郭大猷，黃小平，王 芳

(1.上海交通大學(xué) 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240；2.上海海洋大學(xué) 上海深淵科學(xué)工程技術(shù)研究中心，上海 201306)

載人深潛器的研發(fā)對(duì)于我國(guó)開發(fā)利用深海資源有著重要的意義，其中觀察窗作為重要的開口結(jié)構(gòu)，對(duì)于保障深潛器和作業(yè)人員的安全至關(guān)重要.觀察窗的材料一般采用有機(jī)玻璃(PMMA)，其力學(xué)特性不同于通常的線性或者非線性材料，表現(xiàn)為對(duì)環(huán)境和加載方式敏感.

若嚴(yán)格按照ASME規(guī)范的設(shè)計(jì)要求，全海深潛水器載人艙的觀察窗厚度可能會(huì)超過設(shè)計(jì)限度，嚴(yán)重地限制了載人深潛器的發(fā)展.現(xiàn)階段，觀察窗的設(shè)計(jì)需要大量的數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.基于有限元法(FEM)的模擬由于能夠處理非線性問題(材料非線性、大變形、接觸等)而得到廣泛應(yīng)用.

劉道啟等[1]指出，觀察窗與窗座之間的相對(duì)位移主要由兩部分構(gòu)成：① 觀察窗與窗座在海水壓力作用下發(fā)生的擠壓變形；② 觀察窗玻璃隨時(shí)間的蠕變變形.由常溫下PMMA蠕變的回歸公式推導(dǎo)出反映蠕變變形的本構(gòu)模型，采用有限元軟件得到的觀察窗隨時(shí)間蠕變的計(jì)算結(jié)果，與實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果接近.田常錄等[2]針對(duì)潛水器觀察窗的蠕變變形理論展開進(jìn)一步的探索，獲得了觀察窗受力變形以及蠕變變形的計(jì)算公式,計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為吻合.可見，針對(duì)保載階段蠕變的有限元模擬研究具有一定的準(zhǔn)確性.

然而，隨著潛深的增加，下潛過程中觀察窗將受到更長(zhǎng)時(shí)間、更高壓力的靜水載荷，這一階段的蠕變影響將變得十分重要.因此，為了更貼切地模擬觀察窗的作業(yè)流程，亟需一種能分析加壓-保載全過程的有限元方法.

首先必須獲得PMMA的材料模型，目前國(guó)內(nèi)外的研究大多采用黏彈性本構(gòu)關(guān)系模型.謝中秋等[3]在恒應(yīng)變率加載單軸壓縮實(shí)驗(yàn)中使用了含應(yīng)變率效應(yīng)的ZWT(朱王唐)黏彈性本構(gòu)模型，并基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取了PMMA材料的本構(gòu)模型參數(shù).Hu等[4]研究了溫度和應(yīng)變率對(duì)PMMA力學(xué)性能的影響，提出了考慮溫度、應(yīng)變率耦合影響的本構(gòu)模型，研究結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好.Wang和Uzair等[5-6]對(duì)ZWT模型進(jìn)行改進(jìn)，在考慮溫度影響的情況下對(duì)PMMA的碰撞過程進(jìn)行了建模分析.

考慮到觀察窗的工作環(huán)境相當(dāng)于一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)加載過程，本文借鑒文獻(xiàn) [7] 的研究思路，采用廣義Maxwell模型表征PMMA的黏彈性材料特性，得出Prony級(jí)數(shù)形式的松弛彈性模量，進(jìn)而結(jié)合有限元軟件Abaqus，采用質(zhì)量縮放技術(shù)和等效時(shí)長(zhǎng)方法加快了顯式動(dòng)力計(jì)算過程，計(jì)算并校驗(yàn)了觀察窗的蠕變變形.此外，針對(duì)觀察窗模型局部應(yīng)力集中問題，通過設(shè)置倒角有效降低了局部應(yīng)力，同時(shí)使得網(wǎng)格的收斂性更好.

1 觀察窗蠕變的黏彈性特性

當(dāng)物體受到恒定外力時(shí)，其應(yīng)力與變形隨時(shí)間變化的現(xiàn)象稱為蠕變.在海水壓力作用下，觀察窗變形主要包括與窗座間的擠壓變形和蠕變變形.考慮蠕變特性時(shí)，PMMA的應(yīng)力-應(yīng)變并不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，故不能僅以線彈性特征來描述其本構(gòu)關(guān)系.

學(xué)界對(duì)PMMA等聚合物的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了一個(gè)逐步變化的過程，在模擬研究聚合物變形行為的時(shí)候曾將聚合物建立為彈塑性材料模型、超彈性材料模型、黏塑性材料模型，而近幾年隨著對(duì)聚合物力學(xué)性能研究的逐步深入，發(fā)現(xiàn)黏彈性材料模型更符合聚合物的變形特點(diǎn)[7].

1.1 PMMA的黏彈性力學(xué)模型

黏彈性的最大的特性就是與應(yīng)變率相關(guān)，有蠕變、應(yīng)力松弛等現(xiàn)象，并對(duì)時(shí)間和溫度有很大的依賴性[7].目前對(duì)PMMA黏彈性特征的表述可歸結(jié)為兩類：① 時(shí)溫等效性；② 在不同應(yīng)變率下的松弛或蠕變行為.所謂時(shí)溫等效性，即可以通過確定位移因子用較高溫度的松弛實(shí)驗(yàn)曲線平移得到低溫下的松弛實(shí)驗(yàn)曲線，而位移因子可以由經(jīng)典的Williams-Landell-Ferry(WLF)方程計(jì)算[7].另一方面，應(yīng)變率的影響則表現(xiàn)為：恒定的實(shí)驗(yàn)溫度下，隨著應(yīng)變率增大，PMMA的流動(dòng)應(yīng)力顯著增加，且可以采用ZWT黏彈性本構(gòu)模型進(jìn)行擬合[3].

為表征聚合物這種黏彈性材料的力學(xué)行為，可以將其看成是由表征黏性的元件(用黏壺表示)和表征彈性的元件(用彈簧表示)組合起來的復(fù)合模型.由黏性和彈性元件的不同組合排列方式即可得出模擬黏彈性材料特性的各種模型[7].

最常用的表征黏彈性的模型是Maxwell模型和Kelvin模型，但由于其參數(shù)較少，難以準(zhǔn)確表達(dá)較為復(fù)雜的蠕變規(guī)律.

黏彈性力學(xué)模型中的彈性和黏性單元越多，越能精確地表征出材料的黏彈性特性.本文所采用的廣義Maxwell模型由n個(gè)Maxwell體和1個(gè)彈性元件并聯(lián)而成，如圖1所示.圖中：Ei和ηi(i=1,2,…,n)分別為各Maxwell體中彈性元件的彈性模量及黏壺的黏度；Ee為單獨(dú)彈性元件的彈性模量.

圖1 廣義Maxwell模型Fig.1 Generalized Maxwell model

考慮松弛問題，即從某初始時(shí)刻起對(duì)模型施加恒定應(yīng)變，并且施加到并聯(lián)的每個(gè)Maxwell體上的應(yīng)變大小相同.對(duì)于Maxwell體，將τi=ηi/Ei稱為松弛時(shí)間，基于Maxwell模型的應(yīng)力松弛公式，各 Maxwell 元件的應(yīng)力隨時(shí)間的變化應(yīng)滿足

σi(t)=ε0Eie-t/τi

(1)

故廣義Maxwell模型的總應(yīng)力為

(2)

從而瞬時(shí)的松弛模量

(3)

由以上的分析可知，廣義的Maxwell模型可以很好地表征聚合物的蠕變(或松弛)變形特征，且上述松弛模量的數(shù)學(xué)表達(dá)形式與Prony級(jí)數(shù)形式相近.Abaqus中的線性黏彈性分析正是基于松弛模量的Prony級(jí)數(shù)形式的積分式本構(gòu)方程[7]的，據(jù)此可對(duì)觀察窗蠕變特性進(jìn)行分析.

1.2 Abaqus中的線性黏彈性

有限元軟件Abaqus提供了線彈性、塑性、黏彈性等多種本構(gòu)模型，結(jié)合靜態(tài)或顯式動(dòng)態(tài)的求解方法，可模擬PMMA觀察窗在加壓-保載條件下的變形過程.本節(jié)重點(diǎn)介紹Abaqus中的黏彈性模型.

Abaqus提供了3種黏彈性的定義方式：① 基于頻域的黏彈性函數(shù)——適用于穩(wěn)態(tài)、微幅振動(dòng)分析；② 基于時(shí)域的黏彈性函數(shù)——適用于依賴時(shí)間的分析；③ 基于用戶指定的蠕變法則——適用于非線性黏彈性分析.本文采用基于時(shí)域的黏彈性本構(gòu)關(guān)系來研究觀察窗的蠕變問題.

1.2.1適用條件 在定義連續(xù)彈性體材料的性質(zhì)時(shí)，Abaqus的時(shí)域黏彈性模型假定切變和體積的變化行為在多軸應(yīng)力狀態(tài)下是相互獨(dú)立的(不包括橡膠式泡沫(elastomeric foam)材料)，本構(gòu)模型要能反映切變變形和體積變形的規(guī)律.黏彈性本構(gòu)模型需要與線彈性，或類橡膠類物質(zhì)的超彈性行為協(xié)同使用，并適用于大應(yīng)變問題.

黏彈性主要在準(zhǔn)靜態(tài)分析、隱式直接積分法的動(dòng)態(tài)分析、顯式動(dòng)態(tài)分析、穩(wěn)態(tài)流動(dòng)(transport)分析等分析類型中使用.黏彈性參數(shù)的輸入主要有兩種方法：① 按照歸一化的Prony級(jí)數(shù)格式輸入材料參數(shù)；② 直接輸入經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的松弛或蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，由軟件自行計(jì)算生成本構(gòu)模型.

1.2.2數(shù)值計(jì)算 Abaqus通過對(duì)無量綱的松弛模量作Prony級(jí)數(shù)展開來定義黏彈性，如切變模量可表示為

(4)

對(duì)體積模量作Prony級(jí)數(shù)展開，可獲得類似的數(shù)學(xué)形式：

(5)

且Abaqus假設(shè)

(6)

瞬時(shí)模量與初始模量、無量綱瞬時(shí)模量的關(guān)系為

GR(t)=G0gR(t)

(7)

KR(t)=K0kR(t)

(8)

在彈性范圍內(nèi)，切變模量和體積模量與彈性模量和泊松比的關(guān)系為

(9)

為計(jì)算黏彈性響應(yīng)，需要在Abaqus中輸入線彈性與線性黏彈性的相關(guān)參數(shù).

2 觀察窗加壓-保載有限元模型

Wang等[8]開展的觀察窗加壓-保載實(shí)驗(yàn)具有緩慢加載(不超過 4.5 MPa/min)、高壓下長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)壓保載(5 h)的特點(diǎn)，且實(shí)驗(yàn)過程中溫度保持不變.因此，可對(duì)觀察窗PMMA材料的本構(gòu)模型作出一定的簡(jiǎn)化，即在恒溫條件下忽略WLF方程所考慮的時(shí)溫等效性，并將整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程視為準(zhǔn)靜態(tài)加載，不考慮在動(dòng)態(tài)加載下較高應(yīng)變率對(duì)本構(gòu)關(guān)系的影響.

本文參考文獻(xiàn)[8-9]的實(shí)驗(yàn)，建立用于觀察窗加壓-保載分析的有限元模型，并驗(yàn)證網(wǎng)格的收斂性.以觀察窗的下表面圓心為觀察點(diǎn)，對(duì)比線彈性、線性黏彈性兩種材料特性下的觀察窗變形情況，并與文獻(xiàn)中的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比.

2.1 有限元模型的建立

錐臺(tái)形觀察窗結(jié)構(gòu)如圖2所示.圖中：觀察窗錐角為90°；下表面直徑為130 mm；厚度為153 mm.本文使用兩種模型：旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱平面模型(2D模型)和立體模型(3D模型).前者在對(duì)稱軸截面上取1/2模型，后者取1/4模型，分別如圖3和4所示，

圖2 深潛器的PMMA觀察窗設(shè)計(jì)尺寸 (mm)Fig.2 PMMA frustum design for deep-sea manned submersible (mm)

圖3 觀察窗2D模型Fig.3 2D model of observation window

圖4 觀察窗3D模型Fig.4 3D model of observation window

2.2 定義接觸和約束

接觸對(duì)之間的Kimematic接觸條件[10]認(rèn)為：對(duì)于主接觸面Гs上的任意一點(diǎn)Ps，從接觸面Гc上在變形方向上的最近接觸點(diǎn)Pc可以通過它們之間的相對(duì)距離確定，其距離表達(dá)式為

(10)

式(10)為非線性方程，可以通過Newton-Raphson法求解.在t+Δt時(shí)刻，主從接觸面之間的距離可以表示為

t+ΔtS=[tPc-tPs]·t+ΔtN≥0

(11)

式中:t+ΔtN為t+Δt時(shí)刻的法向接觸體內(nèi)的單位法向向量.式(11)可用線性表達(dá)式表示為

t+ΔtS=tS+

[Δtu(Pc)-Δtu(Ps)]·tN≥0

(12)

式中：Δu(P)為P點(diǎn)的位移矢量增量.

根據(jù)Koulomb準(zhǔn)則，總摩擦力與黏連接觸及滑動(dòng)接觸相關(guān)，即

(13)

本文以剛度大的窗座面作為主面，觀察窗作為從面，窗座與窗體相接觸并設(shè)置摩擦，取摩擦因數(shù)為 0.1.在模擬過程中，接觸方向總是主面的法線方向，從面上的節(jié)點(diǎn)不會(huì)穿越到主面，但主面上的節(jié)點(diǎn)可以穿越從面.對(duì)窗座底部施加固定約束，并在截面上建立對(duì)稱約束.

2.3 網(wǎng)格劃分及收斂性分析

基于線彈性本構(gòu)關(guān)系開展網(wǎng)格收斂性分析，PMMA的彈性模量取 2.76 GPa，泊松比取 0.35(供貨商數(shù)據(jù)).模型外側(cè)施加115 MPa的靜水壓力作為載荷輸入.

對(duì)于3D模型，選用含有縮減積分和沙漏控制的8節(jié)點(diǎn)線性六面體單元(C3D8R)劃分網(wǎng)格，遵循接觸非線性分析中接觸主面網(wǎng)格尺寸大于從面的原則.靜力條件下試算得到的應(yīng)力云圖如圖5所示.

圖5 靜力試算得到的應(yīng)力云圖 (MPa)Fig.5 Stress contour plot of trial static analysis (MPa)

通過觀察應(yīng)力分布情況，對(duì)窗體與窗座接觸的應(yīng)力集中區(qū)域進(jìn)行局部網(wǎng)格細(xì)化，以期得到更穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果，網(wǎng)格劃分如圖6所示.

圖6 局部加密2 mm(過渡到4 mm)的3D模型Fig.6 Local grid refined 3D model (2—4 mm)

表1 無圓角3D模型在不同網(wǎng)格密度下的應(yīng)力及位移
Tab.1 Stress and displacement of none-filleted 3D model with different mesh densities

網(wǎng)格尺寸/mmσ/MPaτ′12/MPau/mm6111.339.09-4.437489.5445.13-4.3472116.966.55-4.335

為了加快收斂分析的計(jì)算速度，轉(zhuǎn)而采用2D模型，使用旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱(Axisymmetric)單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格，并通過類似3D模型的方法對(duì)網(wǎng)格局部加密，如圖7所示.對(duì)于無圓角過渡的模型，在網(wǎng)格加密的過程中，觀察點(diǎn)位移值趨于穩(wěn)定，但局部最大應(yīng)力難以收斂，見表2.

于是嘗試給出了含圓角過渡(半徑r=20,40 mm)的模型，如圖8所示.計(jì)算結(jié)果見表3.結(jié)果發(fā)現(xiàn)：① 圓角存在時(shí)，隨著網(wǎng)格的逐步加密，局部應(yīng)力更易趨于穩(wěn)定，故能較好地解決應(yīng)力集中問題；② 圓角半徑越大，局部應(yīng)力水平越低，觀察點(diǎn)位移越大.

通過2D與3D模型計(jì)算結(jié)果的比較，不難發(fā)現(xiàn)：① 無倒角模型存在局部應(yīng)力集中，Mises應(yīng)力和切應(yīng)力對(duì)網(wǎng)格尺寸、形狀敏感性較強(qiáng)，難以橫向比較；② 倒角相同的3D和2D模型，其觀察點(diǎn)處位移趨近，誤差在 1.5% 左右，并且3D模型位移較大；③ 隨著網(wǎng)格的細(xì)化，3D和2D模型的位移都呈現(xiàn)出減小的趨勢(shì).

圖7 局部網(wǎng)格加密的2D模型Fig.7 Local grid refined 2D model

圖8 含圓角過渡的2D模型網(wǎng)格Fig.8 Filleted 2D model mesh

表2 無圓角2D模型在不同網(wǎng)格密度下的應(yīng)力及位移Tab.2 Stress and displacement of none-filleted 2D model with different mesh densities

表3 存在圓角時(shí)2D模型在不同網(wǎng)格密度下的應(yīng)力及位移
Tab.3 Stress and displacement of 20 mm-filleted 2D model with different mesh densities

r/mm網(wǎng)格尺寸/mmσ/MPaτ′12/MPau/mm202.0143.475.03-4.5401.0129.171.61-4.4310.5131.974.17-4.4250.2133.475.98-4.4200.1133.876.17-4.419402.0117.264.03-4.6831.0121.568.82-4.6790.5122.770.00-4.6670.2123.570.37-4.6620.1123.770.51-4.661

因此，為了節(jié)省計(jì)算資源，使用由較粗網(wǎng)格的3D和2D模型計(jì)算得到的觀察點(diǎn)位移是偏安全的，且誤差在可以接受的范圍內(nèi).為了與實(shí)驗(yàn)相匹配，以下有限元建模都采用無倒角模型.

3 有限元計(jì)算及實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

根據(jù)文獻(xiàn) [8] 的實(shí)驗(yàn)描述，有限元建模時(shí)，設(shè)加壓時(shí)長(zhǎng)為 4.0×103s，且為準(zhǔn)靜態(tài)加載，當(dāng)壓力爬升至115 MPa時(shí)開始保載狀態(tài)，保載時(shí)長(zhǎng) 1.8×105s.為了加快計(jì)算，本例中采用質(zhì)量縮放技術(shù)和等效時(shí)長(zhǎng)方法.質(zhì)量縮放是指通過增加非物理質(zhì)量到模型單元上從而獲得大的顯式時(shí)間步長(zhǎng)的技術(shù)，對(duì)于不計(jì)應(yīng)變率的準(zhǔn)靜態(tài)加載問題，采用質(zhì)量縮放系數(shù)加快計(jì)算是有效的手段[11].等效時(shí)長(zhǎng)方法，是基于準(zhǔn)靜態(tài)加載的特點(diǎn)，對(duì)黏彈性松弛時(shí)間參數(shù)和加載-保載時(shí)間同時(shí)除以103，使得在較短的時(shí)間步內(nèi)求得位移變形歷程，而不改變位移變形的大小.

3.1 線彈性模型

基于線彈性本構(gòu)關(guān)系的有限元分析，不計(jì)加載-保載時(shí)間的影響，難以反映觀察窗在高壓加載-保載過程中的蠕變變形.據(jù)此校核觀察窗位移及由此帶來的密封問題，會(huì)對(duì)觀察窗產(chǎn)生的位移和變形估計(jì)不足.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和有限元計(jì)算結(jié)果的比較如圖9所示，無論采用顯式動(dòng)力計(jì)算還是隱式靜力計(jì)算，基于線彈性模型得到的位移結(jié)果都明顯小于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù).

圖9 線彈性2D模型的位移曲線Fig.9 Displacement curves of linear elastic 2D model

3.1.1線彈性模型的誤差分析 由圖9不難看出，線彈性模型在反映PMMA變形方面存在較大誤差，主要原因有：① 加載過程中，隨著壓力增大，蠕變效應(yīng)產(chǎn)生的位移越來越重要，線彈性模型由于忽略加載過程中的蠕變位移，將產(chǎn)生顯著的誤差；② 在保載階段，由于載荷維持不變，線彈性模型的位移保持不變，但實(shí)驗(yàn)中PMMA會(huì)繼續(xù)發(fā)生蠕變變形.

3.1.2顯式動(dòng)力學(xué)計(jì)算的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性 采用Abaqus的顯式動(dòng)力學(xué)模塊進(jìn)行計(jì)算，分別考察計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性.

比較圖9中顯式動(dòng)力學(xué)、隱式靜力學(xué)的位移曲線可知，兩者誤差很小.據(jù)此認(rèn)為，使用質(zhì)量縮放系數(shù)加速的顯式動(dòng)力學(xué)分析可得到準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果.

一般認(rèn)為，若模型動(dòng)能與內(nèi)能之比小于5%則計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定[11].取質(zhì)量縮放系數(shù)為1×103進(jìn)行有限元計(jì)算，得到模型能量(W)如圖10所示.計(jì)算過程中，模型動(dòng)能的數(shù)量級(jí)從10-5下降到10-9，除了在加載開始極短的時(shí)間內(nèi)，模型的動(dòng)能與內(nèi)能之比均遠(yuǎn)小于5%，可認(rèn)為顯式動(dòng)力計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定.

圖10 模型的內(nèi)能和動(dòng)能Fig.10 Internal energy and kinetic energy for model

3.2 黏彈性模型

3.2.1黏彈性參數(shù) Luo等[12]對(duì)PMMA進(jìn)行了一系列不同溫度和應(yīng)力水平下的較長(zhǎng)時(shí)間的蠕變實(shí)驗(yàn)，并提出了時(shí)間-溫度-壓力等效性理論.本文通過分析蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，推導(dǎo)出基于Abaqus線性黏彈性的Prony級(jí)數(shù)參數(shù)，據(jù)此開展有限元?jiǎng)討B(tài)分析.

圖11 Prony級(jí)數(shù)曲線與蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較Fig.11 Prony series curves compared with creep test data

大量蠕變實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在較低應(yīng)力水平和較低溫度下，松弛效應(yīng)將放緩，即松弛時(shí)間參數(shù)將變大.由于文獻(xiàn)[12]中蠕變實(shí)驗(yàn)所采用的應(yīng)力普遍低于觀察窗中主要的分布應(yīng)力，且其實(shí)驗(yàn)溫度也低于觀察窗實(shí)驗(yàn)的環(huán)境溫度，故需要適當(dāng)調(diào)整黏彈性參數(shù)，尤其是要縮短松弛時(shí)間參數(shù)，以得到與觀察窗實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較吻合的結(jié)果.

依據(jù)式(9)，在恒定泊松比下，彈性模量與切變模量、體積模量呈現(xiàn)等比例關(guān)系，所以彈性模量的Prony級(jí)數(shù)參數(shù)可以作為Abaqus中切變模量和體積模量的輸入?yún)?shù).運(yùn)用等效時(shí)長(zhǎng)法處理后，得到如表4所示的Prony級(jí)數(shù)參數(shù).據(jù)此，瞬時(shí)彈性模量E(t)滿足

(14)

式中：E0=2.76 GPa為初始時(shí)刻彈性模量.

表4 用于有限元分析的Prony級(jí)數(shù)參數(shù)Tab.4 Prony series parameters for FEM analysis

3.2.2計(jì)算結(jié)果分析 圖12為不同質(zhì)量縮放系數(shù)(ζ)下2D和3D模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比.可見，其他條件相同時(shí)，2D與3D模型的位移相當(dāng)接近.總的來說：在加載階段，各個(gè)模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好；而在保載階段，ζ= 1×104時(shí)的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值吻合得更好.

圖12 黏彈性模型顯式動(dòng)力計(jì)算位移Fig.12 Displacement of viscoelastic model using explicit dynamic FEM

3D模型相比2D模型位移偏大的可能原因：① 2D 模型的窗座采用剛體單元，而3D模型的窗座則用實(shí)體單元來模擬，窗座變形會(huì)導(dǎo)致位移偏大；② 在顯式動(dòng)力學(xué)計(jì)算中，時(shí)間差分會(huì)導(dǎo)致計(jì)算誤差，3D模型的單元數(shù)量遠(yuǎn)多于2D模型，這種誤差會(huì)更加明顯，表現(xiàn)為位移值偏大；③ 對(duì)于一個(gè)軸對(duì)稱的實(shí)體模型，即使受到軸對(duì)稱的外載荷和約束，其在不同軸截面上的有限元計(jì)算結(jié)果仍會(huì)略有差異，顯式動(dòng)力學(xué)計(jì)算尤其如此，在黏彈性效應(yīng)更明顯的保載期間，截面差異會(huì)加大這種計(jì)算誤差.

從安全性角度出發(fā)，考慮到PMMA材料非均勻等變動(dòng)因素，建議在模擬計(jì)算時(shí)預(yù)留位移冗余.因此，3D模型的計(jì)算結(jié)果雖與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有一定偏差，但在觀察窗設(shè)計(jì)中，仍然具有較高的參考價(jià)值.

4 結(jié)論

針對(duì)用傳統(tǒng)線彈性方法模擬深潛器觀察窗蠕變變形的困難，引入黏彈性本構(gòu)模型.通過 PMMA 蠕變實(shí)驗(yàn)獲取Prony級(jí)數(shù)參數(shù)并加以改進(jìn)，同時(shí)基于顯式動(dòng)力學(xué)有限元分析法，得到了與觀察窗加壓-保載實(shí)驗(yàn)較吻合的變形結(jié)果.主要結(jié)論如下：

(1)沒有倒角的觀察窗模型，局部應(yīng)力很大，易發(fā)生裂紋破壞.該處的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果難以收斂，不利于開展有限元分析.建議對(duì)觀察窗底面和側(cè)面交界處施以倒角過渡，以有效降低局部應(yīng)力.

(2)針對(duì)高應(yīng)力、逐步加壓的作業(yè)環(huán)境，PMMA在加載階段就已經(jīng)表現(xiàn)出黏彈性行為，所以有必要在整個(gè)加壓-保載過程中考慮黏彈性效應(yīng).據(jù)此進(jìn)行有限元計(jì)算分析，其結(jié)果更符合實(shí)際.

(3)本文有限元計(jì)算所采用的線性黏彈性模型還不能準(zhǔn)確地反映PMMA在不同壓力水平下的非線性黏彈性行為，后續(xù)將開展進(jìn)一步的研究.