彭聰明，馬草川，高忠社

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 天水 741001）

1 引言和預(yù)備知識

Schr?dinger方程是量子力學(xué)中的基本方程，近50年來已經(jīng)被眾多數(shù)學(xué)工作者進(jìn)行了深入的研究.對于經(jīng)典Schr?dinger方程，人們一般是在稱為能量空間的空間中進(jìn)行研究，更一般的，也可以在空間中進(jìn)行研究.這種空間的一般性質(zhì)是它們是基于空間的，而基于空間的優(yōu)點(diǎn)是線性群在空間中是有界的.經(jīng)典Schr?dinger方程解的適定性問題一般可分為兩步來處理，第一步，是對問題所對應(yīng)的積分方程利用壓縮映像原理來證明解的局部存在唯一性.在時間區(qū)間上的局部解是積分方程在函數(shù)空間中的一個閉球上壓縮映像的不動點(diǎn).基本的工具是著名的Strichartz估計，利用該估計可知當(dāng)時間取得足夠小時，相應(yīng)的壓縮因子可以充分小.第二步，是利用解的先驗估計將解的存在時間進(jìn)行延拓，這些先驗估計大都和質(zhì)量及能量守恒有關(guān).而一般情況下質(zhì)量守恒及能量守恒的證明都和解的正則性有關(guān)，具體來說，一般有兩種證法.其一，是基于解對初值的連續(xù)依賴性，利用Hj+1解逼近Hj解（其中 j=0,1），使得形式上的計算可以通過逼近序列證明.其二,是基于一個正則化了的方程序列進(jìn)行逼近，而該正則化了的方程具有形式計算所需要的正則性，最后再通過一個極限過程得到質(zhì)量守恒和能量守恒.在文獻(xiàn)[5]中，Ozawa沒有借助逼近過程，直接證明了經(jīng)典Schr?dinger方程解的質(zhì)量守恒和能量守恒，只用到了算子在Hilbert空間中的自反性.

分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程

受這些文獻(xiàn)的啟發(fā)，我們利用文獻(xiàn)[5]的方法，不借助于解的逼近，直接利用方程解的積分形式證明質(zhì)量及其能量守恒.

2 主要結(jié)果

首先假設(shè)非線性項 f(u)滿足條件：

方程(1)所對應(yīng)的積分形式解，即Duhamel公式為：

定義數(shù)對(q,r)稱為允許對當(dāng)且僅當(dāng)

下面我們回顧分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程的Strich?artz估計.設(shè)，定義Strichartz范數(shù)如下

其中(q,r)為允許對.本文中用如下的Strichartz估計：

（1）解的質(zhì)量及能量守恒.

定理1若 f滿足條件1)-3)，設(shè)，則對任意，則

證明重寫Duhamel公式如下：

利用自由分?jǐn)?shù)階Schr?dinger算子的性質(zhì)，我們有

(2)式中間項等于

而最后一項等于

這里用到了非線性項應(yīng)該滿足的條件，故質(zhì)量中的后兩項將會抵消，定理得證.

定理2設(shè) f滿足條件1)-3)，為問題的解，其中(q,r)為允許對.則對任意 t∈(-T,T)，則

證明重寫Duhamel公式如下：

利用自由分?jǐn)?shù)階Schr?dinger算子的性質(zhì)，我們有

其中(3)式的來源如下：

故定理得證.