江蘇省興化中學(xué) 何名慰

一元二次方程實根分布問題的研究，是我們平時研究得比較透徹的一類問題.筆者在過去的一些資料中發(fā)現(xiàn)這類問題又被老師們分成了六七個小類，比如有一解、有兩解；兩解都在某區(qū)間內(nèi)、都在某區(qū)間外；兩根都大于某個數(shù)、都小于某個數(shù)、一根大于某數(shù)另一根小于某數(shù)，等等.

很多同學(xué)覺得難以掌握.主要原因在于，不同“類型”的問題，其細節(jié)處理有很大不同.有的需要考慮“判別式Δ”，有的需要考慮二次函數(shù)對稱軸的范圍，有的只需要考慮區(qū)間端點處函數(shù)值符號，有的需要考慮的條件明顯更多……一些較為優(yōu)秀的同學(xué)都陷入了背題型的模式.

為什么明明說好的“數(shù)形結(jié)合”最終演變成讓人萬分頭痛的“背題型”呢？我們需要思考一個問題：“函數(shù)的零點”這節(jié)課的核心是什么？

當然是零點存在性定理（零點定理）.其核心內(nèi)容是“若一個函數(shù)在某閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在該區(qū)間的兩端點處的函數(shù)值異號，則該函數(shù)在該閉區(qū)間去掉端點后的開區(qū)間內(nèi)必有零點”.

運用好這一定理，在此基礎(chǔ)上合理地運用常規(guī)的數(shù)學(xué)思維方式，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)一元二次方程實根分布問題根本不會有那么多種題型，其實大家都一樣，都是相同的思維方式.

為了更直接、更方便地研究問題的實質(zhì)，我們約定，接下來的問題都只研究一元二次方程有兩個不等的實根的情況，不必在重根問題上自找麻煩.

例已知函數(shù)f（x）＝x2-2ax＋a＋3有兩個不等的零點x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（7，8），求實數(shù)a的取值范圍.

解析由函數(shù)f（x）的圖象為開口向上的拋物線，且零點x1，x2滿足x1∈（0，1），x2∈（7，8），容易畫出草圖（如圖1）.

圖1

變式1已知函數(shù)f（x）＝x2-2ax＋a＋3有兩個不等的零點x1，x2，若x1＜4，x2＞4，求實數(shù)a的取值范圍.

變式2已知函數(shù)f（x）＝x2-2ax＋a＋3有兩個不等的零點x1，x2，若x1＜1，x2＞4，求實數(shù)a的取值范圍.

這兩個問題可以類似地解決掉，具體過程不再贅述.這三個問題總結(jié)起來就是兩個不等的實根分布在兩個不同的具體的區(qū)間內(nèi).那么如果兩個不等的實根在同一個區(qū)間內(nèi)呢？上面的方法依然有效嗎？

這才是真正值得研究的部分.

變式3已知函數(shù)f（x）＝x2-2ax＋a＋3有兩個不等的零點x1，x2，若x1∈（0，4），x2∈（0，4），求實數(shù)a的取值范圍.

解析應(yīng)該充分考慮這個問題與前面問題的關(guān)系，不妨設(shè)x1＜x2，那么x1應(yīng)該在開區(qū)間0到某數(shù)，而x2則在開區(qū)間某數(shù)到4.那么現(xiàn)在的問題就是：這個“某數(shù)”該怎么取才合適？問題到這里已經(jīng)很明朗了.

我班同學(xué)會異口同聲地答“對稱軸x＝a”.結(jié)合函數(shù)草圖（如圖2），可得

（其中f（a）＜0可以用判別式Δ＞0等價代換）

圖2

變式4已知函數(shù)f（x）＝x2-2ax＋a＋3有兩個不等的零點x1，x2，若x1＜1，x2＜1，求實數(shù)a的取值范圍.

該問題實質(zhì)上可以轉(zhuǎn)化為兩個不等的零點，一個在區(qū)間（-∞，a）內(nèi)，而另一個在區(qū)間（a，1）內(nèi)（a＜1）.

變式5已知函數(shù)f（x）＝x2-2ax＋a＋3有兩個不等的零點x1，x2，若x1＞1，x2＞1，求實數(shù)a的取值范圍.

與變式4類似，該問題實質(zhì)上可以轉(zhuǎn)化為兩個不等的零點，一個在區(qū)間（a，＋∞）內(nèi)，而另一個在區(qū)間（1，a）內(nèi)（a＞1）.

評價“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)思想中最基礎(chǔ)也最重要的一部分，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱軸，將不等的兩個實根在一個區(qū)間內(nèi)轉(zhuǎn)化為由函數(shù)圖象的對稱軸分割開的兩個不同的具體區(qū)間內(nèi)，奇妙而又自然.就這么一點小小的轉(zhuǎn)變，我班同學(xué)再也不必因為記憶不同的題型而感到痛苦，他們完全意識到所有的一元二次方程實根分布問題是統(tǒng)一的.解決相關(guān)問題必需的知識是零點存在性定理，具體操作的方法是數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合題中所給條件畫出恰當?shù)亩魏瘮?shù)圖象，從而獲得特殊部位函數(shù)值的正負，建立相應(yīng)的不等式（組）.

最后回答開始部分的兩個問題.一、為什么有時候需要考慮對稱軸的范圍？當你遇到的問題中需要用對稱軸將兩個不等的零點“分割”到不同區(qū)間時，根據(jù)區(qū)間的概念（左端點數(shù)值小于右端點數(shù)值），自然地，對稱軸就有了范圍.二、為什么有時候需要考慮“判別式Δ”的范圍呢？其實判別式Δ對應(yīng)的是二次函數(shù)在對稱軸處的函數(shù)值，若二次函數(shù)的圖象開口朝上，對稱軸處的函數(shù)值為負值，對應(yīng)的Δ＞0，實質(zhì)上也是區(qū)間端點處函數(shù)值的一種正負變化形式.