■廣東省廣州市第二中學(xué) 李 超

復(fù)數(shù)在高考中屬于必考內(nèi)容,主要考查：(1)復(fù)數(shù)的基本概念與四則運(yùn)算;(2)復(fù)數(shù)模的計(jì)算;(3)復(fù)數(shù)的幾何意義。其中蘊(yùn)含很多數(shù)學(xué)思想,現(xiàn)歸納幾種常見的數(shù)學(xué)思想。

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)解題策略,它是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決問題的一種重要思想方法,也是一種智慧的解題技巧。它的特點(diǎn)：由數(shù)思形;由形助數(shù);數(shù)形結(jié)合。因?yàn)閺?fù)數(shù)可用代數(shù)形式或者幾何形式表示,所以復(fù)數(shù)的各種運(yùn)算具有了幾何意義。同學(xué)們?nèi)绻莒`活地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,就可以使問題直觀、快捷地得到解決。

例1設(shè)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z1=2-2i,當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足|z|=1時(shí),求|z-z1|的最大值和最小值。

圖1

評注：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題通常要利用復(fù)數(shù)的幾何意義。

二、分類討論思想

分類討論是指按照一定的標(biāo)準(zhǔn),將研究對象合理地分成幾個(gè)部分或幾種情況,然后逐類進(jìn)行討論,最后總結(jié)各類結(jié)果的解法。

例2設(shè)方程x2-2x+m=0的根分別為x1,x2,且|x1-x2|=2,求實(shí)數(shù)m的值。

解析：(1)當(dāng)Δ=4-4m≥0(m≤1)時(shí),即x1∈R,x2∈R。

因?yàn)閨x1-x2|=2,所以|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=8,解得m=-1。

(2)當(dāng)Δ=4-4m＜0(m＞1)時(shí),即x1,x2為共軛復(fù)數(shù)。

《規(guī)劃》力求從五個(gè)方面夯實(shí)農(nóng)墾振興的基石：一是在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)上實(shí)現(xiàn)由追求數(shù)量到講究質(zhì)量的轉(zhuǎn)變，著眼于發(fā)展綠色、生態(tài)、有機(jī)、優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品；二是實(shí)現(xiàn)多業(yè)態(tài)融合發(fā)展，堅(jiān)持農(nóng)業(yè)種養(yǎng)結(jié)合、農(nóng)業(yè)服務(wù)與農(nóng)產(chǎn)品精深加工結(jié)合、農(nóng)旅結(jié)合，實(shí)現(xiàn)一二三產(chǎn)融合發(fā)展；三是以項(xiàng)目為抓手，加大投入力度，實(shí)施項(xiàng)目帶動(dòng)產(chǎn)業(yè)發(fā)展；四是在體制機(jī)制上進(jìn)一步推進(jìn)集團(tuán)化改革，增強(qiáng)企業(yè)內(nèi)生動(dòng)力，實(shí)現(xiàn)集團(tuán)由管理型向服務(wù)型轉(zhuǎn)變；五是爭取政府的支持，與安徽省鄉(xiāng)村振興規(guī)劃相對接，搶抓發(fā)展機(jī)遇，確保農(nóng)墾與地方平等享受國家普惠政策。

解得m=3

綜上,實(shí)數(shù)m的值為-1或3。

評注：注意審題,掌握在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程的求解方法,以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵。

三、方程思想

方程思想就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或構(gòu)造方程,通過解方程(組),或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題獲得解決。

例3(江蘇卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i(z+1)=-3+2i(i為虛數(shù)單位),則z的實(shí)部是__。

解析：解法1：令z=a+bi(a,b∈R)。

由i(z+1)=-3+2i得i[(a+1)+bi]=-b+(a+1)i=-3+2i。

故a=1,b=3,z的實(shí)部是1。

評注：比較兩種解法,顯然解法2更為簡捷,一般地,若方程同時(shí)含有z和,則可用復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)化的策略求解。

四、整體思想

整體處理是數(shù)學(xué)解題中的重要思想,在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的過程中,要善于研究問題的整體形式及結(jié)構(gòu),靈活運(yùn)用整體處理的方法,這樣就能化繁為簡,化難為易,從而達(dá)到迅速求解的目的。

例4(新課標(biāo)全國Ⅰ卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i(i為虛數(shù)單位),則|z|等于( )。

解析：由已知=i,可得z=選A。

評注：把復(fù)數(shù)z看成一個(gè)整體,當(dāng)作未知量,根據(jù)方程思想,從而得到z,這也是這類問題的一般解題思路。

五、轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是處理問題時(shí),將問題通過某種轉(zhuǎn)化過程,歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題,從而使問題易于獲解。

例5(山東卷)復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為( )。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限。故選D。

評注：本題主要考查復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算,體現(xiàn)了復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化的轉(zhuǎn)化思想。