辨識(shí)特征）。因此這一階段的教學(xué)目標(biāo)是學(xué)生能根據(jù)圖形的外觀來識(shí)別出三角形，在說到三角形時(shí)能在頭腦中反映出相應(yīng)的直觀圖像。

2.再認(rèn)三角形，從感性走向理性

這一階段學(xué)生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)進(jìn)入描述/分析階段，有能力的學(xué)生可深入到第三層次抽象/關(guān)聯(lián)階段。教材首先呈現(xiàn)斜拉索橋的情境圖，問“你能在圖中找出三角形嗎？”“生活中還有哪些地方能見到三角形？”這是喚醒第一學(xué)段學(xué)生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)，是一種直觀經(jīng)驗(yàn)，稱為“感性具體”。接著認(rèn)識(shí)三角形的特征并對(duì)“三角形”這一幾何概念作了描述性定義，這時(shí)學(xué)生開始把三角形作為抽象的數(shù)學(xué)圖形進(jìn)行研究。通過“試一試”的探索對(duì)定義提出“三點(diǎn)不共線”的補(bǔ)充說明，這是初步探索圖形特征之間的關(guān)聯(lián)。最后認(rèn)識(shí)三角形的底和高。這一階段重在提升學(xué)生對(duì)概念的理解，稱為“理性具體”。

二、“三角形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)策略分析

1.概括“標(biāo)準(zhǔn)圖形”，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象

所謂“標(biāo)準(zhǔn)圖形”是能夠代表一類圖形概念本質(zhì)的圖形，相對(duì)于“變式圖形”而言，“標(biāo)準(zhǔn)圖形”更能在生活中找到其原型，更具有典型性。在教學(xué)時(shí)，我們既要注意“標(biāo)準(zhǔn)圖形”的概括過程，又要注意“變式圖形”的呈現(xiàn)，以豐富概念內(nèi)涵。在一次公開活動(dòng)中，有位青年教師執(zhí)教一年級(jí)下冊《認(rèn)識(shí)圖形》，以下摘錄“三角形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)過程：

課始教師創(chuàng)設(shè)富有童趣的游戲情境：下雪了，小動(dòng)物們在雪地里留下了美麗的腳印，有一群物體寶寶也想來玩。此時(shí)出示教具三棱柱，請(qǐng)小朋友在學(xué)具籃中也找出三棱柱。各種各樣的三棱柱在雪地里留下的形狀不同的“腳印”，它們都是什么圖形？小朋友異口同聲“三角形”。

師提問：“仔細(xì)觀察這些三角形，用自己的話說說這些三角形長什么樣？”

生1：三角形三邊上都有尖尖的。

生2：三角形有三個(gè)角，還有三短橫。

生3：它的邊都是直的（與圓相比）

師：對(duì)啦，就像小朋友說的，像這樣的圖形就叫三角形。

此時(shí)，孩子眼中的三角形是具體的、整體的、直觀的。如果把認(rèn)知再往前推一步，可以在充分感知的基礎(chǔ)上加以概括，呈現(xiàn)出“標(biāo)準(zhǔn)圖形”，自然地將生活中具體的形狀不同的三角形抽象到數(shù)學(xué)上的圖形。

師：“雖然這些圖形長得不一樣，有的高，有的矮，有的胖，有的瘦，有的正，有的歪，但它們都是三角形，數(shù)學(xué)上可以用這樣的圖形來表示?！保ㄈ缦聢D）

2.巧用多種表征，理解圖形概念

布魯納提出認(rèn)知表征的方式分為動(dòng)作表征，即依靠動(dòng)作來認(rèn)識(shí)世界、獲得知識(shí)；映像表征，即用頭腦中的表象去表現(xiàn)世界、獲得知識(shí)；符號(hào)表征，即運(yùn)用符號(hào)、文字再現(xiàn)世界、獲得知識(shí)?；谛W(xué)階段學(xué)生的思維發(fā)展水平，圖形概念若僅采用語言表征的方式則太過抽象，不容易被理解。教學(xué)時(shí)若能將動(dòng)作表征與映像表征相結(jié)合，適當(dāng)輔以語言描述，則能幫助學(xué)生建立豐富的圖形表象，為將來的幾何研究和空間觀念的培養(yǎng)打好底色。

筆者在四下“認(rèn)識(shí)三角形”的教學(xué)中作了如下實(shí)踐研究，效果頗佳。師生欣賞完生活中的三角形后，教師提出問題和活動(dòng)要求：“你心目中的三角形是怎樣的呢？請(qǐng)你畫下來。”生活中的三角形是一個(gè)具體的對(duì)象，學(xué)生要對(duì)具體的對(duì)象進(jìn)行“再創(chuàng)造”，才能抽象為數(shù)學(xué)上要研究的平面圖形。學(xué)生借助直尺畫出了印象最深的一個(gè)三角形，教師提出：“說一說你是怎樣畫的？還有其它的畫法嗎？其它同學(xué)用手勢跟著畫。”此間展示多種畫法，有按照一個(gè)方向有序連接的畫法，有先確定三個(gè)點(diǎn)再依次連接的畫法，或者先畫出一條線段和線段外一點(diǎn)再分別連接的畫法。雖然畫的次序不同，但都用到“連點(diǎn)成線”的已有經(jīng)驗(yàn)。把學(xué)生畫三角形的過程用“慢鏡頭”回放，捕捉定格到“連點(diǎn)成線”的基本動(dòng)作，在依次“連點(diǎn)成線”的動(dòng)態(tài)操作中理解“首尾相接”，得出三角形有三個(gè)角、三條邊、三個(gè)頂點(diǎn)等特征。最后教師讓學(xué)生在頭腦里再來畫一遍三角形。閉上眼睛，眼前出現(xiàn)三個(gè)點(diǎn)，咱們一邊畫一邊輕輕地說：先在兩個(gè)點(diǎn)之間畫一條線段，接著從其中一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)，畫出第二條線段，連接剩下兩個(gè)點(diǎn)，這三條線段首尾相接圍成一個(gè)三角形。筆者設(shè)計(jì)了“畫一畫”“說一說”“想一想”三個(gè)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生將動(dòng)作表征、映象表征和語言表征聯(lián)系起來，深化對(duì)三角形概念的理解。

3.打開想象空間，培養(yǎng)空間觀念

大膽合理地開發(fā)教材資源，改變素材的呈現(xiàn)方式，作些創(chuàng)新和嘗試，有時(shí)會(huì)收到“別有洞天”的意外效果。四下“認(rèn)識(shí)三角形”教材安排了“試一試”（如圖），意圖是對(duì)上述描述性定義給出“三點(diǎn)不共線”的補(bǔ)充說明，使三角形的概念更為嚴(yán)謹(jǐn)。

我們不妨嘗試改變素材的呈現(xiàn)，放開探究空間，變“靜態(tài)點(diǎn)”為“動(dòng)態(tài)點(diǎn)”，變“既有情況的判斷發(fā)現(xiàn)”為“全開放式的嘗試發(fā)現(xiàn)”。以下是教學(xué)片段：

師：是不是任意畫三個(gè)點(diǎn)都能圍成三角形呢？同桌先討論討論，再拿出方格紙?jiān)囈辉嚒＃▽W(xué)生拿出空白的方格紙嘗試）誰愿意第一個(gè)來分享？

生1：

這樣擺放的三個(gè)點(diǎn)圍不成三角形。

生2： 三個(gè)點(diǎn)這樣擺也圍不成三角形。

生3： 這樣擺也不行。

師：三個(gè)點(diǎn)這樣放怎么會(huì)圍不成的？

生4：大家可以想像一下：這樣擺，畫出的三條線段就重合了。（邊說邊用手在磁性板上比劃）

師：剛才同學(xué)們說：三點(diǎn)可以畫出一個(gè)三角形，現(xiàn)在你有什么新的認(rèn)識(shí)？

生齊：三個(gè)點(diǎn)不能在同一條直線上。

師：方格圖上假如已有兩個(gè)點(diǎn)（如圖），帶著你們的發(fā)現(xiàn)大膽地找一找第3個(gè)點(diǎn)的位置。你想把它擺在哪兒？想象這個(gè)三角形的樣子。

師拿磁板下位，學(xué)生爭先恐后地參與互動(dòng)。從剛開始“拘束”地只敢擺出兩點(diǎn)附近的銳角三角形，到后來大膽地探索新地盤，擺出不同位置的直角三角形和各種姿態(tài)的鈍角三角形。隨著點(diǎn)子的移動(dòng)，學(xué)生不斷地想象各種形狀的三角形的樣子，頭腦中對(duì)三角形的表象越來越豐富多樣，對(duì)三角形概念的認(rèn)識(shí)也趨于深刻，空間觀念的培養(yǎng)在動(dòng)態(tài)的變化中得以滲透。

4.聯(lián)結(jié)“前后概念”，整合認(rèn)知結(jié)構(gòu)

“從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂直線段是三角形的高，這條對(duì)邊是三角形的底。”如何將這一組抽象的概念域在學(xué)生頭腦中自然地形成？除了選擇適切的情境外，還需要借助“前概念”，幫助學(xué)生建立前后概念的聯(lián)結(jié)，方能打通理解障礙，把知識(shí)結(jié)構(gòu)整合起來加以運(yùn)用。

情境：“貓和老鼠”片段中小老鼠搬奶酪進(jìn)鼠洞。

提出問題：假如奶酪這樣擺放，小老鼠可以順利完好地推進(jìn)洞里去嗎？（出示模型，讓孩子試一試）

生：推不進(jìn)，因?yàn)槿切蔚淖罡唿c(diǎn)超過了洞口的高度。

幾何畫板演示：三角形上面這個(gè)最高點(diǎn)到它的對(duì)邊能連出好多條線段，仔細(xì)比較這些線段，注意觀察這些線段的長度。

你感覺哪一條可能是三角形的“高”？

生：我覺得那條垂直線段最特殊，是這些線段中唯一一條最短的，就是三角形的“高”。

師：學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)有這樣的感覺是很珍貴的。進(jìn)一步觀察，這條垂直線段從哪兒畫到哪兒？

理解：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂直線段就是三角形的高。這條對(duì)邊就叫三角形的“底”。

師：這樣的垂直線段你以前畫過沒？還記得是怎么畫的嗎？

生：在學(xué)習(xí)垂線時(shí)，我們畫過。學(xué)生操作示范。

“過直線外一點(diǎn)，到已知直線的連線中，垂直線段最短”是四上已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，通過幾何畫板的變化演示，喚醒學(xué)生已有知識(shí)，學(xué)生自然地產(chǎn)生“高好像就是那條垂直線段”的感覺，新舊知識(shí)得到了銜接和整合。 對(duì)學(xué)生來說，三角形的高就是自己思考后逐步找出來的，而不是老師直接給出的，學(xué)習(xí)就會(huì)變得有意思，有成就感，學(xué)生對(duì)高的理解也會(huì)更深刻。再往深入思考，高即“高線”，實(shí)則也是一條線段，其一個(gè)端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)是高與對(duì)應(yīng)底相交的垂足。作高其實(shí)就是連接兩個(gè)點(diǎn)的事，只要找對(duì)頂點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的垂足，對(duì)應(yīng)底邊上的高就確定下來了，高和底的對(duì)應(yīng)關(guān)系也可以從中體會(huì)到。

以上是以“三角形的認(rèn)識(shí)”為載體進(jìn)行的實(shí)踐與探索。小學(xué)階段還有如長、正方體，平行四邊形，圓等圖形的認(rèn)識(shí)與三角形的認(rèn)識(shí)屬于同一個(gè)知識(shí)群，具有相通的學(xué)科本質(zhì)和教學(xué)設(shè)計(jì)要素，需要教師全面分析學(xué)科本質(zhì)，遵循學(xué)生的心理特點(diǎn)，設(shè)計(jì)有效的教學(xué)策略與方法，使學(xué)生真正參與到圖形認(rèn)識(shí)和抽象的過程，提升學(xué)生的抽象能力，提高教學(xué)質(zhì)量。

（江蘇省常熟市顏港小學(xué)）