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        巧求勻質(zhì)圓弧的質(zhì)心

        2019-06-06 04:08:21楊純斌錢琬燕
        關(guān)鍵詞:利用系統(tǒng)

        楊純斌 錢琬燕

        力學(xué)系統(tǒng)的質(zhì)心在求解該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的過程中起著重要作用.對于質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng),我們可以得到質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程,質(zhì)心的動(dòng)能定理,繞過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理等規(guī)律.求系統(tǒng)質(zhì)心的常見方法有:(1)對于任意形狀和任意質(zhì)量分布的系統(tǒng),根據(jù)質(zhì)心定義,直接求和或者積分求質(zhì)心;(2)對于質(zhì)量均勻分布的二維平板或者二維曲線,利用巴普斯定理求質(zhì)心等.前者是萬能的,但是一般情況下計(jì)算比較復(fù)雜,特別是需要用到積分等數(shù)學(xué)工具.后者只能有效地用于形狀規(guī)則的二維平板或者曲線,且一般需要了解立體幾何的知識(shí)或者二維曲面的面積等知識(shí).這里,我們提出一種求解均勻圓弧的質(zhì)心的精巧方法.此方法只需要利用一些簡單的三角函數(shù)的知識(shí).

        研究一段勻質(zhì)圓弧,其兩端點(diǎn)對圓心的張角為α,圓弧的半徑為R,如圖所示.如果根據(jù)質(zhì)心的定義求其質(zhì)心,我們需要將圓弧分成無窮多個(gè)極小的部分,然后對小部分的坐標(biāo)求和.這樣,需要利用三角函數(shù)的積分等知識(shí).如果利用巴普斯定理求該圓弧的質(zhì)心,我們可以將圓弧繞通過圓弧的圓心和一個(gè)端點(diǎn)的半徑旋轉(zhuǎn)一周,利用立體角計(jì)算圓弧旋轉(zhuǎn)后得到的球冠的面積,進(jìn)一步根據(jù)巴普斯定理得到質(zhì)心到圓心的距離.這種解法需要立體角等概念和計(jì)算方法.下面討論的解法,只采用初等數(shù)學(xué)里三角函數(shù)的知識(shí),求勻質(zhì)圓弧的質(zhì)心到圓心的距離.

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