張家林　張可能　陳駿　左文貴　王彥之　賀勇　金福喜

摘要：基于能量法原理，明確場地斜坡不利作用下緊鄰邊坡進行基坑開挖時的主動土壓力，并提出一種適用于緊鄰邊坡條件下的基坑土壓力計算模型，通過數(shù)學推導，得出主、被動土壓力計算公式。同時，以郴州某公路基坑工程為例，采用能量法原理以及數(shù)值模擬分別計算土壓力，對比計算結果，檢驗能量法計算公式的準確性。研究結果表明：兩種方法邊坡各位置的主動土壓力計算結果差距在5%以內(nèi)，被動土壓力計算結果一致;數(shù)值模擬結果較于能量法結果偏小，最大誤差不超過10%，表明該計算公式基本正確;同時，研究表明坡高和傾角的增加均使得主、被動土壓力增大，被動土壓力較主動土壓力受邊坡傾角的影響更為明顯。

關鍵詞：道路工程;計算模型;能量法;主動土壓力;邊坡參數(shù)

中圖分類號：U417文獻標識碼：A文章編號：1006-8023（2019）03-0078-09

Analysis of Earth Pressure on Foundation Pit Adjacent

to High Slope by Energy Method

ZHANG Jialin1，2， ZHANG Keneng1，2*， CHEN Jun3， ZUO Wengui1，2， WANG Yanzhi1，2，HE Yong1，2， JIN Fuxi1，2

（1.Key Laboratory of Metallogenic Prediction of Nonferrous Metals and Geological Environment Monitoring，

Ministry of Education， Changsha， 410083; 2.School of Geoscience and Infophysics， Central South University，

Changsha， 410083; 3.China Construction Fifth Bureau Civil Engineering Co.， Ltd.， Changsha 410083）

Abstract：Based on the principle of energy method， this paper defines the active earth pressure when the foundation pit is excavated next to the slope under the adverse effect of the site slope， and puts forward a model for calculating the earth pressure of the foundation pit next to the slope. Through mathematical deduction， formulas for calculating active and passive earth pressure are obtained. Taking a highway foundation pit project in Chen Zhou as an example， the results of earth pressure is calculated and compared by energy method and numerical simulation respectively to verify the accuracy of the formula of energy method. The results show that the difference between the two methods is less than 5%， and the results of passive earth pressure are consistent. The result of numerical simulation is smaller than that of energy method， and the maximum error is less than 10%. At the same time， the research shows that the passive earth pressure increases with the increase of slope height and inclination. And the passive earth pressure is more obviously affected by the slope inclination than the active earth pressure.

Keywords：Road engineering; calculation model; energy method; active earth pressure; slope parameters

0引言

緊鄰邊坡條件下進行基坑開挖是各類基坑工程乃至巖土工程中的一類典型問題。在此情況下，邊坡荷載對基坑的影響對基坑工程的設計和施工提出了更高的要求，邊坡或基坑的問題，直接影響相鄰結構的受力情況。國內(nèi)外學者[1-5]針對基坑和邊坡之間的影響做出許多研究。其中，大部分針對計算土壓力修正系數(shù)展開。由于邊坡的旁壓作用對基坑側壁的影響，側壁土壓力的計算需要更加精確才能衡量邊坡所帶來的影響。盡管在土壓力計算理論的發(fā)展過程中也獲得了許多的成果，也比較了計算方法和計算模型的精確性[6-15]，但針對緊鄰邊坡基坑的土壓力研究并不多見，傳統(tǒng)的朗肯、庫侖土壓力理論在這種復雜條件下的無法滿足計算的精確度。

本文基于能量法[16-22]理論，對已有的數(shù)學模型進行擴展延伸并引入邊坡參數(shù)，研究邊坡荷載對基坑側壁土壓力的影響。并基于工程實例利用能量法計算主動土壓力，將計算結果與有限元模擬結果以及傳統(tǒng)的朗肯法、庫倫法結果對比，發(fā)現(xiàn)該方法能夠較為準確地計算緊鄰高邊坡時基坑側壁土壓力。

1能量法理論推導

1.1能量法計算土壓力原理

能量理論在土壓力計算中的運用是建立在庫侖理論的基礎上。在極限平衡狀態(tài)下，土體不但要滿足應力場中力的平衡條件與強度條件，還需要滿足速度場中的能量守恒定理。在對真實工況進行土壓力計算時，通常要考慮動荷載與靜荷載兩種作用。

土在進入流塑狀態(tài)時，滿足米塞斯提出的流動法則[23]。通過流動法則的分析，流塑狀態(tài)土體中，土體內(nèi)摩擦角余切的相反數(shù)為剪應變速率與發(fā)向應變速率之比。土體在流塑過程中伴隨著體積的膨脹。從微觀角度看，存在寬dx、高dy的單元土體，在豎向應力σn作用下達到塑性流動狀態(tài)時，土體表面各點產(chǎn)生剪切速度和豎直方向的變形速度，分別為：νdy-εndy=tgφνdy。水平剪切速度和豎向變形速度的矢量和為應變速度矢量ν，與受剪面夾角為β，如圖1所示。

根據(jù)圖1中幾何關系，有：

tg β=εnν。（1）

根據(jù)流動法則，有：

tgβ=εnν=tg φ。（2）

因此有：

β=φ。（3）

公式（3）表明，土處于流塑狀態(tài)時，滑動面上任意一點處應變速度矢量ν與該點處滑動線夾角呈φ。

土體在塑流中的能量變形在剪應力作用下所做的功為：

τ·ν=cν+σntg φ·ν。（4）

將產(chǎn)生的體積膨脹所吸收的功σnεn代入公式（4），有：

σnεn=σntg φν。（5）

因此單位土體消耗的能量為：

N=τ·ν-σntg φν=cν=c·νcos φ。（6）

式中：v 為剪切面上的應變速率。

1.2計算模型構建和土壓力方程推導

1.2.1計算模型構建

由于經(jīng)典土壓力計算理論的局限性，本文提出一種新的計算緊鄰邊坡條件下基坑側壁土壓力的計算方法。

建立基坑達到主動狀態(tài)時的計算模型（圖2），AB為假設的擋土墻墻面，垂直高度為H，墻面與豎向夾角為ε，與土體摩擦角為δ。墻后邊坡坡角為η，垂直高度為h。坡后土體向上傾斜并無限延伸，傾斜面與水平面夾角為θ。假定滑動面為直線BD，與水平方向夾角為α，土體單層且均勻，并在圖2中構建如下的幾何關系：過A點作輔助線AC∥ED交BD于C點;過E作輔助線EG⊥AC，垂足為G;過C作輔助線CF⊥DE，垂足為F，最后連接EC。

幾何關系構建后不規(guī)則四邊形土體ABDE重量即分為△ABC、△AEC、△ECD三部分，可得出土重W的表達式為：

W=W△ABC+W△AEC+W△EDC

=12γH2cos（ε-θ）cos（α-ε）cos2εsinα-θ+hHcos-ε-αsinη-θsinηcosεsinα-θ+h·sinη-θsinη·

hsinη-θsinηtanα-θ+Hsin90+ε-αcosεsinα-θ-hsinη-θsinηtanη-θ。（7）

1.2.2主動土壓力方程推導

主動土壓力的方向與擋墻面法線夾角為δ。土體處于流塑狀態(tài)時，面BD上方滑動土體的速率為ν，方向與BD面夾角為φ。作用在滑動土體上的外力為重力W與擋墻對土體反力Pa，模型中重力及土體反力做功之和等于假定滑動面處所消耗的能量，即：

N=NW+NPaH+NPaV=M。（8）

重力可由公式（7）計算，因W作用方向與v豎直分量的方向一致，故W做功為正。土壓力Pa在計算過程中可以分為兩塊處理，其豎直分量和水平分量分別為Pasinε+δ與Pacosε+δ，按照土壓力分量計算各自方向做的功NPaH與NPaV。由于Pa水平分量與豎直分量方向皆與υ相反，故相應所做的功為：

NPaH=-Pacosε+δ·υcos（α-φ）。（9）

NPaV=-Pasinε+δ·υsin（α-φ）。（10）

外力所做功為以上幾者之和，整理可得公式（11）。

內(nèi)力做功主要表現(xiàn)形式為土體在滑動面BD上滑動所產(chǎn)生的能量損耗，可按摩擦理論來進行求解，如公式（12）所示。

N=NW+NPaH+NPaV=12γυsin（α-φ）H2cos（ε-θ）cos（α-ε）cos2εsinα-θ+hHcos-ε-αsinη-θsinηcosεsinα-θ+

h·sinη-θsinη·hsinη-θsinηtanα-θ+Hsin90+ε-αcosεsinα-θ-hsinη-θsinηtanη-θ-Pacosε+δ·υcos（α-φ）-Pasinε+δ·υsin（α-φ）。（11）

M=cυcosφ·BC+CD=cυcosφ·Hsin（90+θ-ε）cosεsin（α-θ）+hsin（η-θ）sinηsin（α-θ）。（12）

根據(jù)能量守恒建立平衡關系，有：

12γυsin（α-φ）H2cos（ε-θ）cos（α-ε）cos2εsinα-θ+hHcos-ε-αsinη-θsinηcosεsinα-θ+h·sinη-θsinη·

hsinη-θsinηtanα-θ+Hsin90+ε-αcosεsinα-θ-hsinη-θsinηtanη-θ-Pacosε+δ·υcosα-φ-

Pasinε+δ·υsinα-φ=cυcosφ·Hsin（90+θ-ε）cosεsin（α-θ）+hsin（η-θ）sinηsin（α-θ）。（13）

消去公式中速率υ，得：

Pa=12γH2sin（α-φ）cos（ε-θ）cos（α-ε）cos2εsinα-θcosε+δ-α+φ+12γhHsin（α-φ）cos-ε-αsinη-θsinηcosεsinα-θcosε+δ-α+φ+

12γh2sin（α-φ）sinη-θsinη·hsinη-θsinηtanα-θ+Hcos（ε-α）hcosεsinα-θ-hsinη-θsinηtanη-θcosε+δ-α+φ-

ccosφ·Hcos（θ-ε）cosεsin（α-θ）+hsin（η-θ）sinηsin（α-θ）cosε+δ-α+φ。（14）

整理得：

Pa=12γH2Ka1+hHKa2+h2Ka3-Ka4。（15）

其中：

Ka1=sinα-φcos（ε-θ）cos（α-ε）cos2εsinα-θcosε+δ-α+φ。

Ka2=sinα-φcos-ε-αsinη-θsinηcosεsinα-θcosε+δ-α+φ。

Ka3=sin（α-φ）sinη-θsinη·hsinη-θsinηtanα-θ+Hcos（ε-α）hcosεsinα-θ-hsinη-θsinηtanη-θcosε+δ-α+φ。

Ka4=ccosφ·Hcos（θ-ε）cosεsin（α-θ）+hsin（η-θ）sinηsin（α-θ）cosε+δ-α+φ。

此時在滿足能量守恒的條件下，方程中僅有α未知。之后可依據(jù)極值條件，求出Pa的最大值，得到主動土壓力的計算結果。

1.2.3被動土壓力方程推導

被動土壓力的計算與主動土壓力計算的原理類似，主要區(qū)別在于被動土壓力Pp的大小和作用方向與主動土壓力不同，被動土壓力計算時假設土體滑動方向（即應變速率υ的方向）與主動土壓力不同。因此對主動土壓力的計算模型進行調(diào)整，如圖2所示。此時滑動土體四邊形ABDE的重力W與主動土壓力相同，可按主動土壓力求解方法進行計算。而外力做功的計算上與主動土壓力的不同之處在于一些力做功正負的變化。具體為應變速率的豎直方向分量與重力方向相反，重力做負功;應變速率水平方向分量、豎直方向分量分別與被動土壓力水平方向分量Ppcos（ε-δ）、Ppsin（ε-δ）相同和相反，因此分別做正功和負功。推導過程如下：

Pp=12γH2sinα+φcosε-θcosα-εcos2εsinα-θcosε-δ+α+φ+12γhHsinα+φcos-ε-αsinη-θsinηcosεsinα-θcosε-δ+α+φ+

12γh2sinα+φ·sinη-θsinη·hsinη-θsinηtanα-θ+Hcosε-αhcosεsinα-θ-hsinη-θsinηtanη-θcosε-δ+α+φ+

ccosφ·Hcosθ-εcosεsinα-θ+hsinη-θsinηsinα-θcosε-δ+α+φ=12γH2Kp1+hHKp2+h2Kp3+Kp4。（16）

其中：

Kp1=sinα+φcos（ε-θ）cos（α-ε）cos2εsinα-θcosε-δ+α+φ。

Kp2=sinα+φcos-ε-αsinη-θsinηcosεsinα-θcosε-δ+α+φ。

Kp3=sinα+φ·sinη-θsinη·hsinη-θsinηtanα-θ+Hcos（ε-α）hcosεsinα-θ-hsinη-θsinηtanη-θcosε-δ+α+φ。

Kp4=ccosφ·Hcos（θ-ε）cosεsin（α-θ）+hsin（η-θ）sinηsin（α-θ）cosε-δ+α+φ。

同理，滿足能量守恒的條件下式中僅有α未知，通過導數(shù)為0來求出Pp的最大值，得到被動土壓力的計算結果。

2能量法計算緊鄰邊坡的基坑側壁主動土壓力的應用

2.1工程概況

湖南省某公路基坑工程位于郴州市城東郊，基坑長約97 m，東西寬約45 m，最大深度約為12 m，工程面臨基坑開挖的問題。場地平面示意圖如圖3所示，基坑右側匝道b設計位置將經(jīng)過原邊坡坡腳，邊坡高度約為37 m。同時，在下穿匝道a設計位置緊鄰場地西南側山體邊坡，坡高約為21 m。由于場地地形起伏特點及煤系地層的不良條件，需結合排水設施的修筑以保證基坑開挖過程中的穩(wěn)定性。

2.2能量法計算土壓力的特解

朗肯及庫侖土壓力理論在土壓力計算過程中不能很好地處理邊坡荷載的影響，因此在邊坡高度為0 m的特殊條件下傳統(tǒng)理論計算土壓力才較為準確。為了印證能量法計算主動土壓力的合理性，通過取h與η同時為最小值時，能夠滿足能量法和庫倫土壓力的假設條件相同，從而得到能量法計算主動土壓力結果的特解。將此時的計算結果與傳統(tǒng)的土壓力計算理論進行對比，可以反映出各種計算方式的差異。假設在邊坡高度h = 0 m時運用三種理論計算主動土壓力，假定墻高H = 11 m;土體采用砂土，重度γ=19 kN/m3，摩擦角φ=20°，墻背摩擦角δ=0°，幾何條件為墻面與豎直方向夾角ε=15°。邊坡后無限延伸土體水平。參數(shù)α為土壓力極限值確定的滑動面與水平面夾角，由公式（11）計算得到夾角值α= 34.731°。

不同計算方法的結果見表1。結果表明推導所得能量法計算結果介于朗肯、庫侖土壓力理論所得主動土壓力計算結果之間。經(jīng)典土壓力理論中，朗肯法計算主動土壓力較實際偏大[19]，而庫侖土壓力計算結果也會有2%～10%的偏差。因此能量法介于兩者之間的結果可以較為真實的反映實際主動土壓力的大小。被動土壓力結果的對比反映出能量法的計算值與朗肯法結果相近，三種方法計算的差異較小故具有較高的可信性。

2.3能量法計算結果與數(shù)值模擬結果比較

根據(jù)上文所推得的主動土壓力計算公式，選取西南側基坑側壁與高邊坡相鄰最近處為計算截面，計算不同開挖深度下基坑側壁的主動土壓力，工程概況如上所述，具體模型參數(shù)見表2。采用Midas有限元模擬軟件對開挖過程進行模擬網(wǎng)絡劃分示意圖如圖4所示。數(shù)值模型采用標準邊界條件，即假設模型右側無水平位移，底部固定約束，頂部則為自由邊界。為方便計算，地層重度等數(shù)據(jù)選取勘察報告中各地層數(shù)據(jù)的加權平均值。其中能量法計算結果見表3。

根據(jù)上述步驟得出了基坑側壁在不通開挖深度下的主動土壓力結果，圖5表示用有限元方法和能量法計算的結果對比。結果顯示當開挖深度小于1.1 m時，模擬結果相對于能量法公式計算結果偏小，隨著開挖深度的增加，能量法公式計算結果相對于數(shù)值模擬結果所得曲線較為平緩;在-4 m深度下，模擬結果相對于能量法結果偏小;在-4 ～ 8 m段差距較大，但最大誤差不超過10%。因此在整體開挖深度下，能量法計算結果具有高度的可信性，將其運用到緊鄰邊坡的基坑主動土壓力計算中能夠得到合理的結果。

3邊坡幾何參數(shù)對基坑土壓力影響分析

能量法計算得到的緊鄰邊坡下基坑主動土壓力結果與模擬結果有著很好的契合，但在實際計算中，還需要研究模型與公式中邊坡幾何參數(shù)影響。

選取邊坡幾何參數(shù)——傾角η與坡高h，探索兩者的值對基坑土壓力的作用規(guī)律。研究模型以上述工程案例為基礎建立，通過Python軟件呈現(xiàn)不同幾何參數(shù)對基坑側壁土壓力的影響和規(guī)律。土體指標選取基坑工程中場地土參數(shù)，假設條件中除墻背摩擦角δ=35°、粘聚力c=35 kPa外，其他參數(shù)與2.2節(jié)中一致。邊坡后無限延伸土體傾角θ=12°。邊坡豎直高度h取0 m至10 m不等。受幾何關系限制，邊坡傾角需大于土體傾角，即η≥tan-1（hHtanε+H+htanα）。因此當h<5.77 m時η最小值為η=θ;當5.77

根據(jù)圖6和圖7顯示的主、被動土壓力隨邊坡參數(shù)的變化關系。圖中顏色由淺到深表示土壓力數(shù)值逐漸增大。沿主動土壓力軸（z軸）正向提升曲線對曲面進行切割，圖像顏色由藍變紅表示土壓力逐漸增加?？梢娀又鲃油翂毫κ芷赂吆推履_的影響變化十分顯著，且主動土壓力隨著坡角和坡高的增大而增大，被動土壓力也表現(xiàn)出相同的變化趨勢。坡高從0 m增加至10 m，主動土壓力由855 kPa增至1 780 kPa，而被動土壓力增幅要大于主動土壓力的增幅。這是由于邊坡高度的增加引起緊鄰基坑邊坡土體的增多，土體增多引起的邊坡重度增大間接地增加了基坑側壁的旁壓，變化趨勢符合一般規(guī)律。

壓縮h軸后，邊坡傾角η與主動土壓力關系如圖8所示。傾角在0.25 rad至0.6 rad之間時，隨著傾角的增加，主動土壓力增加極為明顯。傾角超過0.6 rad時，主動土壓力增加幅度減小，幾乎呈線性增加。因此主動土壓力在一定范圍內(nèi)受邊坡坡角的影響較為顯著。對被動土壓力而言，其變化趨勢也呈現(xiàn)出對數(shù)增長趨勢，在0.2～0.4 rad階段增長較快，后逐漸進入穩(wěn)定增長狀態(tài)，傾角大于一定弧度后增長趨勢不再明顯。

在相同的假設條件下將計算后的基坑的主、被動土壓力結果與兩個不同的幾何因素置于同一坐標系下觀察，如圖9所示。對比發(fā)現(xiàn)主、被動土壓力在變化趨勢方面反映出了一致性，即坡高和傾角的增加均使得主、被動土壓力產(chǎn)生增加效果。但被動土壓力較主動土壓力受邊坡傾角的影響更為明顯，尤以0.2 ～ 0.4 rad段最為明顯。

4結論

（1）能量法原理創(chuàng)建的緊鄰邊坡條件下的基坑土壓力計算模型，推導出主、被動土壓力的計算公式，適合分析解決工程問題。

（2）能量法計算土壓力得到的特解與傳統(tǒng)土壓力計算方法所得結果進行對比，發(fā)現(xiàn)能量法計算主動土壓力的值介于朗肯法與庫侖法之間，更接近于庫侖土壓力，而對于被動土壓力，三者的值十分接近。

（3）通過能量法計算結果與有限元模擬結果的對比，發(fā)現(xiàn)兩者除了在個別區(qū)段有少許差異外，整體結果十分接近。邊坡坡高、坡角對基坑的土壓力計算的影響程度不同。

（4）坡高與基坑主動土壓力呈大致線性關系，與被動土壓力呈高度線性關系。坡角的增大對主動土壓力和被動土壓力的影響均表現(xiàn)出了先趨于對數(shù)后趨于線性的增長趨勢，即坡度在0.25～0.6 rad時，土壓力增幅較大，之后其呈現(xiàn)出線性增長趨勢。兩者對比反映出土壓力對坡腳更為敏感，且被動土壓力的受影響程度大于主動土壓力的受影響程度。

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