黃詠婷，成央金，楊 柳

(湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411105 )

Zadeh[1]在1965年提出了隸屬度函數(shù)的概念，建立了模糊集理論.該理論在現(xiàn)代社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，眾多學(xué)者展開了深入研究.Atanassov[2]提出了非隸屬度和猶豫度的概念，建立了直覺模糊集理論；Vicen[3]針對(duì)人們?cè)谶M(jìn)行決策時(shí)總是猶豫不決，而又為了保證信息的全面性最終產(chǎn)生一個(gè)集合的隸屬度的情況，提出了猶豫模糊集的概念；于倩等[4]針對(duì)專家在決策過程中由于問題的復(fù)雜性和模糊性，對(duì)方案的評(píng)價(jià)值難以用定量的數(shù)值形式來表示的情況，基于猶豫模糊集和梯形模糊數(shù)，提出了猶豫梯形模糊集的概念.

1950年，Bonferroni[5]提出了Bonferroni均值.由于Bonferroni均值能夠很好地捕獲輸入變量之間相互關(guān)聯(lián)的情況，將多個(gè)輸入變量集成為1個(gè)變量，因此學(xué)者們對(duì)其進(jìn)行了拓展研究.Yager[6]提出了廣義Bonferroni mean算子并將其應(yīng)用到多屬性決策中；結(jié)合直覺模糊集和區(qū)間直覺模糊集，徐澤水等提出了直覺模糊Bonferroni mean算子[7]和區(qū)間直覺模糊Bonferroni mean算子[8]，并將它們用于多屬性決策中；結(jié)合三角模糊數(shù)直覺模糊集、梯形模糊數(shù)直覺模糊集和區(qū)間直覺梯形模糊集，周曉輝等提出了三角模糊數(shù)直覺模糊Bonferroni mean算子[9]、梯形模糊數(shù)直覺模糊Bonferroni mean算子[10]和區(qū)間直覺梯形模糊Bonferroni mean算子[11]，并將它們用于多屬性決策中；朱斌等[12]結(jié)合猶豫模糊集提出了猶豫模糊幾何Bonferroni mean算子；朱輪等[13]提出了廣義猶豫模糊Bonferroni mean算子；于倩等[14]結(jié)合區(qū)間猶豫模糊集提出了區(qū)間猶豫Bonferroni mean算子；夏梅梅等[15]提出了幾何Bonferroni mean算子并將其用于多屬性決策中.筆者擬考慮專家評(píng)價(jià)值為猶豫梯形模糊元的多屬性決策問題，結(jié)合Bonferroni均值和猶豫梯形模糊集，提出猶豫梯形模糊Bonferroni mean算子的概念,并研究其加權(quán)形式.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 Bonferroni均值

定義1[5]設(shè)p,q>0,ai(i=1,2,…,n)是一列非負(fù)實(shí)數(shù)，若存在

則稱函數(shù)Bp,q為Bonferroni均值.

1.2 猶豫梯形模糊集

定義2[4]設(shè)X為一非空集合，則定義在集合上的猶豫梯形模糊數(shù)集可表示為A={x,hA(x)|x∈X}，其中hA(x)由[0,1]范圍內(nèi)所有不同梯形模糊數(shù)構(gòu)成，表示元素x(∈X)隸屬于集合A的所有不同隸屬度的集合.為了方便，用hA(x)表示一個(gè)猶豫梯形模糊元素(HTrFE)，記為hA(x)=h={[a,b,c,d]}.

定義3[4]設(shè)h={[a,b,c,d]},h1={[a1,b1,c1,d1]}，h2={[a2,b2,c2,d2]}，它們都是猶豫梯形模糊元素，且λ>0，則有如下運(yùn)算規(guī)則：(1)h1⊕h2=∪[ai,bi,ci,di]∈hi,i=1,2{[a1+a2-a1a2,b1+b2-b1b2,c1+c2-c1c2,d1+d2-d1d2]}；(2)h1?h2=∪[ai,bi,ci,di]∈hi,i=1,2{[a1a2,b1b2,c1c2,d1d2]}；(3)hλ=∪[a,b,c,d]∈h{[aλ,bλ,cλ,dλ]}；(4)λh=∪[a,b,c,d]∈h{[1-(1-a)λ,1-(1-b)λ,1-(1-c)λ,1-(1-d)λ]}.

對(duì)于猶豫梯形模糊元素h1和h2，若s(h1)>s(h2)，則h1>h2；若s(h1)=s(h2)，則h1=h2.對(duì)于h1和h2的大小，也可以用這個(gè)方法進(jìn)行比較.

2 猶豫梯形模糊Bonferroni Mean算子

2.1 猶豫梯形模糊元的運(yùn)算律

定理1設(shè)h1，h2，h3是猶豫梯形模糊元，則它們滿足如下運(yùn)算律：(1)h1⊕h2=h2⊕h1；(2)h1?h2=h2?h1；(3)(h1⊕h2)⊕h3=h1⊕(h2⊕h3)；(4)(h1?h2)?h3=h1?(h2?h3)；(5)(h1?h2)λ=h1λ?h2λ；(6)λ(h1⊕h2)=λh1⊕λh2.

證明由定義3易證運(yùn)算律(1)，(2)，(4)，(5).現(xiàn)證運(yùn)算律(3)：

(h1⊕h2)⊕h3={[a1+a2-a1a2,b1+b2-b1b2,c1+c2-c1c2,d1+d2-d1d2]|

[ai,bi,ci,di]∈hi,i=1,2}⊕h={[a1+a2+a3-a1a2-a1a3-a1a2a3+

a2a3,b1+b2+b3-b1b2-b1b3-b1b2b3+b2b3,c1+c2+c3-

c1c2-c1c3-c2c3+c1c2c3,d1+d2+d3-d1d2-d1d3-

d2d3+d1d2d3]|[ai,bi,ci,di]∈hi,i=1,2,3}=

{[1-(1-a1)(1-(a2+a3-a2a3)),1-(1-b1)(1-(b2+b3-b2b3)),

1-(1-c1)(1-(c2+c3-c2c3)),1-(1-d1)(1-(d2+d3-d2d3))]|

[ai,bi,ci,di]∈hi,i=1,2,3}=h1⊕(h2⊕h3).

再證運(yùn)算律(6)：

λ(h1⊕h2)={[1-(1-(a1+a2-a1a2))λ,1-(1-(b1+b2-b1b2))λ,1-(1-(c1+c2-c1c2))λ,

1-(1-(d1+d2-d1d2))λ]|[ai,bi,ci,di]∈hi,i=1,2}=

{[1-(1-a1)λ(1-a2)λ,1-(1-b1)λ(1-b2)λ,1-(1-c1)λ(1-c2)λ

1-(1-d1)λ(1-d2)λ]|[ai,bi,ci,di]∈hi,i=1,2}=λh1⊕λh2.

2.2 猶豫梯形模糊Bonferroni Mean算子

定義5令p,q>0,hi(i=1,2,…,n)是一列猶豫梯形模糊元，若

則稱HTrFBMp,q是猶豫梯形模糊Bonferroni mean算子.

定理2設(shè)p,q>0,hi(i=1,2,…,n)是一列猶豫梯形模糊元，則用HTrFBMp,q算子集成的結(jié)果仍是猶豫梯形模糊元，且

證明由定理1可知，

故只要證明下式成立即可：

(1)

現(xiàn)利用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=2時(shí)，

(2)

此時(shí)(1)式成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)(1)式也成立，則

當(dāng)n=k+1時(shí)，

再用數(shù)學(xué)歸納法證明

(3)

當(dāng)k=2時(shí)，由(2)式可知，

此時(shí)(3)式成立.假設(shè)當(dāng)k=t時(shí)(3)式也成立，則

(4)

當(dāng)k=t+1時(shí)，由(2)和(4)式可知，

故(3)式成立.于是

故(1)式成立，從而

再由定義3的(3)和(4)可得，

由HTrFBMp,q算子的以上形式和定義2易知HTrFBMp,q算子的集成結(jié)果仍是猶豫梯形模糊元.

HTrFBMp,q算子還具有如下性質(zhì)：

定理3(冪等性) 設(shè)p=q=1,hi(i=1,2,…,n)是一列猶豫梯形模糊元，且對(duì)于?i∈{1,2,…,n}都有hi=h={[a,b,c,d]}，則

HTrFBMp,q(h1,h2,…,hn)=HTrFBMp,q(h,h,…,h)=h.

定理4(置換不變性) 設(shè)p,q>0,hi(i=1,2,…,n)是一列猶豫梯形模糊元，hσ(i)(i=1,2,…,n)是該列猶豫模糊元的任意一個(gè)置換，則

HTrFBMp,q(hσ(1),hσ(2),…,hσ(n))=HTrFBMp,q(h1,h2,…,hn).

h-≤HTrFBMp,q(h1,h2,…,hn)≤h+.

2.3 猶豫梯形模糊加權(quán)Bonferroni Mean算子

則稱WHTrFBMp,q為猶豫梯形模糊加權(quán)Bonferroni mean算子.

定理7的證明過程與定理2類似，不再詳述.

3 HTrFBMp,q算子的特例

(1)若q→0,則

(2)若p=1,q→0，則

(3)若p=q=1，則

4 基于WHTrFBMp,q算子的多屬性決策方法

下面基于WHTrFBMp,q算子給出解決猶豫梯形模糊環(huán)境下的多屬性決策問題的具體步驟：

(ⅰ)利用猶豫梯形模糊矩陣和WHTrFBMp,q算子，計(jì)算得到方案Ai的綜合猶豫梯形模糊評(píng)價(jià)值

其中：

(5)

5 數(shù)值實(shí)例

例1[4]假設(shè)5個(gè)綠色供應(yīng)商(Ai，i=1,2,3,4,5)分別從4個(gè)屬性(Cj，j=1,2,3,4)去評(píng)價(jià)，其中C1為產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)力，C2為合作與發(fā)展?jié)摿?，C3為供應(yīng)商競(jìng)爭(zhēng)力，C4為綠色績(jī)效.w是這4個(gè)屬性的權(quán)重向量，w=(0.2,0.4,0.1,0.3)T.專家給出的各備選綠色供應(yīng)商在上述4個(gè)屬性下的評(píng)價(jià)值用猶豫梯形模糊元表示，匯集所有的評(píng)價(jià)值，構(gòu)成猶豫梯形模糊決策矩陣H=(hij)5×4(表1).

現(xiàn)用WHTrFBMp,q算子來解決猶豫梯形模糊環(huán)境下的綠色供應(yīng)商選擇問題：

由此可知，最優(yōu)供應(yīng)商是A1,這與文獻(xiàn)[4]的結(jié)論相同，驗(yàn)證了該算子的有效性.

表2 猶豫梯形模糊綜合評(píng)價(jià)值Table 2 Hesitant Trapezoid Fuzzy Comprehensive Evaluation Value

表3 猶豫梯形模糊綜合評(píng)價(jià)值的得分函數(shù)Table 3 Hesitant Trapezoid Fuzzy Comprehensive Evaluation Score Functions

6 結(jié)語

將Bonferroni mean算子與猶豫梯形模糊集相結(jié)合，給出了猶豫梯形模糊Bonferroni mean算子及其加權(quán)形式的定義和具體的計(jì)算公式，并研究了猶豫梯形模糊Bonferroni mean算子的一些性質(zhì)及其特殊形式，給出了基于猶豫梯形模糊加權(quán)Bonferroni mean算子的多屬性決策方法.實(shí)例結(jié)果表明，猶豫梯形模糊加權(quán)Bonferroni mean算子在決策應(yīng)用中是有效的，但對(duì)于在猶豫梯形模糊環(huán)境下的各屬性權(quán)重未知的多屬性決策或群決策問題，還有待進(jìn)一步研究.