魏艷華，王丙參，包麗莉

（天水師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 天水 741001）

國民生產(chǎn)總值（GDP）反映了某地區(qū)總體經(jīng)濟狀態(tài)，是政府制定宏觀經(jīng)濟政策的主要依據(jù).另外，GDP也常常作為預測模型的重要變量，非常重要.[1]正是因為以上原因，許多學者利用各種模型與算法對GDP進行預測，以便對國民經(jīng)濟發(fā)展提供決策依據(jù).[2-4]對GDP數(shù)據(jù)構成的時間序列進行預測，主要方法有兩類：[4]一是確定性分析，如曲線回歸、移動平均法、灰色預測法等，其結果易于解釋，但由于該類方法只利用了確定性信息，沒有利用隨機信息，故精度有限；二是隨機性分析，比如ARIMA模型、條件異方差模型，這類方法不僅利用了確定性信息，也利用了隨機信息，提高了精度，但缺點是不便于直觀解釋.本文根據(jù)甘肅省1978～2016年的GDP，分別建立了ARIMA模型與兩個殘差自回歸模型并進行比較分析，建議優(yōu)先采用利用延遲因變量建立的殘差自回歸模型進行預測，并對預測結果進行分析，對政府制定經(jīng)濟策略提供參考.

1 基于ARIMA的甘肅省GDP預測

對差分平穩(wěn)時間序列（即經(jīng)差分后會變?yōu)槠椒€(wěn)時間序列的非平穩(wěn)時間序列）可以用ARIMA模型進行擬合.[1-3]ARIMA(p,d,q)模型結構如下：

對于一個時間序列，首先要進行預處理，即平穩(wěn)性檢驗與白噪聲檢驗.平穩(wěn)性檢驗方法主要有：

（1）時序圖法.根據(jù)平穩(wěn)序列的均值和方差均為常數(shù)可知，平穩(wěn)序列的時序圖應該始終在一個常數(shù)附近隨機波動，且波動范圍有界，反之則否.

（2）自相關圖法.通常，平穩(wěn)序列有短期相關性，故其延遲k期自相關系數(shù) ρ?(k)會快速衰減向0，反之，ρ?(k)衰減向0的速度較慢.

（3）單位根檢驗.

Barlett證明[4]：對于n期純隨機觀測序列

（1）假定原假設

其中m為延遲期數(shù)；

（2）構造檢驗統(tǒng)計量

Box和 Pierce[4]推導出當統(tǒng)計量或 p值小于顯著性水平 α時，則以1-α的水平拒絕H0，即該序列不是純隨機序列.在大樣本場合，Q統(tǒng)計量的檢驗效果很好，但是在小樣本場合就效果較差，為此Box和Ljung又推導出統(tǒng)計量[4]，它適合各種場合，人們普遍使用的是LB統(tǒng)計量.注意，延遲期數(shù)m的選擇會影響LB的統(tǒng)計表現(xiàn)，通過蒙特卡羅方法可知取m≈ln(n)會有較好的功效.

下面利用ARIMA模型對甘肅省GDP進行預測.

（1）獲取甘肅省GDP觀測值序列.

從《國家統(tǒng)計年鑒》(2017)獲取甘肅省1978年至2016年的GDP數(shù)據(jù)，見圖1與SAS程序（單位：億元）.1978年之前，中國政策多變，且與改革開放后有很大差異，故1978年之前GDP數(shù)據(jù)不選用.

圖1 甘肅省GDP時序圖

根據(jù)甘肅GDP時序圖（見圖1）容易判定：1978年至2016年，甘肅省GDP整體呈上升趨勢，剛改革開放時，基數(shù)小，增長幅度也不大，從2000年以后，GDP增長很快，但最近幾年增速放緩，初步判定甘肅省GDP序列為非平穩(wěn)時間序列.特別注意，甘肅省2015年的GDP略微下降，這主要由中國當前社會經(jīng)濟大環(huán)境嚴峻以及甘肅特殊的自然與社會環(huán)境導致.另外，從GDP的自相關圖（略）也可發(fā)現(xiàn)，自相關函數(shù)緩慢衰減到2倍標準差內(nèi),這是明顯的非平穩(wěn)特征.因此，可斷定GDP序列是非平穩(wěn)時間序列.

（2）嘗試對原序列進行ARIMA建模.

經(jīng)初步嘗試，直接對原GDP序列建立ARIMA模型，效果很差（殘差序列是非白噪聲序列）.這是因為：在實踐中，很多金融時間序列（GDP以貨幣衡量，也可認為是金融時間序列）呈現(xiàn)一定異方差性質，且通常序列標準差與序列均值有某種正比關系.原序列2階差分后的時序圖（見圖2）也顯示波動隨時間而變化，且有增大趨勢，這也佐證了其異方差性.

圖2 原序列2階差分后的時序圖

將轉換函數(shù)g(xt)在序列均值 μt處進行一階泰勒展開：則

（3）利用對數(shù)序列進行ARIMA建模.

現(xiàn)對原序列進行對數(shù)變換，由對數(shù)序列時序圖（見圖3）可知，對數(shù)序列l(wèi)n xt保持了原序列的變化趨勢，且大致呈一條直線，故利用一階差分運算提取線性趨勢.由ln xt的一階差分時序圖（見圖4）可知，一階差分運算已經(jīng)成功從原序列提取了線性趨勢，差分后序列可初步認定為平穩(wěn)序列.由自相關圖可知，自相關系數(shù)快速落到2倍標準差內(nèi)，故可認為對數(shù)序列l(wèi)n xt的一階差分后序列（記為dif(ln xt)）是平穩(wěn)的.對dif(ln xt)進行白噪聲檢驗可得：延遲6階QLB統(tǒng)計量值為13.72，p值為0.0330，小于0.05，故dif(ln xt)是非白噪聲序列，有進一步分析的價值.

圖3 甘肅GDP取對數(shù)后的時序圖

圖4 對數(shù)序列的一階差分時序圖

圖5 一階差分序列的自相關圖

圖6 一階差分序列的偏自相關圖

顯然，自相關圖（見圖5）拖尾，偏自相關圖（見圖6）一階截尾，所以對序列l(wèi)n xt可建立ARIMA(1,1,0)模型.

SAS程序主體如下：

data gsgdp;

inputx@@;t=_n_;

logx=log(x);

logx1=dif(logx);

cards;

64.73 67.51 73.9 70.69 76.88

91.5 103.17 123.39 140.74 159.52

191.84 216.84 242.8 271.39 317.79

372.24 453.61 557.76 722.52 793.57

887.67 956.32 1052.88 1125.37 1232.03

1399.83 1688.49 1933.98 2277.35 2703.98

3166.82 3387.56 4120.75 5020.37 5650.2

6330.69 6836.82 6790.32 7200.37;

proc gplotdata=gsgdp;

plotx*t logx*t logx1*t;

symbol c=black i=spline v=star;

run;

proc arima data=gsgdp;

identify var=logx(1);estimate p=1;

forecast lead=3 id=tout=gsgdpjg;

run;

data gsgdpjg;

setgsgdpjg;

x=exp(logx);l95=exp(l95);u95=exp(u95);

forecast=exp(forecast);

run;

proc printdata=gsgdpjg;

var t forecast;where t＞39;

run;

部分輸出結果如下：

顯然，序列l(wèi)n xt的擬合模型為ARIMA(1,1,0)，模型為

且系數(shù)顯著性檢驗的 p值分別為＜.0001，0.0100，通過了顯著性檢驗.根據(jù)最小信息準則，本模型的AIC=-109.349，SBC=-106.074.

對于殘差序列的白噪聲檢驗，延遲6階的 p值為0.7314，顯著大于0.1，這表明：模型的殘差項中不再顯著蘊含與樣本有關的信息，即構建ARIMA(1,1,0)模型有效.

顯然，序列l(wèi)n xt未來3期的預測值分別為8.9763,9.0856,9.2013.

將其進行對數(shù)轉化后可得甘肅2017-2019年的GDP預測值為7912.90，8827.46，9910.02億元.從整體看，甘肅省GDP預測值的相對誤差控制在5%的范圍內(nèi)，預測結果較理想，擬合效果如圖7所示.

圖7 擬合效果圖

實際上，甘肅省2017年的GDP為7677.0億元，僅比上年增長3.6%，而利用ARIMA模型的預測值為7912.90億元，高估較多.這是因為，2017年復雜多變的國內(nèi)外環(huán)境和多年少有的嚴峻形勢導致了如此低的增長率，低于2016年4個百分點.這說明當前環(huán)境相對往年有較大變化，而ARIMA模型有效的前提是當前環(huán)境基本平穩(wěn).最后，希望政府能改變觀點，吸引人才，創(chuàng)造良好的商業(yè)環(huán)境，盤活經(jīng)濟.

2 基于殘差自回歸模型的甘肅省GDP預測

殘差自回歸模型既利用了確定性信息，也利用了隨機性信息，故精度高，又便于解釋，[5-8]其模型結構為：

其中Tt是趨勢效應擬合，St是季節(jié)效應擬合，εt為殘差序列.

殘差自回歸模型1：由于甘肅省GDP時序圖呈拋物線趨勢增長且沒有周期，故考慮采用時間t的冪函數(shù)作為自變量，即采用擬合趨勢效應.

SAS程序主體如下：

datagsgdp;

inputx@@;

t=_n_;t2=t**2;

cards;

數(shù)據(jù)

;

proc autoreg data=gsgdp;

modelx=t t2/dwprob;

modelx=t t2/nlag=5 backstepmethod=m lnoint;

outputout=wang p=xp pm=xtrend;

run;

部分輸出結果如下：

顯然，DW統(tǒng)計量的值為0.1760，正相關檢驗的p值＜.0001，故殘差序列顯著正相關，應對殘差建立自回歸模型.

顯然，最終擬合殘差自回歸模型為

在顯著性水平α=0.05下，模型系數(shù)都通過了顯著性檢驗.

圖8 擬合效果圖

顯然，本模型的 AIC為500.330585，SBC為506.984831.注意，此處的AIC、SBC與ARIMA模型中的AIC、SBC不能直接比較，因為它們對應的時間序列是不同的.進一步，趨勢擬合部分的R2為0.9315，整體擬合模型的R2高達0.9980，另外，擬合值的相對誤差控制在理想范圍內(nèi)，故擬合效果（見圖8）好.相對于二次曲線回歸模型，R2由0.9696提升到0.9980，最小信息量SBC由585.461638下降為506.984831，這表明殘差自回歸模型提高了預測精度.

在SAS程序數(shù)據(jù)步，將甘肅GDP數(shù)據(jù)最后三個定義為缺失數(shù)據(jù)即可進行3期預測，見表1.

表1 三期預測值

可見，甘肅省2017～2019年GDP整體預測值分別為7374.946909,7492.630553，7717.752566億元.

殘差自回歸模型2：下面建立延遲因變量回歸模型，建模思路同上，SAS程序主體為：

data gsgdp;

inputx@@;

lagx=lag(x);

cards;

數(shù)據(jù)

;

proc autoreg data=gsgdp;

modelx=lagx/dwprob;

model x=lagx/nlag=5 backstep method=ml noint;out?

putout=wang p=xp;

run;

部分輸出結果為：

最終擬合模型為：

本模型的R2為0.9972，稍微低于殘差自回歸模型1，AIC為493.612456，SBC為496.887628，這兩項指標都優(yōu)于殘差自回歸模型1，MSE為24150，大于殘差自回歸模型1.此模型可解釋為：在外界沒有突變的情況下，甘肅省GDP每年遞增8.29%，且以上期殘差的0.5305倍進行修正，即本模型具有一定的自我修正功能.自我修正就是統(tǒng)計學習，其目的是使學到的模型對已知數(shù)據(jù)與未知數(shù)據(jù)都具有較好的預測功能，從而使模型更能適應外界的變化.進一步可得，一期預測值為7716.0051895億元.

3 結 論

采用共同標準可對三個模型進行直接比較，如果以MSE為標準，由于取對數(shù)后建立ARIMA模型（簡稱取對數(shù)ARIMA模型）的MSE為27992，最大，所以對于本文建立的三個模型，對數(shù)ARIMA模型的效果最差，殘差自回歸模型1最優(yōu).但是，對于2017年GDP的真實值而言，殘差自回歸模型2預測值的誤差最小，僅僅高估39億元，且模型便于直觀解釋，而殘差自回歸模型1預測值的誤差最大，低估303億元.從模型的復雜度而言，對數(shù)ARIMA模型經(jīng)多對數(shù)運算與差分運算后，采用了3個變量，殘差自回歸模型1直接采用了5個變量，而殘差自回歸模型2僅僅采用了3個變量，故殘差自回歸模型2最簡單.在所有可選擇的模型中，能夠解釋已知數(shù)據(jù)且非常簡單的模型才是好模型，故優(yōu)先選擇殘差自回歸模型2.另外，最近幾年，國內(nèi)外環(huán)境變化很大，中國GDP增速放緩，個別省份在某些年份甚至出現(xiàn)負增長，這也導致利用延遲變量建立的殘差自回歸模型更有效，即殘差自回歸模型2的適應性強，因此，在外界環(huán)境變化較大情況下，其預測精度可能更高.綜上所述，對甘肅省GDP進行預測，可優(yōu)先選用殘差自回歸模型2，因為它更能適合外界環(huán)境的變化.

ARIMA模型利用差分提取確定性信息，并對隨機信息建立ARMA模型，提高了估計精度，但不便于經(jīng)濟解釋.殘差自回歸模型結合了確定性分析與隨機性分析的優(yōu)點，精度較高，且經(jīng)濟意義直觀.另外，延遲1階因變量的自回歸模型與AR（1）模型是不同的，AR(1)模型只能對平穩(wěn)序列建模，而前者既可以對平穩(wěn)序列建模，也可以對非平穩(wěn)序列建模，適用面更廣.