盧桂林，鐘浩源，譚鋁平，翟若迅，白在橋

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系,北京 100875)

在物理教學(xué)中，水波經(jīng)常被用來演示一般的波動規(guī)律，比如波的干涉和衍射. 水波的定量測量比較復(fù)雜[1-4]，一般需要水槽和造波裝置[5-6]. 本文提出簡便的水波駐波觀察和測量方法：將透明亞克力平板切割成一定形狀和尺寸的承液板，把液體鋪在承液板上，在表面張力作用下形成1層液膜，將驅(qū)動承液板放置在振動臺上，使之上下微幅振動. 在合適的驅(qū)動頻率下，液膜表面可形成穩(wěn)定的駐波圖樣. 由于沒有水槽壁的摩擦，波在液膜邊界的反射系數(shù)更高，產(chǎn)生的駐波圖樣更完整、清晰. 該方法既可以演示不同形狀液膜的駐波圖樣，也可以定量測量液體毛細波的色散關(guān)系，進而得到液體的表面張力系數(shù).

1 理論分析

1.1 水波的色散關(guān)系

水波的回復(fù)力包括重力和表面張力，水波的波速與波長和水深都有關(guān)系. 水波振幅比較小時，忽略高階效應(yīng)，線性水波的色散關(guān)系為

(1)

其中，ω為角頻率，k為波數(shù)，g,σ,ρ,h分別為重力加速度、液體表面張力系數(shù)、液體密度和液體深度. (1)式的推導(dǎo)可參見文獻[7].

1.2 駐波圖樣

用前述的方法得到的水膜厚度約為3 mm，而平板的尺度在10 cm，因此除了弧形的邊緣部分，水膜可認為厚度均勻. 液膜上駐波圖案對應(yīng)于水波方程在給定邊界條件下的本征函數(shù). 但邊界條件的數(shù)學(xué)形式并不容易確定，精確的駐波形式不易計算. 不過駐波產(chǎn)生的機制并不復(fù)雜：水波在液膜邊界反射改變方向，不同行進方向的行波疊加而形成駐波. 對于幾種簡單形狀的液膜，可以結(jié)合實驗現(xiàn)象寫出其駐波形式. 對于正方形水膜，駐波形式為

u(x,y,t)=C[cos (kx)+cos (ky)]cos (ωt).

(2)

對于正三角形或正六邊形水膜，駐波形式為

(3)

其中(ki,qi)=k[cos (iπ/3),sin (iπ/3)]，C為常量. 這里ω和k滿足色散關(guān)系(1)式，而且只能取由液膜形狀確定的離散值.

為便于理解，用Matlab畫出2種駐波圖樣，見圖1和圖2. 圖中黃色代表波峰，藍色代表波谷，隨時間推移，波峰和波谷位置周期性互換.

圖1 正方形水膜上的駐波圖樣

(a)t=0

(b)t=π圖2 正三角形和正六邊形水膜上的駐波圖樣

需要指出的是，對于正方形水膜上的駐波，峰值點和谷值點各形成正方點陣，每套點陣相差1個平移，空間周期都是λ=2π/k. 而正三角形或正六邊形水膜上的駐波圖樣則不然，峰值和谷值形成的點陣形狀并不相同，分別為正三角形點陣和類似蜂窩狀網(wǎng)格.

1.3 駐波成像

由于液體透明而且駐波的振幅很小，不便于直接觀察. 1束平行光透過液膜，液膜表面波可以看成若干凸透鏡(波峰)與凹透鏡(波谷)的組合，其中凸透鏡可以使光束會聚，在觀察屏上形成亮點或亮線(見圖3).

圖3 水波波峰成像示意圖

假設(shè)液膜按(2)式振動. 當cos (ωt)=1時，振幅達到最大，此時原點處有1個峰值. 當x,y趨于0時，

其中n=1.33為水的折射率. 若fmin=16 cm，代入實驗的典型值k=1 000 m-1，得到振幅2c=0.038 mm，遠小于液膜厚度.

2 實驗裝置和實驗方法

2.1 實驗裝置

實驗裝置包括振動臺、液膜和投影光路3部分，實物圖和示意圖分別見圖4和圖5.

由于實驗需要的振幅很小，選用4個4寸低音揚聲器作為振動源. 用1塊挖去4個圓孔的平板將揚聲器的相對位置固定，并放置在裝有調(diào)平地腳的平臺上. 信號發(fā)生器輸出正弦波，經(jīng)功率放大器后串聯(lián)通過4個揚聲器，保證它們同步振動. 將邊長16 cm的正方體支架的4個腳分別放在4個揚聲器的振膜上. 平臺和支架均由透明亞克力板切割粘接制成.

承液板用透明亞克力板切割而成. 雖然液膜的厚度不能調(diào)節(jié)，但由于激光切割的便利性，水膜的形狀和尺寸很容易改變，方便研究邊界形狀對液膜駐波圖樣的影響. 將承液板放在正方體支架的上表面. 支架內(nèi)部放置傾斜角為45°的平面反射鏡. 支架前表面粘1張硫酸紙作為投影屏，如圖5所示.

圖4 實驗裝置實物圖

圖5 實驗裝置示意圖

實驗用激光做投影光源. 激光經(jīng)擴束和平面鏡反射后從正上方垂直照射到液膜上，然后經(jīng)過正方體支架內(nèi)部的反射鏡，投射在屏上. 屏到液膜的光路約為16 cm. 由于視覺暫留現(xiàn)象，如果保持光源常亮，人眼看到的圖案是不同振動相位的疊加效果. 為了克服視覺暫留，實驗采用的激光器有輸出調(diào)制功能. 采用與振動信號同頻率而且相位差和寬度都可調(diào)的脈沖信號調(diào)制激光輸出，可以觀察到特定相位的駐波圖案，同時也提高了顯示圖像的對比度.

2.2 實驗方法

在完成水平調(diào)節(jié)以及液膜準備之后，操作步驟為：

1)保持光源常亮，調(diào)節(jié)振動臺驅(qū)動信號頻率，找到液膜共振頻率，調(diào)節(jié)驅(qū)動振幅，使投影屏上的圖案盡量清晰.

2)將光源調(diào)制信號頻率調(diào)至振動臺頻率，調(diào)節(jié)相位延遲與脈沖寬度，觀察液膜振幅最大時刻對應(yīng)的駐波圖樣，完成需要的測量.

重復(fù)步驟1)和2)，完成一系列共振模式的觀察和測量.

為了實驗方便，并提高測量精確度，利用攝像頭采集圖像，并用LabVIEW編寫控制和測量程序. 圖6為LabVIEW程序的前面板，主要分為5個區(qū)域：Ⅰ區(qū)為攝像頭采集到的成像圖，由于使用激光的波長為532 nm，程序做了簡單的圖像處理，只顯示綠色分量，這樣可以濾除環(huán)境雜光. Ⅱ區(qū)為控制部分，通過VISA控制信號發(fā)生器，調(diào)節(jié)振源頻率、振幅、振源與光源調(diào)制信號的頻率差、調(diào)制信號的相位和占空比. Ⅲ區(qū)控制圖像的測量區(qū)域，在采集圖像的特定位置選取矩形區(qū)域. 程序?qū)⑺x區(qū)域的光強按垂直方向求和，得到一維光強分布. 然后對數(shù)據(jù)進行低通濾波(相當于長時間取平均)，結(jié)果在Ⅳ區(qū)用圖形顯示，圖中每個峰值代表Ⅰ中矩形框中的1條亮線. 圖形顯示控件有若干光標，左右移動可以對峰值定位. 光標位置坐標在Ⅴ區(qū)顯示.

圖6 控制測量前面板

在做圖像測量之前需要進行長度定標. 定標采用圖7所示的定標板，由多條平行的透光縫組成，縫間距為5 mm. 將定標板放液膜的位置，測量圖像中亮條紋的位置，定出標度系數(shù).

圖7 定標狹縫板

3 結(jié)果與分析

3.1 駐波演示

圖8為不加光源調(diào)制時一些液膜上的駐波投影圖，其中正方形板得到正方形網(wǎng)格，圓形板得到同心圓圈，三角形和六邊形板均得到正六邊形蜂窩狀網(wǎng)格加中心亮點圖案.

(a)正方形板 (b)圓形板

(c)六邊形板 (d)三角形板圖8 未經(jīng)激光調(diào)制的成像圖

用與振源同頻率、占空比為10%的脈沖調(diào)制光源輸出，在合適的相位差下，得到清晰的駐波圖案，結(jié)果見圖9. 與不加調(diào)制的圖像相比，調(diào)制后的圖案更清晰、對比度更高. 圖9(a)和9(b)中亮線數(shù)目減半. 圖9(c)和9(d)中，正三角形和正六邊形板的圖案由圖8(c)和8(d)分裂為六邊形蜂窩狀網(wǎng)格和三角形格點2套圖案，這與Matlab模擬結(jié)果一致.

(a)正方形板 (b)圓形板

(c)六邊形板

(d)三角形板圖9 經(jīng)激光調(diào)制的成像圖

3.2 駐波波長測量

使用正方形液膜，調(diào)節(jié)振源頻率得到一系列共振，記錄信號發(fā)生器頻率f，并從對應(yīng)駐波圖案中測出波長λ(定標系數(shù)為0.087 3 mm/pixel). 自來水和肥皂水的測量結(jié)果見表1.

表1 水波的頻率與波長

用ω2-gk與k做雙對數(shù)圖，擬合結(jié)果見圖11. 自來水數(shù)據(jù)的斜率為3.03，肥皂水數(shù)據(jù)的斜率為3.38， 斜率與理論值基本符合. 自來水的數(shù)據(jù)與理論更符合，這可能是肥皂水表面張力系數(shù)小，低頻時容易引起非線性效應(yīng)造成的.

圖10 自來水和肥皂水的色散曲線

圖11 ln (ω2-gk)與lnk的關(guān)系

4 結(jié)束語

直接觀察鋪在透明亞克力板上的水膜(相當于1顆扁平的大水滴)上的駐波，通過光學(xué)方法將駐波圖樣投影在屏幕上，可以演示不同的駐波圖案，并且可以測量毛細波的色散關(guān)系. 承液板容易加工成不同的形狀與尺寸，方便進行設(shè)計性實驗，探究液膜邊界對波動的影響. 通過光源調(diào)制，可顯示不同時刻的駐波圖樣. 基于圖像的測量系統(tǒng)，操作簡便而且結(jié)果比較準確. 與克拉尼圖形實驗相互參照，該裝置可用來演示二維駐波，也可以作為液體表面張力系數(shù)的測量裝置，引入大學(xué)物理實驗教學(xué).