韓淑萍 邵 虹

比是一個重要的數(shù)學(xué)概念，而學(xué)生理解比的意義往往比較困難。教材呈現(xiàn)了豐富的生活情境，通過解決“長方形的長與寬之間有什么關(guān)系？”的數(shù)學(xué)問題，揭示可以用長與寬這兩個數(shù)的比刻畫長方形的形狀特征，由此引出同類量的比。教材又通過飛船運行路程與時間的比較，引出非同類量的比，從而抽象出比的意義：兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除。掌握比的概念和意義，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓周率、百分?jǐn)?shù)、統(tǒng)計以及比例奠定基礎(chǔ)。此外，比和分?jǐn)?shù)、除法有密切的聯(lián)系，兩個整數(shù)相除（除數(shù)不等于0）可以用分?jǐn)?shù)表示它們的商，也可以用兩個數(shù)的比表示，兩個數(shù)的比又可以用分?jǐn)?shù)的形式呈現(xiàn)。因此，借助比的認(rèn)識，發(fā)展學(xué)生對分?jǐn)?shù)和除法的認(rèn)識，溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，能從量與量的關(guān)系角度認(rèn)識比，提高學(xué)生靈活運用知識解決問題的能力。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，體會學(xué)習(xí)“比”的必要性

1.博物館要選五名志愿者當(dāng)解說員，根據(jù)組委會的要求，每一位志愿者需要交五張大小不同的照片。淘氣同學(xué)上交了五張照片，結(jié)果有兩張照片被退回，導(dǎo)致他沒能實現(xiàn)當(dāng)志愿者的愿望，究竟是什么原因呢？（課件出示五張照片）

師：哪幾張照片被退回？又是哪幾張照片與A比較像？

生：照片C 太扁了，照片E 變窄了，照片B、D和A 比較像。

師：這僅僅是我們觀察得出來的結(jié)論，有時并不能說明問題的本質(zhì)，同學(xué)們能用數(shù)學(xué)的知識來解釋照片B、D 和A 比較像的秘密嗎？

生：需要這些照片的長、寬的數(shù)據(jù)。

師：得到這些長方形的長和寬，有什么意義呢？

生：我們可以求它們之間的倍數(shù)關(guān)系。

師：看來，這些照片像不像，與每張照片的長、寬之間的“關(guān)系”有密切的聯(lián)系。這種研究的方法非常有價值！

2.把這五張照片搬到方格紙上來研究（每個小方格的邊長為1 厘米），出示方格圖：

師：這些照片都是長方形，它們的長和寬之間有什么關(guān)系？邊觀察、邊測量，并將研究結(jié)果填寫在表格中。（學(xué)生同桌兩人為一組，對照片A、B、C、D、E的長與寬分別進(jìn)行測量與計算，填寫表格并匯報）

照片（長方形） 長 寬 長是寬的幾倍 寬是長的幾分之幾A 6 4 6÷4=1.5 4÷6=2 3 B 3 2 3÷2=1.5 2÷3=2 3 C 8 3 8÷3≈2.7 3÷8=3 8 D 12 8 12÷8=1.5 8÷12=2 3 E 12 2 12÷2=6 2÷12=1 6

師：現(xiàn)在請大家仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：照片A、B、D 中，雖然長和寬的長度各不相同，但是長除以寬都是1.5 倍。反過來，寬都是長的

生：我知道照片C、E 和照片A 不像的原因了。它們的長除以寬得到的倍數(shù)都不一樣，沒有按比例放大或者縮小。

師：同學(xué)們說得非常棒！A、B、D 三張照片之所以像是因為各自的長都是寬的1.5 倍，寬都是長的看來照片像不像與它們長寬之間的倍數(shù)關(guān)系有關(guān)。

【評析：比的概念比較抽象，如何讓學(xué)生理解概念并認(rèn)同概念產(chǎn)生的價值呢？教師首先創(chuàng)設(shè)“淘氣同學(xué)落選原因探究”的生活情境，通過比較照片像不像的活動，引導(dǎo)學(xué)生把對比的關(guān)注點落到對長方形長和寬兩個量上。當(dāng)學(xué)生模糊地感覺到需要知道照片的長、寬數(shù)據(jù)時，教師又因勢利導(dǎo)借助方格紙測量并探究長與寬之間的倍數(shù)關(guān)系。在對兩個量關(guān)系描述的基礎(chǔ)上，認(rèn)可比的價值，認(rèn)識到學(xué)習(xí)比的必要性。教師設(shè)計的表格，不僅呈現(xiàn)了像與不像兩類照片的長、寬關(guān)系，還從“長是寬的幾倍”“寬是長的幾分之幾”兩個維度進(jìn)行關(guān)系比較，為后面探究比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系奠定基礎(chǔ)?！?/p>

二、聚焦本質(zhì)，理解比的意義

1.理解同類量的比。

師：“長是寬的幾倍？寬是長的幾分之幾？”都是用來表示兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系，有時我們也把兩個數(shù)量之間的關(guān)系說成：長和寬的比是6∶4，寬與長的比是4∶6。其實在人體上存在很多這樣的倍數(shù)關(guān)系：

（1）成年人的頭長與身長的比約是1∶7。

（2）兩手平伸的長度和自己身高的比約是1∶1。

（3）握緊拳頭，繞拳頭一周的長和自己腳長的比約是1:1。

（4）人的心臟大小與拳頭大小的比約是1∶1。

（5）成年人腿長與頭長的比約是4∶1。

（6）成年男子的肩寬與頭長的比約是2∶1。

【評析：比表示的是兩個數(shù)之間的關(guān)系，而數(shù)量之間的關(guān)系有很多，比表示的是怎樣一種關(guān)系呢？教師這樣的設(shè)計尊重了比這一概念的形成和發(fā)展。比的概念是由比較兩個同類量之間的倍數(shù)關(guān)系而產(chǎn)生，而后再推廣到兩個不同類量的比。因此，初學(xué)比的概念時，借助于生活常識和已有知識基礎(chǔ)，從固定的倍數(shù)關(guān)系引出，體現(xiàn)了比的發(fā)展過程，為學(xué)生理解比的意義提供了強(qiáng)有力的支持?！?/p>

2.理解非同類量的比。

馬拉松比賽，李明跑40 千米用了2 小時，陳浩用3 小時跑了45 千米。

師：能用比來說一說它們之間的關(guān)系嗎？生：李明和陳浩跑的路程比是40∶45。

生：李明和陳浩跑的時間比是2∶3。

師：誰跑得更快呢？

生：可以用路程除以時間，比較他們的速度。

生：李明的速度為40÷2=20（千米/時），陳浩的速度為45÷3=15（千米/時），所以李明速度更快一些。

師：除了可以用“路程÷時間”來表示速度，我們也可以用比來表示路程和時間的關(guān)系：李明路程和時間的比是40∶2，陳浩路程和時間的比是45∶3。

【評析：比既可以表示同類量的關(guān)系，也可以表示非同類量之間的關(guān)系。如何溝通兩者間的內(nèi)在聯(lián)系，將知識的發(fā)生、發(fā)展梳理成連貫的脈絡(luò)呢？教師巧妙地設(shè)計了一個行程問題，分別呈現(xiàn)路程、時間、比誰更快等信息和問題，將同類量的比拓展成非同類量的比。讓學(xué)生意識到用比不僅可以表示李明和陳浩的路程比和時間比，還可以表示出路程與時間的比。由此，學(xué)生對比的意義理解更深刻與全面?！?/p>

3.認(rèn)識比及各部分的名稱。

師：什么叫做比？請自學(xué)課本48、49 頁有關(guān)比的知識。

（1）出示自學(xué)提綱。

①什么叫做比？②比的讀法和寫法。③比各部分的名稱叫什么？④怎樣求比值？

（學(xué)生匯報比的意義，教師板書：兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。分析關(guān)鍵詞：相除、比）

師：能舉一個例子嗎？

生：6÷4 就可以寫成6∶4。

（2）選擇幾個表格中的除法算式，改寫成比的形式，并說一說前項、后項和比值。

照片（長方形） 長 寬 長是寬的幾倍 寬是長的幾分之幾A 6 4 6∶4=6÷4=1.5 4∶6=4÷6=2 3 B 3 2 3∶2=3÷2=1.5 2∶3=2÷3=2 3 C 8 3 8∶3=8÷3≈2.7 3∶8=3÷8=3 8 D 12 8 12∶8=12÷8=1.5 8∶12=8÷12=2 3 E 12 2 12∶2=12÷2=6 2∶12=2÷12=1 6

比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)或整數(shù)表示。

師：6∶4=1.5，3∶2=1.5，12∶8=1.5，看來比還有這樣的特點，前項和后項可以不斷發(fā)生變化，但是倍數(shù)關(guān)系不變，這就是照片A、B、D 相似的原因了吧。

（3）小知識：“∶”號的由來。

師：比號的來源有一個故事，大家來了解一下。

萊布尼茨是數(shù)學(xué)史上最偉大的符號學(xué)者之一，堪稱符號大師。他認(rèn)為，因為兩個數(shù)相除又叫做這兩個數(shù)的比，所以比號和除號有一種親緣關(guān)系。而比號與除號又不能共用，所以把“÷”中的小橫線去掉，于是“∶”就成了比號。

【評析：在教學(xué)了可以用比來表示兩個同類量和非同類量的基礎(chǔ)上，直接抽象出比的意義：兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除。這一意義是認(rèn)識比各部分的名稱、求比值的直接保證。對于正確認(rèn)、讀、寫比和認(rèn)識各部分名稱的內(nèi)容，教師采用了自學(xué)課本的方式，在引導(dǎo)學(xué)生改寫表格中的除法算式時，滲透了比與分?jǐn)?shù)和除法之間的內(nèi)在聯(lián)系?！?/p>

三、探索發(fā)現(xiàn)，比與除法、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。

1.比、除法、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系。

師：通過學(xué)習(xí)，我們了解了比和除法有一種親緣關(guān)系，比也可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，那它們究竟有怎樣的聯(lián)系呢？同桌互相交流。

生：比的前項相當(dāng)于除法中的被除數(shù)，比號相當(dāng)于除號，比的后項相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商。

生：比的前項相當(dāng)于分子，比號相當(dāng)于分?jǐn)?shù)線，比的后項相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值。

2.比、除法、分?jǐn)?shù)之間的區(qū)別。

師：既然比與除法、比與分?jǐn)?shù)有這么多的“相當(dāng)于”，那為什么有了除法還需要學(xué)習(xí)比呢？比和除法有什么區(qū)別？為什么有了分?jǐn)?shù)還需要學(xué)習(xí)比呢？比和分?jǐn)?shù)又有什么區(qū)別？

師生共同交流、討論后得出：除法側(cè)重于一種運算，分?jǐn)?shù)強(qiáng)調(diào)結(jié)果。比相比除法更側(cè)重兩個量之間的關(guān)系；比相比分?jǐn)?shù)既可以用前項、后項的形式又可以用分?jǐn)?shù)的形式，更靈活多變一些。

根據(jù)交流結(jié)果，整理成一張表格呈現(xiàn)。

比（表示兩個數(shù)的相除關(guān)系） 除法（一種運算） 分?jǐn)?shù)（一種數(shù)）前項 被除數(shù) 分子（∶）比號 （÷）除號 （ ）分?jǐn)?shù)線后項 除數(shù) 分母比值 商 分?jǐn)?shù)值

【評析：比、除法與分?jǐn)?shù)三者之間的關(guān)系，學(xué)生應(yīng)該認(rèn)識到什么程度？如果是外在的“相當(dāng)于”聯(lián)系，我們認(rèn)為即使教師不刻意教學(xué)，學(xué)生也會達(dá)成。因此，追問三者的區(qū)別就是本環(huán)節(jié)的核心所在。這個環(huán)節(jié)的設(shè)計，教師聚焦概念的本質(zhì)，從意義上讓學(xué)生區(qū)別體會：分?jǐn)?shù)、除法和比都可以表示相除的關(guān)系，但是分?jǐn)?shù)強(qiáng)調(diào)結(jié)果，除法側(cè)重運算，而比既可以用“幾比幾”的形式表示兩個量之間的關(guān)系，還可以根據(jù)需要用比值表示比較的結(jié)果。在本設(shè)計中，教師將三者之間的關(guān)系滲透在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)。如，引入部分用三種形式比較照片長、寬的倍數(shù)關(guān)系，認(rèn)識比、各部分名稱及求比值的教學(xué)中讓學(xué)生自然感悟到比能簡潔、直觀地反映兩個量的倍數(shù)關(guān)系。】

四、拓展辨析，促進(jìn)知識理解

1.有A、B、C 三個質(zhì)量完全相同的蘋果攤位，哪個攤位的便宜呢？用今天學(xué)習(xí)的比的知識來解答。

2.辨析比賽中的“比”。

出示“兩隊比分2∶0”的課件，使學(xué)生了解體育比賽中的比。

師：比分2∶0 中的“2”表示什么？“0”表示什么？

師：比賽中的“比”和今天學(xué)習(xí)的“比”一樣嗎？它能表示兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系嗎？

引發(fā)學(xué)生爭論，破解生活中的比與數(shù)學(xué)中的比的本質(zhì)區(qū)別。

3.欣賞“黃金比”。

師：你聽說過“黃金比”嗎？

當(dāng)一個物體的兩個部分，較大部分與整體之比等于較小部分與較大部分之比0.618∶1 或1∶1.618，比值等于0.618 時就成為“黃金比”?！包S金比”給人一種優(yōu)美的視覺感受，所以，許多建筑作品、藝術(shù)作品都是按“黃金比”來設(shè)計的。

【評析：數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活密切聯(lián)系，鮮活的情境往往是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好素材。教師在“拓展辨析”環(huán)節(jié)，首先創(chuàng)設(shè)了“哪個攤位的蘋果便宜？”的現(xiàn)實情境，引導(dǎo)學(xué)生解決非同類量比的問題，體會比更能直觀、便捷地表示兩個量之間的關(guān)系。此外，六年級的學(xué)生生活中接觸到、最熟悉的莫過于比賽中的比分。但是比分只是一種記錄比賽雙方得分的方式，是比較大小的，是相差關(guān)系，不是相除關(guān)系。通過真實情境問題的辨析，進(jìn)一步加深對數(shù)學(xué)中比的認(rèn)識，這種去偽存真的過程，對聚焦概念本質(zhì)、促進(jìn)意義理解具有十分重要的價值。而黃金比的巧妙介入，不僅使課堂生出很多趣味，而且表達(dá)了人們創(chuàng)造美的智慧?！?/p>

五、回顧整理，完善知識結(jié)構(gòu)

1.今天我們學(xué)習(xí)了哪些知識？

2.我們是怎樣學(xué)習(xí)的？

3.你還有哪些新問題？

4.完成課后的練習(xí)。

（1）練習(xí)本上完成教材第49 頁的“做一做”第1、2 題和52 頁的第3 題。

（2）查資料了解“生活中的黃金比”。

【評析：教師在課的尾聲為學(xué)生提供了回顧知識獲得、整理所學(xué)知識的機(jī)會，幫助學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)方法和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。同時，在回顧整理的過程中，讓學(xué)生把知識串聯(lián)在一起，構(gòu)建完整的知識體系，實現(xiàn)對知識理解由點到面的突破?！?/p>