裴靜

在分析幾何問(wèn)題時(shí)，學(xué)會(huì)正確地畫(huà)輔助線非常重要.只有正確畫(huà)出輔助線，才能夠有助于快速證明幾何問(wèn)題;反之，如果盲目地畫(huà)輔助線，則只會(huì)把當(dāng)前的幾何問(wèn)題變得更加復(fù)雜.筆者結(jié)合自己的學(xué)習(xí)實(shí)踐，說(shuō)明在證明幾何問(wèn)題時(shí)，正確畫(huà)輔助線的方法.

?一、應(yīng)用畫(huà)輔助線轉(zhuǎn)移數(shù)學(xué)問(wèn)題

轉(zhuǎn)移一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，是指當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題為A，現(xiàn)在難以證明出問(wèn)題A，然后卻可以嘗試思考，能不能讓數(shù)學(xué)問(wèn)題A等價(jià)為數(shù)學(xué)問(wèn)題B，而現(xiàn)在雖然難以證明數(shù)學(xué)問(wèn)題A，卻容易證明數(shù)學(xué)問(wèn)題B，這樣可以證明問(wèn)題B的途徑來(lái)證明A.應(yīng)用這樣的思路畫(huà)輔助線，便能通過(guò)添加輔助線來(lái)幫助解決幾何證明問(wèn)題.

題1：如圖1，已知：△ABC的三個(gè)內(nèi)角是∠A，∠B，∠C.求證：∠A+∠B+∠C=180°.

現(xiàn)在要證明三角形的內(nèi)角和為180°，如圖1，即要證明∠C=180°-∠A-∠B.這就是把證明∠A+∠B+∠C=180°等價(jià)為∠C=180°-∠A-∠B的問(wèn)題了.應(yīng)用這樣的方法，有利于問(wèn)題的證明.依此思路，可以繪制出BC的延長(zhǎng)線CD，如果能證明∠ACD=∠A+∠B，即可完成證明？此時(shí)思考，要如何完成證明呢？現(xiàn)在繪制出CE//AB這條件，此時(shí)，又把∠C=180°-∠A-∠B等價(jià)為∠C=180°-∠1-∠2了.依此思路繪出輔助線，完成證明.證明的過(guò)程為作BC的延長(zhǎng)線CD，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BA，∠1=∠A，∠2=∠B（依平行線的判定定理），又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.從這一題中可以看到，在添加輔助線時(shí)，必須思考可不可以讓一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題A變成另一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題B，通過(guò)轉(zhuǎn)移問(wèn)題的方法完成證明，這是一種在證明幾何問(wèn)題時(shí)添加輔助線的思路.

?二、應(yīng)用畫(huà)輔助線來(lái)建立一個(gè)數(shù)學(xué)命題

在遇到幾何問(wèn)題時(shí)，有時(shí)可以通過(guò)直覺(jué)和生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)發(fā)現(xiàn)幾何命題是不是成立的.然而這個(gè)思路還需要證明，此時(shí)可以通過(guò)畫(huà)輔助線來(lái)把自己的生活經(jīng)驗(yàn)、直覺(jué)得到的判斷具象化，然后以判斷這個(gè)命題是正確的，或者不正確的偽命題，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)完成證明，在把根據(jù)直覺(jué)得到的命題判斷具象化的過(guò)程中，畫(huà)輔助線起到能讓數(shù)學(xué)命題成立的重要作用.

題2： 如圖2，AB>AC， ∠1=∠2，求證：AB-AC>BD-CD.

在觀看這個(gè)圖形時(shí)，不需要作深入的分析，便會(huì)產(chǎn)生一種直覺(jué)：AB-AC>BD-CD.此時(shí)仔細(xì)地思考，這種直覺(jué)是如何產(chǎn)生的？邏輯依據(jù)是什么？此時(shí)可以看到，在觀察幾何圖形的時(shí)候，雖然可以產(chǎn)生一種幾何圖形判斷定的直覺(jué)，但是這種直覺(jué)是需要數(shù)學(xué)邏輯來(lái)證明的.為了應(yīng)用數(shù)學(xué)邏輯來(lái)證明自己的直覺(jué)，現(xiàn)順著直覺(jué)分析，可以思考，能不能添加一條輔助線，讓AE=AC呢？此時(shí)如果能夠證明DE=CD，那么就可以應(yīng)用三角形兩邊之差小于第三邊這個(gè)性質(zhì)來(lái)完成證明.依此方向，建立命題：讓AE=AC，然后連接DE，證明DE=CD是否成立.輔助線作好后，剩下的就容易證明了.

?三、應(yīng)用畫(huà)輔助線整合幾何圖形

在遇到幾何問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們經(jīng)常會(huì)看到，有些幾何圖形為不是特殊的幾何圖形.如有些三角形為普通的三角形、有些四邊形的四邊長(zhǎng)短缺乏規(guī)律性，當(dāng)幾何圖形不夠特殊，缺乏規(guī)律性時(shí)，會(huì)給證明帶來(lái)很多困難.應(yīng)用畫(huà)輔助線的方法，可以把不規(guī)律的幾何圖形嘗試變成規(guī)則的圖形.如果能夠應(yīng)用拼接的方法，把普通的三角形變成直角三角形，能夠把不夠規(guī)則的圖形變成矩形或平行四邊形這樣的圖形，那么可以應(yīng)用這些特殊幾何圖形的性質(zhì)來(lái)完成證明.為了達(dá)到把不特殊的圖形變成特殊圖形的目的，可以應(yīng)用畫(huà)輔助線的方法分割或拼補(bǔ)圖形，為證明幾何問(wèn)題打好基礎(chǔ).

同學(xué)們?cè)谧C明幾何問(wèn)題時(shí)，要學(xué)會(huì)巧妙地繪制輔助線：可以應(yīng)用讓問(wèn)題等價(jià)的思路、讓某個(gè)數(shù)學(xué)命題成立的思路、把不特殊圖形變成特殊圖形的思路添加輔助線.應(yīng)用這樣的方法添加輔助線，有利于問(wèn)題的證明.