丁永宏

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 天水 741001）

1 預(yù)備知識

設(shè)E為有序Banach空間，考慮如下帶周期邊界條件的分?jǐn)?shù)階積微分發(fā)展方程

其中 J=[0,ω],Dα是Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，0＜α＜1,-A是C0-半群T(t)(t≥0)的無窮小生成元，f∈C(J×E×E,E),是一個Volterra積分算子，其積分核

分?jǐn)?shù)階微分方程理論是近年來的一個熱點研究問題，因其廣泛的應(yīng)用背景而被人們關(guān)注.在一些領(lǐng)域，含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的微分方程甚至比整數(shù)階的微分方程更具有現(xiàn)實意義，因此，已有很多學(xué)者研究了分?jǐn)?shù)階微分方程解的性質(zhì)，獲得了許多有意義的結(jié)論，參見文獻(xiàn)[1-4].然而，對于分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程，只有少數(shù)學(xué)者對其做過研究，見文獻(xiàn)[5]，[6].本文在現(xiàn)有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，討論問題(1)mild解的存在性.下面給出一些本文用到的記號，定義和引理.

設(shè)E為有序Banach空間，其正元錐

為正規(guī)錐,C(J,E)表示定義于J取值于E的連續(xù)函數(shù)空間，其范數(shù)為正元錐

顯然，PC也是正規(guī)錐.對于w,v∈C(J,E),且 v≤w,記[v,w]表示C(J,E)上的序區(qū)間

[v(t),w(t)]表示E上的序區(qū)間

記E1為D(A)按圖像范數(shù)構(gòu)成的Banach空間.設(shè)

有關(guān)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及性質(zhì)，參見文獻(xiàn)[1].下面給出問題（1）上下解的定義.

則v稱是問題(1)的下解；如果上式中的不等號都相反，則稱v是(1)的上解.

設(shè) T(t)(t≥0)是 C0-半群，u∈E,定義算子如下：

其中 ζα(θ)是定義在 (0,+∞)上的概率密度函數(shù),具有下列性質(zhì):

引理1.1[5]算子滿足下列性質(zhì):

設(shè)h∈C(J,E),對于線性周期邊值問題

有如下結(jié)論成立：

引理1.2[6]設(shè)E為有序Banach空間，其正元錐P正規(guī).如果T(t)(t≥0)是指數(shù)穩(wěn)定的C0-半群，則問題（3）有唯一mild解.

其中

Q:C(J,E)→C(J,E)為線性有界算子.

注1.1根據(jù)文獻(xiàn)[6]中的引理2.14，有有界逆算子.

2 主要結(jié)論

定理2.1設(shè)E為有序Banach空間，其正元錐P正規(guī)，f∈C(J×E×E,E).假設(shè)-A生成正的緊C0-半群T(t)(t≥0).v0,w0分別是問題(1)的下解與上解，滿足 v0≤w0.如果 f滿足條件(H)存在常數(shù)C＞0,對有

則問題(1)在v0和w0之間存在極小mild解與極大mild解.

證明問題(1)等價于

其中C由條件(H)給出.-(A+CI)生成C0-半群，則 S(t)指數(shù)穩(wěn)定.對任意的h∈C(J,E),令

則F:C(J,E)→C(J,E)連續(xù)，根據(jù)引理1.2，下面的線性周期邊值問題

對于I1,因為T(t)是緊算子，所以,T(t)等度連續(xù)，故S(t)也等度連續(xù).根據(jù)引理1.1(iv),

由條件(H)及錐P的正規(guī)性，存在M0使得

因此，根據(jù)引理(1.1)及(4)式,

成立.所以，

因此,

所以,

則根據(jù)Q1的單調(diào)性可得,

在E中相對緊.進(jìn)一步，對于每一個u∈D,根據(jù)(4)式，易得

因此，存在一族相對緊集任意趨近于集合Y(t)={W(u)(t):u∈D}，所以Y(t)在E中也是相對緊集.特別的，Y(ω)相對緊，根據(jù)注(1.1),

為相對緊集.

在(5)式中令n→∞,則

根據(jù)Q1的單調(diào)性，易證

此外，進(jìn)一步，有

3 應(yīng)用舉例

例3.1考慮如下分?jǐn)?shù)階拋物型偏微分方程周期邊值問題

定義E中的算子A如下：

則E為Banach空間，P為E中的正規(guī)錐，且-A生成一個緊的，解析的正C0-半群T(t)(t≥0)，令

容易驗證v0=-sin(πx),w0=sin(πx)為上述邊值問題的一對上下解，且 f滿足定理2.1中的條件(H)，所以，根據(jù)定理2.1，上述分?jǐn)?shù)階拋物型偏微分方程周期邊值問題存在極小mild解與極大mild解.